2024北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第五章《圖形的軸對(duì)稱》綜合測(cè)試卷（含解析）

第五章《圖形的軸對(duì)稱》綜合測(cè)試卷

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.如圖，在RtAZBC中，ZC=90°,NB=58。，點(diǎn)。，E分別在ZB,47上，將△4DE沿DE

折疊得△FDE,且滿足EFII4B,則N1=（）

C.70D.68

2.如圖，在△2BC中，ZACB=90°,2C=BC=6。是的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在邊AC,CB

上，且滿足2E=CF,則四邊形CEDF的面積為（）

A.36B.18C.9D/

3.如圖，BM是/4BC的平分線，點(diǎn)。是BM上一點(diǎn),點(diǎn)P為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若△2BD

的面積為9,2B=6,則線段DP的長(zhǎng)不可能是（）

C.4D.5.5

4.在正方形2BCD中，將繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到2E,旋轉(zhuǎn)角為a,連接淡，并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使

CF=CB,連接所，則NDFC的度數(shù)是（）

AD

F

/

BC

A.45°+-B.45°+aC.90°--D.2a—45°

22

5.在△ABC中，的垂直平分線分別交ZB,BC于點(diǎn)M,P,AC的垂直平分線分別交AC,BC

于點(diǎn)N,Q.若BC=10,QP=2,則的周長(zhǎng)為（）

A.8B.10C.14D.10或14

6.如圖是4D〃BC的一張紙條，按圖1一圖2一圖3,把這一紙條先沿EF折疊并壓平，再沿BF

折疊并壓平，若圖3中=12。，則圖2中4EF的度數(shù)為（）

B

7.如圖，矩形2BCD中，點(diǎn)￡為8。邊的中點(diǎn)，連接ZE,過(guò)￡作99129交CD于點(diǎn)尸，連接2F,

若NB2E=a,則NU4F的度數(shù)為（）

C.90°-2aD.45。話

8.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師拿出一張三角形紙片ABC,他問學(xué)生：通過(guò)一次折疊，一定能

折出三角形的中線、高線、角平分線中的哪些線？班里四個(gè)同學(xué)給出不同答案：小高說(shuō)：高線

和中線；小雪說(shuō)：中線和角平分線；小琪說(shuō)：高線和角平分線；小嘉說(shuō)：高線、中線和角平分

線都可以.他們答案正確的是（）

A.小高B.小雪C.小琪D.小嘉

9.如圖，在△ABC中，2。平分NZL4B,下列說(shuō)法：

①若CD:BD=2:3,則SAACD：SAABD=4:9；

②若CD:BD=2:3,則AC:ZB=2:3；

③若/C=90°,AC+AB^20,CD=3,則S^BC=30;

④若NC=90。，AC-.AB=5:13,BC=36,則CD=10.

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③④D.②③④

10.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)

三角形，圖中的AaBC為格點(diǎn)三角形，在圖中與△ABC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形可以畫出（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.圍棋起源于中國(guó)，古代稱為“弈如圖是兩位同學(xué)的部分對(duì)弈圖，輪到白方落子，觀察

棋盤，白方如果落子于點(diǎn)的位置，則所得的對(duì)弈圖是軸對(duì)稱圖形.（填寫4B,C,D

中的一處即可，A,B,C,。位于棋盤的格點(diǎn)上）

-L&工《疝」-

"一I…I一?I?I。I_I彳一

IIIIII

——-卜

―…I―一I一I/一出I_(^_I一卜I__

??????

??????

—t—?—?—?—?—1—

12.如圖，在等腰三角形AZBC中，AB=AC,。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ECVAC,且AC=CE,

垂足為C,連接BE,若BC=a,則△BCE的面積為.

13.如圖，ABCD,PB和PC分別平分4BC和NDCB,2。過(guò)點(diǎn)尸，且與ZB垂直，若

AD=8cm,BC=10cm,則四邊形ABC。的面積是cm2.

14.如圖在△ABC中DM,EN分別垂直平分邊AC和邊BC,交邊ZB于M,N兩點(diǎn)，DM與EN所在

直線相交于點(diǎn)?若/MFN=72。,求NMCN的度數(shù)為

15.在△4BC中，AB=AC,的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所得的銳角為40。，則/C

的度數(shù)為.

16.如圖,RtAABC中，4CB=90。,角平分線CE,BD交于點(diǎn)F,若FD=FE,則/CDF=度.

C

D,F

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.（6分）如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)的連線為邊的

多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形如圖中四邊形ABCD就是一個(gè)“格點(diǎn)四邊形”.

