11.3角的平分線的性質(zhì)

11.3角的平分線的性質(zhì)新知概覽知識(shí)要點(diǎn)課標(biāo)要求中考考點(diǎn)節(jié)內(nèi)對(duì)應(yīng)例題節(jié)內(nèi)對(duì)應(yīng)習(xí)題角平分線的性質(zhì)探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；角平分線的性質(zhì)（掌握）試練例題2；易錯(cuò)典例1；題型典例1，2，4，8，9中考典例1，4中考變式練1，4新題精練2，4,5，6，7,8,10,11,15，17角平分線的判定定理探索并證明角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線的判定定理（掌握）試練例題3；易錯(cuò)典例2；題型典例3，4，6，7中考典例3，中考變式練3新題精練3，8,12，13，16，18三角形的角平分線掌握三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于一點(diǎn)（掌握）試練例題4；易錯(cuò)典例3；題型典例5中考典例2，中考變式練2新題精練1,3,14本節(jié)重、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)和判定（2）難點(diǎn)：綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題。知識(shí)全解知識(shí)點(diǎn)一：倍速學(xué)法知識(shí)點(diǎn)一：角平分線的作法倍速學(xué)法知識(shí)銜接：（1）角的概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊.（2）角平分線：過角的頂點(diǎn)的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.（3）三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊和尺規(guī)作圖法，尺規(guī)作圖法是常用的方法。作圖的依據(jù)：連接CM、CN是構(gòu)造△OMC和△ONC，在作圖中可以得到OM=ON，MC=NC，OC=OC，所以△OMC≌△ONC（SSS）。知識(shí)拓展：知識(shí)拓展：尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度尺的直尺來作圖．直尺的功能是:在兩點(diǎn)間連結(jié)一條線段；將線段向兩方向延長(zhǎng)．圓規(guī)的功能是:以任意一點(diǎn)為圓心，任意的長(zhǎng)為半徑作一個(gè)圓；以任意一點(diǎn)為圓心，任意的長(zhǎng)為半徑畫一段弧．尺規(guī)作圖關(guān)鍵要掌握作圖的具體操作和作圖規(guī)范敘述．當(dāng)作圖要求寫作法時(shí)，要注意語言的規(guī)范．(1)用直尺作圖時(shí)的規(guī)范語言:①過點(diǎn)×作直線××；作線段××；以×點(diǎn)為端點(diǎn)作射線××．②連接××；以點(diǎn)×為端點(diǎn)作線段××．延長(zhǎng)線段××到點(diǎn)×；延長(zhǎng)線段××到點(diǎn)×；使××=××．（2）用圓規(guī)作圖時(shí)的語言規(guī)范．①以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作圖；②已點(diǎn)×為圓心，××為半徑作弧交××于點(diǎn)×．（2）做法中“以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧”是要求以美觀大方為原則，不能太長(zhǎng)或太短。（3）在作法中“畫射線OC”，不能簡(jiǎn)單敘述為“連接”O(jiān)C，角平分線是射線而不是線段OC.（4）尺規(guī)作圖要保留作圖痕跡，并且要有結(jié)論?！驹嚲毨}1】如圖1132，小明只用刻度尺作角的平分線時(shí)，在∠MON的兩邊上分別取OA=OB，OC=OD，連接BC和AD交于點(diǎn)P，則OP必是∠MON的平分線，你知道為什么嗎？圖1132圖1132思路導(dǎo)引：欲證OP是∠MON的平分線，即證∠COP=∠DOP，而此兩角所在△OPC和△OPD無明確的已知條件證其全等，同理△OPA和△OPB也不能直接證明全等，所以可以通過三次證全等三角形解決問題?！唷鰽OD≌△BCO,∴∠OCB=∠ODA，BC=AD，∴AC=BD，∴△APC≌△BPD,∴PC=PD，∴∠COP=∠DOP，∴OP必是∠MON的平分線．知識(shí)點(diǎn)二角平分線的性質(zhì)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn):角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.推理形式：如圖1133，∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分別為D、E，∴PD=PE.圖1133圖1133知識(shí)規(guī)律：如果已知一個(gè)點(diǎn)在某角的平分線上時(shí)，常添加的輔助線為過該點(diǎn)角的兩邊的垂線，以便利用角平分線的性質(zhì)定理得到相等的線段。知識(shí)警示：這里的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng)。性質(zhì)的定理中有兩個(gè)條件：①角的平分線；②距離。二者缺一不可。定理的作用：證明兩條線段相等。學(xué)習(xí)了該定理為證明線段相等開辟了新的途徑，能夠極大地簡(jiǎn)化證明過程。該結(jié)論的證明是通過三角形全等得到的，它可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)。【試練例題2】已知：如圖1134，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E.已知PE=4，則點(diǎn)P到AB的距離是（）A.3B.4C圖1134圖1134思路導(dǎo)引：答案：D.