二次函數(shù)專(zhuān)題訓(xùn)練(菱形的存在性)含答案

1、1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（18，0）（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y正半軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2如圖，拋物線y=ax2+bx2的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)

2、D，交直線BC于點(diǎn)E（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時(shí)，求四邊形POBE的面積；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便探究】3如圖，拋物線y=ax22x+c（a0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一

3、點(diǎn)P，將EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)4如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過(guò)A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2，當(dāng)t=1時(shí)，求SACP的面積；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點(diǎn)求PF的長(zhǎng)度關(guān)于t的函

4、數(shù)表達(dá)式，并求出PF的長(zhǎng)度的最大值；連接CF，將PCF沿CF折疊得到PCF，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFPC是菱形？5如圖，已知已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，直線y=2x1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F（1）求m的值及該拋物線的解析式（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若SADP=SADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的

5、運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由6如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）23與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)（1）求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由7已知拋物線y=x2+1（如圖所示）（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），對(duì)稱(chēng)軸是；（2）已知y

6、軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由8.(2016 山東省威海市)如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，連接AC，CD（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足ECD=ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，N，P為

7、頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)9. (2012 山東省煙臺(tái)市) 如圖， 在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作于，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)何值時(shí)，在矩形內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫(xiě)出的值10.(2012 青海省) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)

8、P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PO，PC，并將POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積. 二次函數(shù)之菱形的存在性 參考答案1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（18，0）（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y正半軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線

9、DE的解析式；（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BFx軸于F，在RtBCF中BCO=45，BC=12 CF=BF=12 C 的坐標(biāo)為（18，0）AB=OF=6點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，12）（2）過(guò)點(diǎn)D作DGy軸于點(diǎn)G，ABDG，ODGOBA，=，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8，D（4，8），E（0，4）設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k0）；直線DE解析式為y=x+4（3）結(jié)論：存在設(shè)直線y=x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，則E（0，

10、4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4如答圖2所示，有四個(gè)菱形滿足題意菱形OEP1Q1，此時(shí)OE為菱形一邊則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44易知P1NF為等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42；設(shè)P1Q1交x軸于點(diǎn)N，則NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2，又ON=OFNF=2，Q1（2，2）；菱形OEP2Q2，此時(shí)OE為菱形一邊此時(shí)Q2與Q1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，Q2（2，2）；菱形OEQ3P3，此時(shí)OE為菱形一邊此時(shí)P3與點(diǎn)F重合，菱形OEQ3P3為正方形，Q3（4，4）；菱形OP4EQ4，此時(shí)OE為菱形對(duì)角線由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線，由OE=4

11、，得P4縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=x+4得橫坐標(biāo)為2，則P4（2，2），由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或y軸對(duì)稱(chēng)，Q4（2，2）綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）2如圖，拋物線y=ax2+bx2的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時(shí)，求四邊形POBE的面積；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平

12、面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便探究】【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx2的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，A（2，0）在拋物線上，解得：，拋物線解析式為y=x2x2；（2）令y=x2x2=0，解得：x1=2，x2=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，B（4，0），C（0，2），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，則，解得：，y=x2，設(shè)D（m，0），DPy軸，E（m，m2），P（m，m2m2），OD=4PE，m=4（m2m2m+2），m=5，m=0（舍去），

13、D（5，0），P（5，），E（5，），四邊形POBE的面積=SOPDSEBD=51=；（3）存在，設(shè)M（n，n2），以BD為對(duì)角線，如圖1，四邊形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+，M（，），M，N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，N（，）；以BD為邊，如圖2，四邊形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，過(guò)M作MHx軸于H，MH2+DH2=DM2，即（n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合題意），n2=5.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+（不合題意，舍去），n2=4，N（5，），以BD為邊，如圖3，過(guò)M作MHx軸于H，MH2+BH2=BM2，即（n2）2+（n4

14、）2=12，n1=4+，n2=4（不合題意，舍去），N（5+，），綜上所述，當(dāng)N（，）或（4.6，）或（5，）或（5+，），以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形3如圖，拋物線y=ax22x+c（a0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖1，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，將EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F(xiàn)，M，N為