（1）求圖中四邊形2BCD的面積；

（2）在圖中的方格紙中畫一個(gè)格點(diǎn)四邊形，使該四邊形為B1MD1與原四邊形2BCD關(guān)于直線2

成軸對(duì)稱.（要求2與21，B與Bi，C與Ci，。與Di相對(duì)應(yīng)）

（3）在直線，上找到一點(diǎn)Q,使QC—QDi的值最大（保作圖痕跡）.

18.（6分）在等腰AZBC中，AB=BC,高ZD、BE所在的直線相交于點(diǎn)尸，將△4CD沿直線

翻折，點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)C'落在直線上，連接FC'.

A

(1)如圖1,當(dāng)4BC=45。時(shí),

①求證：BF=AC-,

②求/FC'。的度數(shù).

(2)當(dāng)/4BC=135。時(shí)，補(bǔ)全圖2,并求證：C'F〃4B.

19.(8分)如圖，在長(zhǎng)方形ZBCD中，=2,4。=3,點(diǎn)P在邊4。上運(yùn)動(dòng)，連接BP,點(diǎn)2關(guān)

于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為A1.

A,-------------

B'------------'c

圖3

(1)點(diǎn)為落在BC邊上，求線段2P的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)為落在線段PC上，求線段PC的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，連接Ca.請(qǐng)問是否與BP平行？若平行，請(qǐng)加以證明，若不平行,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(8分)下列正方形網(wǎng)格圖中,部分方格涂上了顏色，請(qǐng)按照不同要求作圖.

■二1I

圖①圖③

(1)作出圖①的對(duì)稱軸;

⑵將圖②中的某一個(gè)方格涂上顏色,使整個(gè)圖形成僅有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形;

⑶將圖③中的某兩個(gè)方格涂上顏色,使整個(gè)圖形有四條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.

21.(10分)我們定義：在一個(gè)圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分

該圖形的周長(zhǎng)，我們稱這條直線為這個(gè)圖形的“等分積周線”.

圖1

(1)如圖1,在△ABC中，AB=BC,且BCHZC,請(qǐng)你在圖1中作出△4BC的一條“等分積周

姆”?

⑵在圖1中，過(guò)點(diǎn)。能否畫出一條“等分積周線”？若能，說(shuō)出確定的方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

⑶如圖2,四邊形2BCQ中，ZB=ZC=90°,EF垂直平分4),垂足為尸，交BC于點(diǎn)瓦已

知2B=4,BC=10,CD=6.求證：直線EF為四邊形2BCD的”等分積周線”；

⑷如圖3,在△ABC中，4B=BC=7cm,AC=10cm,請(qǐng)你不過(guò)△ABC的頂點(diǎn)，畫出AaBC

的一條“等分積周線“，并說(shuō)明理由.

22.（10分）在四邊形2BCD中，僅用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（不寫作法，保留作

（1）如圖1,在邊上確定點(diǎn)P,使點(diǎn)P到邊C。、CB的距離相等.

⑵如圖2,在四邊形的邊上確定點(diǎn)E的位置，使4+/BED=180。，若點(diǎn)E有不同位

置，請(qǐng)用Ei、％…區(qū)分;

23.（12分）如圖

圖①圖②圖③

(1)動(dòng)手操作：如圖①，將矩形紙片4式》折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)￡重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)c'處，折痕

為EF,若NN吐20°,那么NW的度數(shù)為.

(2)觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片/￡C(N￡>/C)沿過(guò)點(diǎn)/的直線折疊，使得NC落在邊上,

折痕為N。，展開紙片(如圖②)；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)/和點(diǎn)。重合，折痕為第，展

平紙片后得到△幺斯(如圖③).小明認(rèn)為△幺斯是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.(12分)綜合與實(shí)踐：

如圖1,直線OB與直線4C相互垂直，垂足為點(diǎn)0,04=0B=6.

初步感知：

(1)如圖1,。為。&延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BC.過(guò)點(diǎn)/作垂足為點(diǎn)〃,2”交。B于點(diǎn)R

①求證：t^APO=△BCO-,

②若。C=2,試求AABP的面積.

拓展延伸：

（2）如圖2,若點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為8。延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MD,過(guò)點(diǎn)。作DN_LDM

交直線。4于點(diǎn)也當(dāng)〃點(diǎn)在B。延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，SABDM—SMDN的值是否為定值？如果

是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

選擇題

1.A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì).首先根據(jù)平行的性質(zhì)可

得/CGE==58。，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/GEC=32。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定

義可得4瓦4=148°,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/I=74°.