方法：看到題目中的角平分線可以想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知識(shí)點(diǎn)三角平分線的判定定理（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。圖1135圖1135推理形式：如圖1135，∵若PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PE=PF，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.知識(shí)拓展：角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的關(guān)系：（1）這兩個(gè)定理都與距離有關(guān)，即條件PD⊥AO，PE⊥OB，都應(yīng)具備；（3）性質(zhì)定理反映了角平分線上的點(diǎn)的純粹性，即只要是角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離就一定相等，無一例外。逆定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點(diǎn)，無一例外地都一定在角的平分線上，絕不會(huì)漏掉一個(gè)。知識(shí)警示：(1)通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，外部是存在到角的兩邊（的延長(zhǎng)線）距離相等的點(diǎn)的，但是這些點(diǎn)不在角的平分線上，因?yàn)榻堑钠椒志€是一條射線，角的外部的那些點(diǎn)在角平分線的反向延長(zhǎng)線上.因此，必須強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)角的內(nèi)部”且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上．(2)要想證明一條線是一個(gè)角的平分線，只要證明這條線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可.【試練例題3】圖1136如圖圖11341136，CD⊥圖1136圖1134求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上。思路導(dǎo)引：要證點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，只要說明點(diǎn)O到AB、AC的距離相等即可，即說明OD=OE，為此需要先證明△BOD≌△COE.證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.又∵OB=OC（已知），∠BOD=∠COE（對(duì)頂角相等）,∴△BOD≌△COE（AAS）.∴OD=OE,∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的平分線上）.規(guī)律：（1）應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可以證明某個(gè)點(diǎn)在某個(gè)角的平分線上或證明兩個(gè)角相等；（2）解如本例問題判定一個(gè)點(diǎn)在角平分線上的關(guān)鍵是證這個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，此類問題通常給定垂直條件需證相等條件。知識(shí)點(diǎn)四三角形角平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等．定理的應(yīng)用：證明三線共點(diǎn)；在實(shí)際問題中，尋求到三邊距離相等的點(diǎn)的位置。知識(shí)拓展：（1）三角形的三條角平分線的交點(diǎn)有且只有一個(gè)，且一定在三角形的內(nèi)部。（2）三角形的兩個(gè)外角的平分線也相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三邊所在的直線的距離相等。（3）三角形外角平分線交點(diǎn)共有三個(gè)，所以到三角形三邊所在的直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)。知識(shí)警示:三角形外角平分線的交點(diǎn)共有3個(gè)，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)?！驹嚲毨}4】已知：如圖1137，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D、E、F分別是垂足。求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上。圖1137圖1134圖1134圖1137圖1134圖1134圖1134思路導(dǎo)引：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)O到∠ABC，∠ACB的兩邊距離相等，從而可以得到點(diǎn)O到AB與AC的距離相等，再根據(jù)角平分線的判定定理可以得到點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.證明：∵點(diǎn)O在∠B的平分線上（已知）又∵OD⊥AB，OE⊥BC（已知）∴OD=OE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）同理：OD=OF.∴OE=OF.∴點(diǎn)O在∠A的平分線上（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.規(guī)律：此題實(shí)際是證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。