浙江省金華市四校2024-2025學(xué)年高一（下）5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年浙江省金華市高一下學(xué)期5月四校聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足z?(1+i)=1-3則|z|=()

A.1B.2C.苧D.AA2

2.下列說法正確的是()

A.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線

D.棱臺的側(cè)棱都相等

3.設(shè)m，n是不同的直線，a,0是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是()

A.若m〃幾riu%則？?i〃aB.若m1a,m//^,則a_L￡

C.若貝!Ja〃/?D.若a〃0,muu0,則7n〃7i

4已知同=1,0+1)4=2,則曲的范圍為()

A.[1,+8)B.[0,2]C.[2r+oo)D.[1,2]

5.已知函數(shù)/(%)=log?。+、1+/)+2,若一3)+f(3%一i)>4,則實數(shù)久的取值范圍為()

A.(-4,1)B.(-8,-4)U(1,+oo)

C.(二馬二馬D.(-1,3)

6.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,a?cosB=3b?cos4貝解一B的最大值為()

7GD端

7.在直三棱柱力BC—4/iCi中，點M,N,P滿足：而=皿，2印=前，取=4而，則下列說法正確

的是()

A.三棱錐邑-MNP體積為定值

B.三棱錐&-MNP體積為定值

C.當(dāng)4=1時，三棱柱被截面MNP分成的上下兩部分體積相等

D.當(dāng)4=3時，三棱柱被截面MNP分成的上下兩部分體積相等

8.三棱錐?！狝BC中.設(shè)乙408=a,乙B0C=B，Z.A0C=y,二面角力一。C一8的平面角大小為x,則一定

成立的是()

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Acosa—cos6cosyccosa+cos6cosy

A.cosx=-----.》——~B.cosx=----.°.——-

sinpsinysmpsmy

廠_sina—sin/?sinyn_sina+sin/?siny

Vz.COS%——\-J.cos%—c

cospcosycospcosy

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在50?6504勿》之間，進(jìn)行

適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項正確的有（）

A.a=0.0022

B.本組樣本的眾數(shù)為250

C.本組樣本的第45百分位數(shù)是300

D.用電量落在區(qū)間［150,550）內(nèi)的戶數(shù)為82

10.抽樣調(diào)查得到10個樣本數(shù)據(jù)，記作打,比2,…，?10，計算得平均數(shù)元=7,方差$2=2,現(xiàn)去掉一個最大值

10,和一個最小值4后，對新數(shù)據(jù)下列說法正確的是（）

A.極差變大B.中位數(shù)不變C.方差變大D.平均數(shù)不變

11.勒洛四面體是德國機(jī)械學(xué)家勒洛（1829?1905）首先研究發(fā)現(xiàn)的，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且

始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球

心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體力BCD的棱長為2,

則下列說法正確的是（）

甲

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A.勒洛四面體4BCD被平面SBC截得的截面面積是8(兀-V3)

B.勒洛四面體4BCD內(nèi)切球的半徑是4-

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為2兀-273

D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-苧

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知一個圓錐的高為2,且軸截面為等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為一.

13.三棱錐A-BCD中，4B=4,BC=BD=3,AC=4。=5,/.CBD=60°,則三棱錐A-BCD外接球的

表面積為一.

14"力BC滿足sin小sinF=sin2C,則軍竺警世的取值范圍為.

sine

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量五=(1,2),萬滿足於0-萬)=0.

(1)求面最小值；

(2)若面=3,求向量萬的坐標(biāo)表示.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=V_3sin(x+])+cos4_x),.

(1)若/'(a)=0,求tema的值；

(2)若久e(o,9，求函數(shù)/(久)的值域.

17.(本小題15分)

已知三角形ABC中，AB=2,AC=4,44=120。，4H為BC邊上的高，4D為BC邊上的中線，力E為乙4的平

分線，(H,D,E為BC邊上的點).

(1)求4E的長；

(2)若麗+〃荏，求無〃的值；

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，側(cè)面P4B，底面ABCD,底面4BCD為矩形，PA=PB,。為的中點，OD1PC.

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(1)求證：0C1PD；

(2)若PD上存在點M,使得。M〃平面PBC,求號的值

(3)若PD與平面PBC所成角的正弦值為苧，AB=2,求四棱錐的P—HBCD的體積.