【詳解】解：如下圖所示，

???EF//AB,

ZCGE=ZB=58°,

,:NC=90°,

/GEC=90°-ZCGE=90°-58°=32°,

ZFEA=180°一/GEC=180°-32°=148°,

11

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知/I==148。=74°.

故選：A.

2.C

【分析】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式

等知識(shí)，證明△E4D三△FCD是解題的關(guān)鍵.由/ZCB=90。，AC=BC=6,得SAABC=18,

4=NB=45。，由。是的中點(diǎn)，得SA4DC=gSfBC=9,CD=AD=BD,NFCD=

ZACD=45°,則4=NFC。，而ZE=CF,即可根據(jù)“SAS”證明△瓦4。=AFCD,則S^EAD=

S^FCD，推導(dǎo)出S四邊形CEDF=SMDC=9,于是得到問題的答案.

【詳解】解：；ZACB=90°,AC=BC=6,

11

???SA4BC="C，BC=；X6X6=18,ZA=ZB=45°,

?.?。是的中點(diǎn)，

1

屋-911

2-4onCCD^AD=BD^-AB,ZFCD=4CD=45°,

ZA=/FCD,

在△EZD和△FCD中，

AD=CD

ZA=NFCD,

、AE=CF

^EAD=AFC￡)(SAS),

S^EAD—SAFCD，

S四邊形CEDF=SAECD+SAFCD—SAECD+S^EAD—^AADC—9，

故選：C.

3.A

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，過(guò)點(diǎn)。作DE12B,利用三角形的面積公

式求出QE的長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短得到DPIBC時(shí)，QP最短，此時(shí)DP=DE,進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DE14B,

1-1

則：S"BD=?DE=：x6DE=9,

：.DE=3,

?..點(diǎn)P為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

.?.當(dāng)DP1BC時(shí)，DP最短，

「BM是4BC的平分線，

/.當(dāng)DP1BC時(shí)，DP=DE=3,

二線段DP的長(zhǎng)不可能是2；

故選A.

4.A

【分析】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)表示出4EB=90?！獣?huì)結(jié)合正方形性質(zhì)得到=M

再利用等腰三角形性質(zhì)得到進(jìn)而得到4>CF,最后利用等腰三角形性質(zhì)即可得到

/DFC的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形4BCQ是正方形，

AB=BC=CD=AD,^ABC=/BCD=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/BAE=a,AB^AE,

/ABE=NAEB==90°-

22

/CBF=^ABC-/ABE=

2

?.?CF=CB,

/CBF=ZCFB2CF=CD,

???/BCF=180°-2x-=180°-a,

2

???/DCF=NBCF-/BCD=90°-a,

產(chǎn)°°一（七）

ZDFC=/CDF=90=45o+￡

22

故選：A.

5.D

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：AP=BP,AQ=QC,

分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求解即可得

到答案.熟練掌握垂直平分線性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，如圖所示：

由垂直平分線性質(zhì)可知2P=BP,AQ=QC,

：.金4QPAP+AQ+PQBP+QC+PQBC10；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，如圖所示：

由垂直平分線性質(zhì)可知4P=BP,AQ=QC,

：.CMQPAP+AQ+PQ=BP+QC+PQBP+CP+PQ+PQBC+2PQ=10+4=

14；

綜上所述，△ZQP的周長(zhǎng)為10或14,

故選：D.

6.C

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀

和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.解決本題的關(guān)鍵是畫出折疊前后的圖形.設(shè)

/B'FE=X,根據(jù)折疊的性質(zhì)得NBFE=FE=%,ZAEF=ZA'EF,則NBFC=

/BFE—NCFE=x—12。,再由第2次折疊得到/C'FB=NBFC=%—12。，于是利用平角

定義可計(jì)算出％=64°,接著根據(jù)平行線的性質(zhì)得N%'EF=180?！?FE=180°-64°=

116°,據(jù)此即可求得.

【詳解】解：如圖，設(shè)=光，

D

...紙條沿EF折疊,

/./BFE=/B'FE=x,ZAEF=ZA'EF,

：.ZBFC=/BFE-NCFE=x—12°,

??.紙條沿BF折疊，

/.NC'FB=ZBFC=%-12。，

而'FE+ZBFE+/C'FB=180°,

.'.x+x+x—12°=180°,

解得久=64°,

'：AD'//B，c',

.../A'EF=180°-NB'FE=180°-64°=116°,

^AEF=116°.