證明三線共點(diǎn)的一般方法是：先假設(shè)其中兩條直線相交于一點(diǎn)，然后設(shè)法證明第三條直線也經(jīng)過這個(gè)交點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)五證明幾何命題的一般步驟幾何證明的基本步驟是：（1）對(duì)于文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}，根據(jù)條件，畫出正確圖形，在圖形上標(biāo)明字母與符號(hào)；（2）結(jié)合圖形，用符號(hào)語言或文字語言把條件和結(jié)論，分別寫在“已知”與“求證”的后面；（3）分析圖形性質(zhì)，找出證明途徑，然后把推理過程按先后次序有條理地書寫出來，得到結(jié)論．（一般分析過程不要求寫出來）基本的推理方法采用因果關(guān)系的表述形式，常用符號(hào)語言“∵……（），∴……（）．”來表達(dá)，括號(hào)中注明推理成立的根據(jù)，由幾何圖形的性質(zhì)決定因果關(guān)系可分為：①一因一果型；②一因多果型；③多因一果型．知識(shí)拓展：證明題的三種分析方法知識(shí)警示:（１）證明中的推理過程不能“想當(dāng)然”，每一步推理都要有根據(jù)．這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、定理或公理．（２）防止過程不嚴(yán)密，跳步證明．【試練例題5】求證：全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．思路導(dǎo)引：作出圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，又AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，所以∠BAD=∠B′A′D′，根據(jù)角邊角判定定理可得△ABD和△A′B′D′全等，所以角平分線AD、A′D′相等．圖1138已知：如圖1138，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，圖1138求證：AD=A′D′，證明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，∴∠BAD=∠B′A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′，∴AD=A′D′．點(diǎn)撥：本題是文字證明題，一般步驟是根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證、證明，已知兩個(gè)三角形全等，相當(dāng)于給出它們的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。易錯(cuò)易混辨析易錯(cuò)點(diǎn)1：錯(cuò)用角平分線的性質(zhì)定理【易錯(cuò)典例1】如圖1139，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，OC=OD，PC=2cm，求PD的長(zhǎng)。圖1139圖1139思路導(dǎo)引：觀察圖形易證△OCP≌△ODP，從而得到PD=PC=2cm.不能看到角平分線就得到PC=PD.解：在△COP和△DOP中誤區(qū)總結(jié)：一定要對(duì)角平分線性質(zhì)定理的條件理解透徹，不能忽略了結(jié)論成立的依據(jù)，定理中的“距離”指點(diǎn)到線的距離，即垂線段的長(zhǎng)。若缺乏PC⊥OA，PD⊥OB這一條件而直接運(yùn)用性質(zhì)定理是錯(cuò)誤的。易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略角平分線的判定定理中的條件，錯(cuò)用定理【易錯(cuò)典例2】如圖11310所示，PA=PB，∠1+∠2=180°.求證OP平分∠AOB.圖11310圖11310思路導(dǎo)引：雖然PA=PB，但不能直接得到OP平分∠AOB。應(yīng)過點(diǎn)P向OA，OB作垂線，由∠1+∠2=180°，∠2+∠PBO=180，可以得到∴∠1=∠PBO，又因?yàn)镻A=PB可以證明得到△PAE≌△PBF，從而得到PE=PF，由角平分線的判定定理推出PO為∠AOB的角平分線.證明：過點(diǎn)作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)。∵∠1+∠2=180，∠2+∠PBO=180∴∠1=∠PBO∴△PAE≌△PBF（AAS），∴PE=PF∴PO為∠AOB的角平分線（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.誤區(qū)總結(jié)：判斷角平分線應(yīng)根據(jù)這點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即到角兩邊垂線段的長(zhǎng)度相等，而題中PA，PB不是到角兩邊的垂線段，故不能直接得到OP平分∠AOB.易錯(cuò)點(diǎn)3：考慮問題不全面導(dǎo)致誤解或者丟解。A、一處B、兩處C、三處D、四處圖11311圖11311思路導(dǎo)引：題目只要求貨車中轉(zhuǎn)站到三條公路的距離相等，并未要求必須在三條直線構(gòu)成的三角形內(nèi)部，因此要全面考慮，分類討論:可在三條直線所構(gòu)成的三角形內(nèi)部尋找一點(diǎn)（三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），這一點(diǎn)到三邊的距離相等；在三條直線所構(gòu)成的三角形的外部可找出三個(gè)點(diǎn)（三角形外角平分線的交點(diǎn)），這三個(gè)點(diǎn)到三邊（或三邊所在直線）的距離相等。答案：D誤區(qū)總結(jié)：部分學(xué)生只局限于分析三條直線所構(gòu)成的三角形的內(nèi)部，不能克服全等定勢(shì)的干擾，沒有將思維拓展到所構(gòu)成的三角形的外部，從而導(dǎo)致錯(cuò)選A。題型1利用角平分線的性質(zhì)證明角或邊相等題型2利用角平分線的性質(zhì)求線段的和的問題【題型典例2】在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=10cm，求△DBE的周長(zhǎng)。