19.(本小題17分)

已知正三棱臺力BC—AiBiCi，點D,E,F分別在BXB,4C上，S.2ArD=DA,BXE=2EB,AF=3FC,

(1)求過點D、E、F的平面截正三棱臺力BC-A/iM的截面周長;

(2)求直線DE與平面力CCi4所成的角的正弦值；

(3)求二面角E-DF-4平面角的余弦值.

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參考答案

l.A

2.C

3.5

4.D

5.B

6.A

7.F

8.71

9.ACD

10.BD

11.CD

l2AyT2n

13.28TT

14.[2,75）

15.解：（1）設(shè)五和石的夾角為氏

由題意，得同=VI2+22=V-5,

因為彼?0—芯）=于一無%=5-<5|b|cos0=0,

則看=COS0<1,

所以話I》，虧，即I面最小值為，虧;

(2)設(shè)6=(x,y),

由"3?(3—h)=0,可得％+2y=5,

由網(wǎng)=3,可得%2+y2=9,

(14AG=l+W

%+2y=5X=1........-

5成，

即/+y2=9'斛侍：.-2門以

(y=2+亍\y=2~—

貝力=（1-警,2+等）或刃=（1+?,2一等｝

16.解(1)/(%)=V~^sin(%+1)+cos(看一%)=V_3cosx+芋cos%+"sin%

=^^cosx+1sin%=V^sinQ+cp),(其中tang=3V-3),

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由f(a)=-y^-cosa+gsina=0,可得tana=—3V~3；

(2)/(%)=V^sin(x+◎)(其中tang=3V-3),

由％E(0,—)=%+0E(Q2+0)，

???(PE(0,-),乂sing=——>sin(-+(/?)=coscp=—,

L14,L141

???/(%)=V^sin(x+R)〉yp7x君=；，

??./(%)=-/7sin(x+@)<6，即/(%)G

故/(%)的值域為(，"].

17.解⑴:由角平分線性質(zhì)得：AE=AB+=^AB+|ZC

則4E+緘。+^71B-71C=^x22+^x42+^x2x4x(-i)=^,

.----->4

則AE=\AE\=京

(2)由題意，AD=^AB+^AC,AE=^AB+^AC,

則而=人而+〃荏=(升等通+(1+引露

則麗.元=嗎+爭荏+6+節(jié)而]■(AC-AB)=0,

貝峻+引羽2_(1+當(dāng))通2+觀.AC=6A+^-=0?,

乙D乙DDD

又因為H,D,E三點共線，則4+〃=l②，

由⑦(W得：%=-411=鼻

18.(1)證明：連接0P,rPA=PBPO14B,又,??平面P4B_1_平面48。。，平面248Cl平面力BCD=AB,：.PO1

平面力BCD,。。u平面4BCD,???PO1OD

又?：OD1PC,POCPC=P,PO,PCu平面POC,所以。DI平面POC,OCc^ffiPOC,???OD1OC,又P。_L

平面力BCD,OCu平面ABC。，

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???PO1OC,OC_L平面POD,ODU平面POD,OCLPD；

(2)分別取PD,CD中點為M,N,連。M,ON,MN,?:MN//PC,MNC平面PBC,PCu平面PBC,又ON//BC,

ON(tnPBC,BCu平面PBC,

.-.ON〃平面P8C,

???MNCON=N

平面。MN//平面PBC,OM//平面PBC,此時黑

⑶由(1)可知。D1OC,又力BCD為矩形，且4B=2,

設(shè)P。=九，則P￡)=，」+2記點到面的距離為八點.加,?,力D〃平面PBC,黑=2,二而-PBC=%-PBC=

UD

_2h

2hO-PBC=^^

設(shè)PD與平面PBC成e角，則sine=包潸=%等=p2h=字

DPDPV?i2+2V/i2+l3

整理得：八4_3盾+2=0,解得：八=1或，/I=<2,即P。=1或，一2

所以：Vp-ABCD—：SABCD.P0—我當(dāng)^

19.解：⑴延長AB,DE交于點M,連接FM交BC于N,連接EN則截面為DENF,

過D作DP〃/B,可知P為中點，

.-.EB=2DP則BN=BP=2,

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過F作FQ//8C,則FQ=3,

BN_MB_FQ-MB_3x2

k麗=-

所以N是BC的中點.

在△ADF中，AD=2,4F=3,=60°,

則DF=VXD2+AF2--ZAD-AF-cos^DAF=J22+32-2-2-3-1=/7，

在△CFN中，CF=1,CN=2,^NCF=60°,

則NF=VCF2+CN2-2CF-CN-cos^NCF=JI2+22-2-l-2-1=<3-

在△BEN中，BE