15、頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)【解答】解：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：a=1，c=8拋物線的解析式為y=x22x8y=（x1）29，D（1，9）（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x22x8=0，解得x=4或x=2，B（4，0）y=（x1）29，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，E（1，0）將EBP沿直線EP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，EP為BEF的角平分線BEP=45設(shè)直線EP的解析式為y=x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：1+b=0，解得b=1，直線EP的解析式為y=x+1將y=x+1代入拋物線的解析式得：x+1=x22x8，解得：x=或x=點(diǎn)P在第四

16、象限，x=y=P（，）（3）設(shè)CD的解析式為y=kx8，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：k8=9，解得k=1，直線CD的解析式為y=x8設(shè)直線CB的解析式為y=k2x8，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k28=0，解得：k2=2直線BC的解析式為y=2x8將x=1代入直線BC的解析式得：y=6，F(xiàn)（1，6）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a8）當(dāng)MF=MB時(shí)，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2，整理得：6a=75，解得：a=點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）當(dāng)FM=FB時(shí)，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2，整理得：a2+a20=0，解得：a=4或a=5點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，12）或（5，3）綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

17、，）或（4，12）或（5，3）4如圖1，拋物線y=ax2+bx+4的圖象過(guò)A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2，當(dāng)t=1時(shí)，求SACP的面積；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點(diǎn)求PF的長(zhǎng)度關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出PF的長(zhǎng)度的最大值；連接CF，將PCF沿CF折疊得到PCF，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFPC是菱形？【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx+4的圖象過(guò)A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，解得：拋物線的表達(dá)

18、式為y=x2+3x+4（2）令x=0，則y=4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），BC=4設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），0=4k+4，解得k=1，直線BC的解析式為y=x+4當(dāng)t=1時(shí)，CP=，點(diǎn)A（1，0）到直線BC的距離h=，SACP=CPh=（3）直線BC的解析式為y=x+4，CP=t，OE=t，設(shè)P（t，t+4），F(xiàn)（t，t2+3t+4），（0t4）PF=t2+3t+4（t+4）=t2+4t，（0t4）當(dāng)t=2時(shí)，PF取最大值，最大值為4PCF沿CF折疊得到PCF，PC=PC，PF=PF，當(dāng)四邊形PFPC是菱形時(shí)，只需PC=PFt=t2+4t，解得：t1=0（舍去）

19、，t2=4故當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PFPC是菱形5如圖，已知已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，直線y=2x1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F（1）求m的值及該拋物線的解析式（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若SADP=SADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）點(diǎn)B（2，m）在

20、直線y=2x1上m=2（2）1=41=3，所以，點(diǎn)B（2，3），又拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，點(diǎn)B（2，3），A（4，0）在拋物線上，解得：拋物線的解析式為y=x2x；（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，P（x，x2x），若SADP=SADC，SADC=ADOC，SADP=AD|y|，又點(diǎn)C是直線y=2x1與y軸交點(diǎn)，C（0，1），OC=1，|x2x|=1，即x2x=1，或x2x=1，解得：x1=2+2，x2=22，x3=x4=2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 P1（2+2，1）P2=（22，1），P3）2，1）；（3）結(jié)論：存在拋物線的解析式為y=x2x，頂點(diǎn)E（2，1），對(duì)稱(chēng)軸為

21、x=2；點(diǎn)F是直線y=2x1與對(duì)稱(chēng)軸x=2的交點(diǎn)，F(xiàn)（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形：菱形AEM1Q1此時(shí)EM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此時(shí)DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此時(shí)EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此時(shí)AE為菱形的對(duì)角線，設(shè)對(duì)角線AE與M4Q4交于點(diǎn)H，則AEM4Q4，易知AEDM4EH，=，即=，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=綜上所

22、述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)Q，使得以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t的值為：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=6如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）23與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)（1）求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：

23、（1）拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，）a3=，解得：a=，y=（x+1）23當(dāng)y=0時(shí)，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）A（4，0），B（2，0），C（0，），D（1，3）S四邊形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC=33+（+3）1+2=10從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時(shí)，則S=10=3，3（y）=3y=2，點(diǎn)M1（2，2），過(guò)點(diǎn)H（1，0）和M1（2，2）的直線l的解析式為y=2x+2當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時(shí)，同理可得點(diǎn)M2（，2），過(guò)點(diǎn)H（1，0）和M2（，2）的直線l的解析式為y