11313思路導(dǎo)引：由角平分線的性質(zhì)可知CD=DE，由Rt△ACD≌Rt△AED，進(jìn)而得出AC=AE=BC，把△BDE的邊長(zhǎng)通過等量轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE．又∵∠C=∠DEA=90°，AD=AD∴△ACD≌△AED．∴AC=AE．又∵AC=BC，∴AC=AE=BC∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB．又∵AB=10cm，∴△DBE的周長(zhǎng)=DB+BE+DE=10cm．∴△DBE的周長(zhǎng)是10cm．方法：解答這類題注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，設(shè)法將所求的線段之和轉(zhuǎn)化為已知線段的長(zhǎng)度求解。題型3角平分線的判定的應(yīng)用【題型典例3】如圖11314所示，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分別為D、E，且BD=CE。求證：點(diǎn)M在∠BAC的平分線上。11314思路導(dǎo)引：由條件MD⊥AB，ME⊥AC,BM=CM及BD=CE可證得Rt△BDM≌Rt△CEM，進(jìn)而可得MD=ME，根據(jù)角平分線的判定定理可以得到點(diǎn)M在∠BAC的平分線上。證明：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=CM.∵M(jìn)D⊥AB，ME⊥AC,∴∠BDM=∠BDM=90°，∴Rt△BDM≌Rt△CEM（HL），∴MD=ME?！帱c(diǎn)M在∠BAC的平分線上。方法：一般情況下，欲證某點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，總是轉(zhuǎn)化為證明這一點(diǎn)到所證角的兩邊的距離相等或是證明三角形全等。題型4角平分線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用【題型典例4】已知：如圖11315，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC.圖11315（1）若連結(jié)AM，則AM是否平分圖11315（2）線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明你的理由.思路導(dǎo)引：（1）要判定AM是否平分∠BAD，思路有兩種，一是判斷∠DAM=∠BAM是否成立；二是過點(diǎn)M作ME⊥AD于E，判斷ME=MB是否成立。（2）易證CD//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可證明∠1+∠3=90°.解：（1）AM平分∠DAB.方法：要證明角平分線，一般要結(jié)合圖形，靈活選擇證明方法。例如此題中通過證明MB=ME依據(jù)角平分線的逆定理作出判斷。題型5角平分線的實(shí)際應(yīng)用【題型典例5】某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，如圖11316，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中建一小亭供人們小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.圖11316思路導(dǎo)引：將三條馬路看作三條直線，小亭中心到三條馬路的距離相等，實(shí)質(zhì)上其每?jī)蓷l馬路所成角的平分線上?？勺魅我鈨蓚€(gè)角的平分線，其交點(diǎn)即為所求小亭的中心位置。解：如圖，在三角形內(nèi)部，分別作出兩條角平分線，其交點(diǎn)O即為所求。規(guī)律：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，是解決問題的關(guān)鍵。當(dāng)遇到三邊距離相等的問題時(shí)，可以考慮角平分線；對(duì)于到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的問題，則需要考慮垂直平分線。綜合創(chuàng)新探究題型6利用三角形的角平分線解決面積綜合應(yīng)用題【題型典例6】如圖11317所示，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，點(diǎn)P是∠A，∠B的平分線交點(diǎn)，試求點(diǎn)P到AB邊的距離。圖11317思路導(dǎo)引：由條件易求出△ABC的面積，根據(jù)題意可知點(diǎn)P到△ABC的三邊之距離相等，連接PA，PB,PC將△ABC分割成三個(gè)小三角形，則利用S△ABC=S△APC+S△BPC+S△APB可求P到△ABC的距離。解：連接PA,PB,PC,∵點(diǎn)P是∠A，∠B的平分線交點(diǎn)，∴點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等。設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊距離為h，則：S△ABC=S△APC+S△BPC+S△APB=AC·h+AB·h+BC·h=BC·AC即：（3+4+5）h=×3×4∴h=1，即點(diǎn)P到AB的距離為1.方法：三角形角平分線交點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線，把原三角形分割成了三個(gè)小三角形，利用小三角形面積之和等于原三角形面積，是求角平分線交點(diǎn)到三邊距離的常用方法。題型7方案設(shè)計(jì)問題【題型典例7】如圖11318，已知一個(gè)角∠AOB，你能否只用一塊三角板作出它的平分線？說明方法與理由．