故選：C.

7.C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，延長(zhǎng)4E,

DC交于點(diǎn)G,先根據(jù)矩形的性質(zhì)證明AZBE三△GCE(ASA),得到ZE=GE,再根據(jù)線段垂直

平分線的性質(zhì)證明2F=FG,所以N7ME=/G,繼而證明，B4E=NE2F,即可得到答案.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)ZE,DC交于點(diǎn)G,

..?四邊形ZBCD是矩形,

J.AB//CD,ZBAD=90°,

?.NBAE=/G,/B=ZECG=90°,

?點(diǎn)￡為8。邊的中點(diǎn)，

：.BE=CE,

：.△ABE=△GCE(ASA),

：.AE=GE,

'：EF1AE,

：.AF=FG,

：.ZFAE=NG,

：.ZBAE=ZEAF,

'：/BAE=a,

^EAF—a,

：.ZDAF=90°-/BAE-ZEAF=90°-2a.

故選：C.

8.C

【分析】本題考查三角形中的折疊問題，先折疊再根據(jù)三角形角平分線、中線、高線定義判斷

即可得到答案.

【詳解】解：如圖，

過(guò)a折疊三角形紙片，使ac與ZB重合，此時(shí)折痕即是過(guò)點(diǎn)a的角平分線，經(jīng)過(guò)了一次折疊；

先折出BC中點(diǎn)，再過(guò)中點(diǎn)和a折疊三角形紙片，折痕即是過(guò)點(diǎn)a的中線，經(jīng)過(guò)了兩次折疊；

過(guò)a折疊三角形紙片，使BC在折痕兩側(cè)的部分在同一直線上，此時(shí)折痕即是過(guò)點(diǎn)a的高線，經(jīng)

過(guò)了一次折疊；

???通過(guò)一次折疊，一定能折出三角形的角平分線、高線，故小琪的說(shuō)法正確，

故選：c.

9.D

【分析】分別根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形面積法進(jìn)行求解即可

【詳解】解：①設(shè)BC邊上的高為h,則SA4CD：S“BD=,無(wú)）：（|)=CD-.BD,若

CD-.BD=2:3,則SMCD：SA4BD=2:3,故①錯(cuò)誤；

②過(guò)。作DE14B,DF1AC,

,.1。平分/C4B,

：.DE=DF,

^^ACD'-^^ABD—2:3

.%GDF_AC__2

''^AB-DEAB3

因此，若CD:BD=2:3,則AC:ZB=2:3,故②正確；

③若/C=90。，過(guò)。作DEIZB,

,.2。平分/C4B,

：.DE=CD=3,

1111

:.SAABC=^AC-CD+^AB-DE+AByCD=1x20x3=30

故③正確；

④若/C=90。，AC-.AB=5:13,BC=36,

.?.設(shè)2C=5K,ZB=13%,則由勾股定理得：BC=12x

/.12%=36,解得％=3,

：.AC=15fAB=39

?S^ACD+S^ABD=S>ABC，

：.-AC-CD+-AB-DE=-AC-BC,即工x15xCD+工x39xCD=工x15x36

222222

解得，CD=10.故④正確

故選：D

10.D

【分析】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對(duì)稱軸，然后作出

軸對(duì)稱三角形即可得解.

【詳解】解：如圖，最多能畫出6個(gè)格點(diǎn)三角形與AZBC成軸對(duì)稱.

所以在圖中與△ABC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形可以畫出6個(gè).

故選：D.

二.填空題

11.［或。

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義解答即可.

本題考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，發(fā)現(xiàn)放在瓦。處不能構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，放在幺或。處可以,

故答案為：力或

12.-a2

4

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，過(guò)/作于〃，過(guò)￡

作EF1BC于凡利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過(guò)幺作于〃，過(guò)￡作￡^18。于

A

HCF.../AHC=NEFC=90°,

ZCAR+^ACH=90。，

'：AB=AC,BC=a,

1

：.BHHC=-a,

2

,?ZACE=90°,

/.^ACH+=90。，

/.NECF=ZCAH,

在△4?！迸c^CEF中，

'NAHC=/CFE

'/CAH=/ECF，

、AC=CE

：.AACH=△CEF,

：.EF=CH=-a,

2

/.△BCE的面積=：BC?EF=-xax-a=-a2.

