第5章 4.1二項式定理的推導 北師大版高中數(shù)學選擇性必修第一冊課件

第五章4.1二項式定理的推導基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.能用多項式運算法則及基本計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

二項式定理

二項式定理問題往往利用通項解決

(k+1)名師點睛1.展開式的特點:(1)展開式共有n+1項,各項中a,b的指數(shù)和都是n;(2)a按降冪排列,指數(shù)由n逐項減1直到0;b按升冪排列,指數(shù)由0逐項加1直到n.2.二項式定理表示一個恒等式,對于任意的a,b,該等式都成立.通過對a,b取不同的特殊值,可使某些問題的解決更為方便.二項式定理通常還有如下三種常見變形.4.二項展開式的通項中b的指數(shù)和組合數(shù)的上標相同,a與b的指數(shù)之和為n.5.二項展開式的通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、a與b的指數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大項等)及系數(shù)等方面有著廣泛的應用.思考辨析1.在初中,我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.試用分步乘法計數(shù)原理解釋上述展開過程.提示

從上述過程可以看到,(a+b)2是2個(a+b)相乘,根據(jù)多項式乘法法則,每個(a+b)在相乘時有兩種選擇,選a或選b,而且每個(a+b)中的a或b都選定后,才能得到展開式的一項.于是,由分步乘法計數(shù)原理,在合并同類項之前,(a+b)2的展開式共有2×2=22(項),而且每一項都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.而且a2-kbk相當于從2個(a+b)中取k個b的組合數(shù)

,即a2-kbk的系數(shù)是

.2.你能根據(jù)上述問題的分析,寫出(a+b)3的展開式嗎?類比上面的寫法,你能寫出(a+b)n的展開式嗎?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)(a+b)n的展開式中共有n項.(

)(2)an-kbk是(a+b)n展開式中的第k項.(

)(3)在公式中,交換a,b的順序?qū)Ω黜棝]有影響.(

)(4)(a-b)n與(a+b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同.(

)×××√2.

展開式中的常數(shù)項為(

)

A.80 B.-80 C.40 D.-40C3.[蘇教版教材例題]利用二項式定理展開下列各式:(1)(a-b)6;重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一二項式定理的正用、逆用規(guī)律方法

1.形式簡單的二項式展開時可直接利用二項式定理展開,對于形式較復雜的二項式,在展開之前可以根據(jù)二項式的結(jié)構(gòu)特點進行必要的變形,然后再展開,以使運算得到簡化.記準、記熟二項式(a+b)n的展開式是正確解答與二項式定理有關(guān)的問題的前提.2.逆用二項式定理要注意二項展開式的結(jié)構(gòu)特點,a的指數(shù)是從高到低,b的指數(shù)是從低到高,a,b的指數(shù)和都相等,如果項的系數(shù)是正負相間,那么是(a-b)n的形式.

★(2)化簡:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.探究點二二項式通項的應用角度1.二項式系數(shù)與項的系數(shù)(1)二項展開式第4項的二項式系數(shù);(2)二項展開式第4項的系數(shù);(3)二項展開式的第4項.規(guī)律方法

1.二項式系數(shù)都是組合數(shù)

(k∈{0,1,2,…,n}),它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念.2.第k+1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號,而此項的二項式系數(shù)為

.(1)求n的值;(2)求展開式中含x3的項,并指出該項的二項式系數(shù).角度2.求二項展開式中的特定項求:(1)展開式中第四項;(2)展開式中有理項的系數(shù)和.規(guī)律方法

求二項展開式的特定項的常用方法

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①若該二項式的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,求正整數(shù)n的值;②在①的條件下,求展開式中x4項的系數(shù).角度3.多項式展開問題【例4】

(1)[2024河南鄭州月考]在(x+y+2)5的展開式中,xy3的系數(shù)是(

)A.24 B.32 C.36 D.40D(2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為(

)A.15 B.20 C.30 D.35C變式訓練4(1)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為(

)A.10 B.20 C.30 D.60CA.5 B.10 C.15 D.20C學以致用·隨堂檢測促達標123451.(x-)5的展開式中含x3項的二項式系數(shù)為(

)A.-10 B.10 C.-5 D.5D123452.在(2x+a)5(其中a≠0)的展開式中,x2的系數(shù)與x3的系數(shù)相同,則實數(shù)a的值為(

)D123