圖11318題眼直擊：角平分線的判定方案設(shè)計(jì)全等三角形思路導(dǎo)引：可由角平分線到角兩邊的距離相等進(jìn)行求解，由題中條件不難得出△OMP≌△ONP，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：能．在角的兩邊OA和OB上量得OM=ON，用三角板過M和N分別OA和OB的垂線，相交于點(diǎn)P，則OP就是∠AOB的平分線．理由：在直角三角形中，如圖，∵OM=ON，OP=OP，∴△OMP≌△ONP，∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．題型8一題多解法——利用角平分線條件證明線段的和差【題型典例8】如圖11319，已知AC∥BD，AE、BE平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說明理由.題眼直擊：角平分線的性質(zhì)全等三角形的判定性質(zhì)線段的和截長(zhǎng)補(bǔ)短法解：相等．圖11319證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF．∴AC+BD=AF+FB=AB證法二：如圖（2），延長(zhǎng)BE，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．點(diǎn)撥：欲證明線段a=b+c，通常利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，如本題方法一，是在最長(zhǎng)線段AB上“截取”AF=FC后，再證BF=BD；而本題的方法二，是在較短線段AC上“補(bǔ)接”CF，再證AB=AF,BD=FC.題型9開放探究題【題型典例9】如圖11320①所示，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使AD⊥EF。（1）你添加的條件是。并證明AD⊥EF。（2）如圖11320②所示，AD為∠BAC的平分線，當(dāng)有一點(diǎn)G從D點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，GE⊥AB于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)F，這時(shí)AD是否垂直于EF？（3）如圖11320③所示，當(dāng)G點(diǎn)沿AD方向，向其延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，這時(shí)AD是否垂直于EF？題眼直擊：角平分線的性質(zhì)全等三角形的判定性質(zhì)垂直思路導(dǎo)引：要使AD⊥EF，可加的條件不止一種，如DE=DF，AD平分∠BAC，AE=AF等，任選一個(gè)即可，現(xiàn)選AD平分∠BAC并加以證明。②③圖11320解：（1）添加的條件是：AD平分∠BAC。證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF?！唷螮DA=∠FDA.設(shè)AD交EF于點(diǎn)O，在△DOE和△DOF中，∵∠DOE+∠DOF=180°，∴∠DOE=∠DOF=90°，∴AD⊥EF。（2）AD⊥EF，理由同（1）.（3）AD⊥EF，理由同（2）.備戰(zhàn)中考角的平分線的性質(zhì)是初中幾何的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，但在中考中獨(dú)立命題并不多，如證明線段相等及和差變換，常與與后面學(xué)到的線段的垂直平分線、三角形全等以及四邊形、圓等其他知識(shí)相互滲透，常見題型有填空題、應(yīng)用題、探究題，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力?？挤?利用角平分線的性質(zhì)求線段的值【中考典例1】（2011河南，13,3分）.如圖11321，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為。圖11321思路導(dǎo)引：根據(jù)垂線段最短可以知當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的值最小，此時(shí)可根據(jù)角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，得DP＝AD＝4．答案：4方法規(guī)律：先找到最小值的位置，然后再設(shè)法尋找求這個(gè)最小值的方法．中考變式練：1.（2011福建泉州，14，4分）如圖11322，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，若PE=3，則PF=.圖11322答案：3；考法2利用角平分線求角的度數(shù)【中考典例2】（2011湖北隨州，8，3分）如圖11323，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝．圖11323思路導(dǎo)引：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．延長(zhǎng)BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－40）°，∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－40°）－（x°－40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝50°．答案：50°．點(diǎn)撥：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問題的關(guān)鍵中考變式練：2.（2011南昌，15，3分）如圖11324，在△ABC中，點(diǎn)P是的△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．圖11324思路導(dǎo)引：∵點(diǎn)P是的△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.