2224

12

-a

故答案為:4

13.40

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

作尸E18C于點(diǎn)段根據(jù)43||CD,ADLAB,ZBAP=ZCDP=90°,根據(jù)3尸平分4BC,

CP平分NDCB得到4P=PE=PD=4,△ABP=△EBP,△DCP=△ECP,即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PE1BC于點(diǎn)E,

NBEP=NCEP=90°,

,：AD1AB,AB||CD,

：./BAP=NCDP=90°,

平分4BC,CP平分XDCB,

：.AP=PE,PE=DP,

11

--

：.AP=PE=PD22

'：BP=BP,

：.AEBP三△/BP(HL),

,,SAEBP=S>ABP，

同理可得：4ECP為DCP,

S〉ECP=S4DCP，

：.四邊形ABC。的面積=2SABCP=2x^BC-PE=10x4=40cm2,

故答案為：40.

14.36°

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

掌握垂直平分線的性質(zhì).由線段垂直平分線的性質(zhì)得2=N%CM,/B=/BCN,根據(jù)三角

形內(nèi)角和，則4VMF+4WVF=108。，再根據(jù)對(duì)頂角相等，則4MD+NENB=108。，根

據(jù)三角形內(nèi)角和，則上4=90。-4MD,/B=90。一/ENB,最后根據(jù)4+/4CM+

/MCN+NBCN+/B=180。,即可求解.

【詳解】＞：'.'DM,EN分別垂直平分邊2C和邊BC,

：.AM=CM,CN=BN,

：.ZA=ZACM,ZB=/BCN,

'：/MFN=72°,

/./NMF+/MNF=108°,

,?ZAMD=/NMF,/ENB=/MNF,

：./AMD+/ENB=108°,

'：ZA=90°-ZAMD,/B=9。。一/ENB,

=180°—{ZAMD+/ENB)=72°,

ZA+ZACB+/B=180°,

4+ZACM+/MCN+/BCN+=180°,

NMCN=180°-2(4+/B)=180°-144°=36°.

故答案為：36°.

15.65?；?5°

【分析】此題考查了線段垂直平分線和三等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分類討論，分當(dāng)

的垂直平分線與邊2C相交和當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與C2的延長(zhǎng)線相交兩種情況求解即可.

【詳解】解：當(dāng)2B的垂直平分線與邊2C相交時(shí)，如圖①，2B邊的垂直平分線與2C邊交于點(diǎn)〃

-WE=40。，則4=90°-40°=50°,

'：AB=AC,

：.NB=NC=(180°-50°)+2=65°.

A

當(dāng)ZB的垂直平分線與ca的延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖②，ZB邊的垂直平分線與ca的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。,

4DE=40°,則NCME=90°—40°=50°,

ZBAC=180°-50°=130°.

'：AB^AC,

:./B=NC=(180°-130°)+2=25°.

綜上所述：/C為65。或25。.

故答案為：65°或25°.

16.75

【分析】本題考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)尸作FG12B于點(diǎn)G,于點(diǎn)〃，F(xiàn)T1BC于點(diǎn)T,連

結(jié)2F,先根據(jù)角平分線定理證明F”=FT,FG=FT,從而得到尸"=FG,再根據(jù)“斜邊直角

邊“證明三△FGE,得到NFDH=NFEG,設(shè)立CBD=%,列出方程并求解，得到％=15。,

由此即得答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)/作FG12B于點(diǎn)G,于點(diǎn)〃，F(xiàn)T1BC于點(diǎn)T,連接ZE,

???CE平分4CB,

FH=FT,/BCE=|NACB=45°,

???BD平分4BC,

FG=FT,NCBD=|ZABC,

FH=FG,

?:/FHD=/FGE=90°,FD=FE,

FHD三△FGE(HL),

/FDH=ZFEG,

設(shè)/CBD=x,則ZABC=2x,/CDF=90°一%,

??.90°—x=2x+45°,

解得%=15°,

NCDF=90。一%=75°.

故答案為：75.