24、=x綜上所述：直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2或y=x（3）設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2）且過(guò)點(diǎn)H（1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn)M（k1，k2）假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖，直線DNPQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k3由，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四邊形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0， 解得k=，k0，

25、k=，P（31，6），M（1，2），N（21，1）PM=DN=2，PMDN，四邊形DMPN是平行四邊形，DM=DN，四邊形DMPN為菱形，以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（21，1）7已知拋物線y=x2+1（如圖所示）（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對(duì)稱(chēng)軸是x=0（或y軸）；（2）已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是

26、（0，1），對(duì)稱(chēng)軸是y軸（或x=O）（2）PAB是等邊三角形，ABO=9060=30AB=20A=4PB=4解法一：把y=4代入y=x2+1，得 x=2P1（2，4），P2（2，4） 解法二：OB=2 P1（2，4） 根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得P2（2，4） （3）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b 解得：解析式為：y=x+2設(shè)存在點(diǎn)N使得OAMN是菱形，點(diǎn)M在直線AP上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m，m+2）如圖，作MQy軸于點(diǎn)Q，則MQ=m，AQ=OQOA=m+22=m四邊形OAMN為菱形，AM=AO=2，在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2

27、，即：m2+（m）2=22 解得：m=代入直線AP的解析式求得y=3或1，當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí)，分為兩種情況：當(dāng)N在右圖1位置時(shí)，OA=MN，MN=2，又M點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），即N1坐標(biāo)為（，1）當(dāng)N在右圖2位置時(shí)，MN=OA=2，M點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），即N2坐標(biāo)為（，1）當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí)，分為兩種情況：第一種是當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上時(shí)（PA內(nèi)部）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）；第二種是當(dāng)M點(diǎn)在PA的延長(zhǎng)線上時(shí)（在第一象限）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）存在N1（，1），N2（，1）N3（，1），N4（，1）使得四邊形OAMN是菱形8.(2016 山東省威海

28、市)如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，連接AC，CD（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足ECD=ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)分析（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可（2）分點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上和點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上兩種情況，用三角函數(shù)求解即可；（3）分CM為菱形的邊和CM為菱形的對(duì)角線，用菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；解：（1）拋物線y=ax2+bx+c的

29、圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，拋物線解析式為y=（x+2）（x4）=x2+x+4；（2）如圖1，點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上，記E，連接CE，過(guò)E作EFCD，垂足為F，由（1）知，OC=4，ACO=ECF，tanACO=tanECF，=，設(shè)線段EF=h，則CF=2h，點(diǎn)E（2h，h+4）點(diǎn)E在拋物線上，（2h）2+2h+4=h+4，h=0（舍）h=E（1，），點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上，記E，同的方法得，E（3，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），（3，）（3）CM為菱形的邊，如圖2，在第一象限內(nèi)取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PNy

30、軸，交BC于N，過(guò)點(diǎn)P作PMBC，交y軸于M，四邊形CMPN是平行四邊形，四邊形CMPN是菱形，PM=PN，過(guò)點(diǎn)P作PQy軸，垂足為Q，OC=OB，BOC=90，OCB=45，PMC=45，設(shè)點(diǎn)P（m， m2+m+4），在RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0），C（0，4），直線BC的解析式為y=x+4，PNy軸，N（m，m+4），PN=m2+m+4（m+4）=m2+2m，m=m2+2m，m=0（舍）或m=42，菱形CMPN的邊長(zhǎng)為（42）=44CM為菱形的對(duì)角線，如圖3，在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PMBC，交y軸于點(diǎn)M，連接CP，過(guò)點(diǎn)M作MNCP，交BC于N，四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點(diǎn)Q，四邊形CPMN是菱形，PQCM，PCQ=NCQ，OCB=45，NCQ=45，PCQ=45，CPQ=PCQ=45，PQ=CQ，設(shè)點(diǎn)