答案：90°考法3角平分線的判定定理的應(yīng)用【中考典例3】（2011江蘇揚(yáng)州，23（2）,10分）已知：如圖11325，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC，判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由。圖11325思路導(dǎo)引：易證△DBC和△EBC全等，得到BE=CD，推出OD=OE，根據(jù)角平分線的判定定理可以得到點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上。解：點(diǎn)O是在∠BAC的角平分線上。理由如下：∵BD、CE是△ABC的高∴∠BDC=∠CEB=90°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB又∵BC是公共邊∴△BEC≌△CDB（AAS）∴BE=CD,∵OB=OC，∴OD=OE.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴點(diǎn)O是在∠BAC的角平分線上。點(diǎn)撥：本題有多種證法，除了用角平分線的判定定理外，還可以用三角形全等及其他方法，但利用角平分線的判定定理后可以是證明過程簡(jiǎn)單明了。中考變式練：3.（北師大九上教材第39頁(yè)習(xí)題1.9第2題）如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F。求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上。3.證明：過F作PM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥AE于N，F(xiàn)K⊥BC于K．∵F在∠DBC的平分線上，F(xiàn)M⊥BD，F(xiàn)K⊥BC，∴FM=FK(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)．同理FN＝FK．∴FM＝FN．∴F在∠DAE的平分線上(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)．新題精煉知識(shí)點(diǎn)4題型12.（2010年廣西柳州，8，3）如圖3，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD＝3cm，則點(diǎn)D到AB的距離DEA．5cmB．4cmC．3cm圖11331知識(shí)點(diǎn)2題型13．如圖11332，已知點(diǎn)P到BE、BD、AC的距離恰好相等，則點(diǎn)P的位置:①在∠B的平分線上②在∠DAC的平分線上③在∠ECA的角平分線上④恰是∠B、∠DAC、∠ECA的三條角平分線的交點(diǎn)，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)圖1332圖1332知識(shí)點(diǎn)3,4題型34.如圖11333，已知∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=1cm，BC=6cm，則△BDC的面積為（）圖11333A、1cm2B、6cm2C、3cm2D、12cm2知識(shí)點(diǎn)2題型65．（2010湖北鄂州，4，3分）如圖11334，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC于點(diǎn)F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC＝（）A．4B．3C．6D．圖11334知識(shí)點(diǎn)2題型66.如圖11335，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于.圖11335知識(shí)點(diǎn)2題型27．如圖11336，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD與BC交于點(diǎn)P。求證：AP=BP。圖11336知識(shí)點(diǎn)2題型18．如圖11337，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E.求證:A點(diǎn)在∠CDE的平分線上.圖圖11337知識(shí)點(diǎn)2，3題型49.作圖題（用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）如圖11338所示，在一次軍事演習(xí)中，紅方偵查員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點(diǎn)700m，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在圖示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置。圖11338知識(shí)點(diǎn)1題型5能力突破10.（2011湖南岳陽(yáng)，14,3分）如圖圖11339，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE＝2，則兩平行線AD與BC間的距離為．EEDPCBA圖11339知識(shí)點(diǎn)2題型211.（2011湖北恩施市，9，3分）如圖11340，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為：A.11B.5.5C.7D.3.5圖11340知識(shí)點(diǎn)2題型612.（2010青海西寧，26，8分）八（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）.設(shè)計(jì)了如下方案：圖11341（Ⅰ）∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.（Ⅱ）∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由.（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請(qǐng)說明理由.