三.解答題（共8小題，滿分72分）

-1-1

17.（1）解：四邊形ZBCD的面積為:4CxBD=；x3x4=6

（2）解：如圖所示,仁當(dāng)?shù)摹?即為所求;

直線/

（3）;QD=QDi

：.CD+QD>CQ當(dāng)。在CQ上時(shí)取得等于號(hào),

/.QC-QD<CD

：.QC-QD1<CD

延長(zhǎng)CD交2于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q即為所求；如圖所示

直線/

18.(1)解：①證明：???2。是△ABC的高，^ABC=45°,

/BDF=90°=/ADC,BD=AD,

???BF是AaBC的高，

/DBF=90°—NC=ZDAC,

在^BDF和△ZDC中，

(/DBF=ZDAC

]BD=AD,

1/BDF=ZADC

BDF三△ZDC(ASA),

BF=AC-

②解：如圖：

DF=DC,

???將△?￡)沿直線a。翻折，點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)c'落在直線BC上,

???DC=DC,

/

??.DF=DC9

故△DFC'是等腰直角三角形，

/FC'D=45°；

(2)解:補(bǔ)全圖形如下:

???^ABC=135°,

/ABD=45°,

???4。是△ABC的高，

.?.△2BD是等腰直角三角形，

AD=BD,

AD,BE是△4BC的高，

ZADC=90°=/BDF=ZBEC,

?:ZEBC=/DBF,

/DFB=ZACD,

DBF=△ZMC(AAS),

DF=DC,

???將△ac。沿直線a。翻折，點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)c'落在直線BC上,

:.DC—DC,

DF=DC',

：.NDC'F=45。，

ANDC'F=^ABD,

C'F//AB.

19.(1)解：如圖1中,

P

ACTD

B_d—

4C

圖1

?.?四邊形ZBCD是長(zhǎng)方形,

/BAD=^ABC=90°

???點(diǎn)&落在BC邊上,

/ABP=^PBA1=45°,

■:4=90°,

ZABP=ZAPB=45°,

??.△2PB為等腰直角三角形,

=2.

(2)如圖2中，???點(diǎn)為落在線段PC上,

尸

Ar?K-D

BC

圖2

AB=BA1=2,即點(diǎn)B到PC的距離為2,

???AB1AD,

BAr1PAi,

1

SAPBC—qPC,BAlf

???AD||BC,

??.△PBC的高等于ZB,

1

S&PBC—~BC-AB,

：.PC-BAr=BC-AB,

PC=BC=3.

(3)如圖3,方法1：?.?長(zhǎng)方形ABC。,

圖3

S^PBC—SAPAB，

又???三角形ZBP沿PB對(duì)折，

S?AB—SAPBAI，即S“BC-SMM，

???△PBC與APBai共底，

所以PB上的高相等，故過(guò)C點(diǎn)的高等于過(guò)4點(diǎn)的高,

即C點(diǎn)與4點(diǎn)到直線PD的距離相等，

又???4點(diǎn)與點(diǎn)C在PB的同一側(cè)，

故C4IIBP；

方法2：???三角形4BP沿PD對(duì)折，

/APB=ZBPAr,

又?.?長(zhǎng)方形ZBC。，

AD||BC

：.ZAPB=/PBC,

ZBPAX=/PBC,

??.△PBE為等腰三角形,

PE=BE,

又BC=AD=P4,

CE—EAy,

/BCAi=ZPArC,

在APBE和AaiCE中，

/PBC=|(180°-NBEP),NBCAi=|(180°-4典)

又???/BEP=ZA^EC

ZPBC=/BC%,

CAX||BP

20.(1)如圖①所示的對(duì)稱軸即為所求：

圖②

（3）如圖③所示:

圖③

21.(1)解：???ZB=BC,

??.△ABC為等腰三角形，

則由等腰三角形的“三線合一”可得，作線段4C的中垂線BD,

:.AD—CD,

1

SMBD—SACBD—QS^ABC，AB+AD—BC+CD,

如圖所示，BD所在的直線即為所求：

圖1

(2)解:不能,

理由：如圖2,

圖2

若直線CD平分△4BC的面積，^^S^ADC—S^DBC,

???AD=BD,

vACWBC9

?**AD+ACWBD+BC,

.??過(guò)點(diǎn)。不能畫出一條“等分積周線”.

(3)證明：連接ZE、DE,設(shè)BE=%,如圖：

圖3

???EF垂直平分40,

AE=DE,AF=DF,S^AEF=ADEF,

?:NB=NC=90°,AB=4,BC=10,CD=6,

Rt△ZBE和Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理可得出：

AB2+BE2=CE2+DC2,即42+/=(10-x)2+62,

解得：x=6,

BE-6,CE—4,

AB+BE—CE+DC,SAABE—SADCE，

S四邊形4BEF=S^ABE+SA4EF,

S四邊形DCEF=$4DEF+SADCE，

■c—c

“J四邊形4BEF—13四邊形DCEF，

AF+AB+BEDF+EC+DC,

,直線EF為四邊形ZBCD的“等分積周線”.

(4)解：如圖4,在2C上取一點(diǎn)?使得FC=