回歸銳角三角函數(shù)定義解題

2/2回歸銳角三角函數(shù)定義解題銳角三角形函數(shù)是初中幾何的重要內(nèi)容，是解直角三角形的基礎(chǔ)，利用銳角三角函數(shù)定義解題，往往使計(jì)算方便簡(jiǎn)潔．一、求銳角三角函數(shù)值例1已知∠A為銳角，sinA=eq\f(5,13)，求其他三角函數(shù)值．解析：設(shè)∠A為某直角三角形的銳角，其對(duì)邊a為5k，斜邊c為13k(k＞0)，則∠A的鄰邊b為12k．根據(jù)定義，得cosA=eq\f(b,c)=eq\f(12k,13k)=eq\f(12,13)，tanA=eq\f(a,b)=eq\f(5k,12k)=eq\f(5,12)，cotA=eq\f(12,5)．二、求條件代數(shù)式的值例2已知∠A為銳角，tanA=2．求eq\f(sinA+2cosA,3sinA-cosA)的值．解析：設(shè)∠A為Rt△ABC的一銳角，其對(duì)邊為a，斜邊為c，鄰邊為b．∵tanA=eq\f(a,b)=2，∴a=2b．∴c=eq\r(5)b∴sinA=eq\f(a,c)cosA=eq\f(b,c)求出代入式子即可求出.三、證明三角函數(shù)值例3在中，的對(duì)邊為，且．試說(shuō)明．錯(cuò)解：設(shè)，則．所以．分析：本題中沒(méi)有說(shuō)明，而直接應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的定義是錯(cuò)誤的，應(yīng)先說(shuō)明為直角三角形，且后才能用定義．正解：設(shè)，因?yàn)?，所以是以為斜邊的直角三角形．所?．所以．四、比較三角函數(shù)值的大小例4已知α為銳角，比較sinα與tanα的大小解析：設(shè)α為Rt△ABC的一銳角，其對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c．∵sinα=eq\f(a,c)，tanα=eq\f(a,b)，又∵c＞b＞0，∴eq\f(a,c)＜eq\f(a,b)，即sinα＜tanα．五、證明相關(guān)關(guān)系式例5在Rt△ABC中，∠C=90

，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，求證：b3sinA+a3sinB=abc．證明：在Rt△ABC中，∵∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，∴sinA=eq\f(a,c)，sinB=eq\f(b,c)，a2+b2=c2，∴b3sinA+a3sinB=b3·eq\f(a,c)+a3eq\f(b,c)=eq\f(ab3+a3b,c)=eq\f(ab(b2+a2),c)=ab·eq\f(c3,c)=abc．六、求非特殊角的三角函數(shù)值例6求tan15

的值．解：如右圖，作Rt△ABC，使∠C=90

，∠B=30

，延長(zhǎng)CB到D，使BD=BA，則∠D=15

，設(shè)AC=k，則AB=2k，BC=eq\r(3)k．∴C