高一預習-5.4三角函數(shù)的圖像與性質（教師版）-初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）

5.4三角函數(shù)的圖象與性質【知識梳理】知識點正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ【基礎自測】1．函數(shù)f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,12)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))【答案】D【詳解】由2x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.2．下列函數(shù)中周期為eq\f(π,2)，且為偶函數(shù)的是()A．y＝sin4x B．y＝coseq\f(1,4)xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x－\f(π,2)))【答案】C【詳解】顯然周期為eq\f(π,2)的有A和C，又因為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,2)))＝cos4x是偶函數(shù)，故選C.3．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))在[0，π]上的單調遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))【答案】D4．函數(shù)y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))在x＝________時，y取最大值．【答案】4kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【詳解】當函數(shù)取最大值時，eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．5．函數(shù)y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域為________．【答案】[－4,4]【詳解】∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，則t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴當t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)時，ymin＝－4，當t＝1，即x＝eq\f(π,4)時，ymax＝4.故所求函數(shù)的值域為[－4,4]．【例題詳解】一、三角函數(shù)的定義域例1(1)函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)【詳解】要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0,2π]內，滿足sinx＝cosx的x為eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).(2)函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))【答案】D【詳解】由x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.跟蹤訓練1(1)函數(shù)f(x)＝ln(cosx)的定義域為()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z【答案】C【詳解】由題意知，cosx>0，∴2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.二、三角函數(shù)的值域【答案】D故選：D.(2)函數(shù)y=tan（+），x∈（0，]的值域是______．故答案為，．【點睛】本題考查了與正切函數(shù)有關的值域求法，是基礎題．(3)函數(shù)y＝4cos2x＋4cosx－2的值域是（

）【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質以及三角函數(shù)有界性求得值域.故選：B.【答案】B故選：B.題型三、三角函數(shù)的周期性例3(1)下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為()A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0【答案】B【詳解】∵cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|是周期函數(shù)．其余函數(shù)均不是周期函數(shù)．(2)在函數(shù)①，②，③,④中，最小正周期為的所有函數(shù)為A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A考點：三角函數(shù)的圖象和性質跟蹤訓練3下列函數(shù)中周期為且為偶函數(shù)的是【答案】A【分析】對于每一個選項化簡再判斷得解.對于選項C,y=cosx,周期為2π，所以選項C錯誤；對于選項D,y=sinx,周期為2π，所以選項D錯誤.故答案為A題型四、三角函數(shù)的對稱性【答案】A故選：A【答案】D故選【答案】D【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性，可以得到一個等式，結合四個選項選出正確答案.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了數(shù)學運算能力.【答案】B【分析】計算余弦型函數(shù)的對稱中心，然后直接進行判斷即可.故選：B【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱中心，屬基礎題.A．B．C．D．【答案】A【分析】利用余弦函數(shù)的對稱中心及給定條件列式，再經推理計算即可得解.所以|φ|的最小值為.故選：A題型五、三角函數(shù)的單調性【答案】A故選：A.【答案】C故選：C.考點：三角函數(shù)的性質：單調性.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)單調區(qū)間的求法，屬于基礎題.(2)下列各式中正確的是（

）【答案】C【分析】利用正切函數(shù)的單調性可判斷AB選項的正誤，利用余弦函數(shù)的單調性可判斷C選項的正誤，利用正弦函數(shù)的單調性可判斷D選項的正誤.故選：C.【點睛】思路點睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應用.【課堂鞏固】【答案】C【分析】利用正切函數(shù)的定義域和值域，求得該函數(shù)的值域．故選：C．【點睛】本題主要考查正切函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．【答案】C【詳解】試題分析：利用誘導公式、三角函數(shù)的單調性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b，∴c＞b＞a．故選C．考點：不等式比較大?。?．下列關系中，正確的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質及誘導公式判斷D；故選：B【答案】D故選：D【點睛】本題考查正切函數(shù)的圖像與性質，屬于基礎題.【答案】D考點：1.三角函數(shù)的周期性；2.三角函數(shù)的奇偶性；3.圖像得對稱軸；4.函數(shù)的單調性.【答案】A考點：三角函數(shù)單調性．【答案】D故選：D.【點睛】本題考查正切型函數(shù)的周期、值域、對稱性和單調區(qū)間，屬于簡單題.【分析】對數(shù)函數(shù)要求真數(shù)大于0，解正弦不等式，求出定義域.【點睛】本題考查了三角函數(shù)值的大小比較，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的靈活運用.11．關于下列命題：所有正確命題的序號是_____．【答案】②③【分析】結合相關知識對給出的每個選項分別進行分析、判斷可得正確的命題．【詳解】對于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，則sinα=sinβ，所以①錯誤；綜上，命題②③正確．【點睛】本題綜合考查三角函數(shù)的有關內容，考查綜合運用和解決問題的能力，解題時可根據(jù)題中的要求分別進行求解，但由于涉及的內容較多，所以解題時要注意結果的正確性．(1)求的定義域、值域；(2)探究的周期性、奇偶性、單調性及其圖象的對稱性.【分析】(1)根據(jù)給定函數(shù)結合正切函數(shù)的定義域和值域即可計算作答.(2)借助正切函數(shù)的周期性、奇偶性、單調性及其圖象的對稱性探討相應性質即可作答.即函數(shù)的定義域關于數(shù)0不對稱，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；【課時作業(yè)】A．1 B．0 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解.故選：C.【點睛】本題考查正弦函數(shù)的最值，屬于簡單題.【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調性、正切函數(shù)的值域即可得出．故選C．【點睛】本題考查了指對函數(shù)的單調性、三角函數(shù)的單調性的應用，屬于基礎題．①函數(shù)的最小值是其中正確的說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】求出函數(shù)的最值，對稱中心坐標，對稱軸方程，以及函數(shù)的單調區(qū)間，即可判斷正誤．故選：B【答案】B【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質，即可求解函數(shù)的單調遞增區(qū)間，得到答案.【點睛】本題主要考查了正切函數(shù)的圖象與性質的應用，其中解答中熟記正切函數(shù)的圖象與性質，列出相應的不等式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.【答案】A故選A．【點睛】本題綜合考查三角函數(shù)的性質，考查轉化和運用知識解決問題的能力，解題時要將給出的性質進行轉化，進而得到關于參數(shù)的等式，并由此求出參數(shù)的取值，最后再根據(jù)解析式得到函數(shù)的單調區(qū)間．【答案】C故選：C【答案】C【點睛】本題綜合考查三角函數(shù)奇偶性、單調性與對數(shù)函數(shù)的公式，由x值的大小比較y值的大小是一種常見題型，需要分析出所給函數(shù)的性質．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C綜上，有5個零點.故選：C【答案】AC【分析】逐項代入驗證，化簡即可得到結果.故選：AC.得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，【答案】故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)性質求參數(shù)的問題,屬于基礎題型.14．給出下列四個