知識(shí)點(diǎn)3題型713.我們做風(fēng)箏時(shí)，常把風(fēng)箏的骨架表示成如圖11342所示的形式，為使風(fēng)箏平衡，須使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA、PD⊥OB，那么，PC和PD滿足什么條件，才能保證OP為∠AOB的角平分線呢？圖11342知識(shí)點(diǎn)3題型313.思路導(dǎo)引：本題是把生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決的。根據(jù)角平分線的判定定理可知：當(dāng)PC=PD時(shí)，才能保證OP為∠AOB的角平分線.解：∵PC⊥OA，PD⊥OB∴∠PCO=∠PDO=90°∵OP=OP，PC=PD∴△PCO≌△PDO∴∠AOP=∠BOP．∴PC和PD應(yīng)滿足PC=PD，才能保證OP為∠AOB角平分線．14．如圖11343，有一塊三角形的空地，其三邊長(zhǎng)分別為30m、40m、50m，現(xiàn)要把它分成面積比為3：4：5的三部分種植三種不同的花，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，并簡(jiǎn)要說明理由。圖圖11343知識(shí)點(diǎn)4題型715.如圖11344，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分線，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD=40°，則∠CED等于多少度？圖11344知識(shí)點(diǎn)2題型115.思路導(dǎo)引：作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分別是NMH，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABD，∠ABM=70°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EN=EM=EH，推出DE是∠ADB的平分線即可．16.已如圖11345，D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等。求證：AD平分∠BAC。圖圖11345知識(shí)點(diǎn)3題型617.如圖11346,在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。圖圖11346知識(shí)點(diǎn)2題型818.知識(shí)點(diǎn)2,3題型9參考答案2.C思路導(dǎo)引：角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∵CD＝3cm，∴DE＝33.D思路導(dǎo)引:∵P到BE、BD的距離相等(已知)，∴P在∠B的平分線上(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上).同理,P到BD、AC的距離相等.∴P在∠CAD的平分線上，P也在∠ACE的平分線上，所以P是∠B、∠DAC、∠ECA的平分線的交點(diǎn)。4.C思路導(dǎo)引：過D做DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D到BC的距離DE=AD=1cm，則△BDC的面積=12×6×1=3cm25.B思路導(dǎo)引：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2．∵AB＝4，∴S△ABD＝EQ\F(1,2)×4×2＝4．∵S△ABC＝7，∴S△ACD＝3，∴AC＝EQ\F(3×2,2)＝3．故選B．5.B思路導(dǎo)引：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2．∵AB＝4，∴S△ABD＝EQ\F(1,2)×4×2＝4．∵S△ABC＝7，∴S△ACD＝3，∴AC＝EQ\F(3×2,2)＝3．故選B．6.3cm思路導(dǎo)引：由于∠ACB=90°,所以EC⊥BC，由于DE⊥AB于D，BE平分∠ABC，所以DE=EC.因此AE+DE=AE+EC=AC=3cm.7.證明：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD∴△APC≌△BPD，∴AP=BP。8.證明:∵AD是角平分線(已知)，∴∠BAD=∠CAD(角平分線的定義).∵DE⊥AB，∠C=90°(已知)，∴DE=DC(角的平分線的性質(zhì)).在△ADC和△ADE中，∠BAD=∠CAD，DE=DC，∠C=∠AED，∴△AED≌△ACD(AAS)，∴AE=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，∴A點(diǎn)在∠CDE的平分線上(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上).解：如圖所示，點(diǎn)C就是藍(lán)方指揮部的位置。點(diǎn)撥：解決此類作圖問題的關(guān)鍵是將具體實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再根據(jù)尺規(guī)作圖的方法畫圖。10.4思路導(dǎo)引：過P點(diǎn)作PM⊥AD于M，PN⊥BC于N，則M、N、P三點(diǎn)共線，∵BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB于點(diǎn)E，PM⊥AD于M，PN⊥BC于N．∴PN=PE=PM（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．∵PE=2，∴PM＝PN＝2．∴MN＝4．EEDPCBAMN11.B思路導(dǎo)引：過D作DH⊥AC,交AC與點(diǎn)H,∵AD是△ABC的角平分線,∴∠FAD＝∠CAD,又∵∠AFD＝∠AHD＝90°,AD＝AD,∴△AFD≌△AHD，∴DF＝DH,在Rt△DFE和Rt△DHG中，DE=