單位圓與正余弦函數(shù)的定義

1、1.4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)1.4.2 單位圓與周期性主備人：劉紅巖一、 教學(xué)目標(biāo)1、 理解利用單位圓定義的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念2、 通過(guò)借助單位圓討論正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的過(guò)程，感悟數(shù)形結(jié)合思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一二、 教學(xué)重、難點(diǎn)1、 正、余弦函數(shù)的定義及正、余函數(shù)值的符號(hào)；會(huì)利用單位圓求三角函數(shù)值；2、 利用單位圓的獨(dú)特性，是高中數(shù)學(xué)中的一種重要方法三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1、由銳角的正、余弦函數(shù)推廣到任意角的正、余弦函數(shù)的過(guò)程中，體會(huì)特殊與一般的關(guān)系，形成一種辯證統(tǒng)一的思想；2、通過(guò)單位圓的學(xué)習(xí)，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決

2、問(wèn)題的能力。 四、教學(xué)過(guò)程嘗試回憶1、1弧度的角；2、角度制與弧度制的互化；3、弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式；4、用弧度制表示第一象限內(nèi)的角的集合和x軸上的角的集合。2、特別注意：角度與弧度不要混用。如，應(yīng)寫(xiě)成或3、初中所學(xué)的銳角的正、余弦函數(shù)是如何定義的？ 由銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，由直角中的邊之比定義，推廣到直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)定義。問(wèn)題引入如圖是一個(gè)摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2R，逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)（如圖1所示），則（1）過(guò)了30秒后，你離地面的高度為多少？（2）過(guò)了45秒呢？過(guò)了t秒呢？【設(shè)計(jì)意圖

3、】從學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題。探究新知1、單位圓在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)為半徑的圓，稱為單位圓。單位長(zhǎng)：可以是1cm、1m、1km、1光年等。單位圓可根據(jù)需要移到其它地方。2、任意角的正、余弦函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，給定單位圓，對(duì)于任意角，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)，則交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫作角的正弦函數(shù)，記作v=sin; 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u叫作角的余弦函數(shù),記作u=cos. 通常，用x表示自變量，用x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，因此定義任意角的三角函數(shù)y=sinx和y=cosx,定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1，1?！驹O(shè)計(jì)意圖

4、】升華概念，加深對(duì)概念的理解。3、 三角函數(shù)值的符號(hào)思考：以小組為單位討論當(dāng)角的終邊分別在第一、第二、第三、第四象限時(shí)，角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的正、負(fù)號(hào)，幷將討論的結(jié)果填入下表： 象限 三角函數(shù) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生掌握根據(jù)定義，三角函數(shù)值的符號(hào)僅與點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)的符號(hào)有關(guān)。sin在一、二象限為正，三、四象限為負(fù)；cos在一、四象限為正，二、三象限為負(fù).軸線角的正余弦函數(shù)值也有符號(hào)。練習(xí)1、求 的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例1和練習(xí)1，使學(xué)生加深對(duì)三角函數(shù)概念的理解。總結(jié)提升：若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，y),則角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值分

5、別為： 【設(shè)計(jì)意圖】加深認(rèn)識(shí)：已經(jīng)角終邊的一個(gè)點(diǎn)P ，利用三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.例2：已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(-3,-4),求角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.練習(xí)2: 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,2)，求角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.變式1：已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(3a,4a)(a 0)，求sin 的值變式2：已知角的終邊落在直線y-2x上，求cos 的值【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例2和練習(xí)使學(xué)生掌握一下方法：1已知角的終邊在直線上，求的三角函數(shù)值，常用的解題方法有以下兩種:(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦

6、函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值(2)注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sin ，余弦值cos .2當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論例3：確定下列各式的符號(hào)(1) cos 250；(2)sin(/4)練習(xí)3：判斷下面各式的符號(hào)：sin 2cos3【思路探究】由角的終邊所在象限分別判斷三角函數(shù)值的符號(hào)；進(jìn)一步確定各式符號(hào)【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生掌握一下規(guī)律：1判斷三角函數(shù)值的符號(hào)關(guān)鍵是看角的終邊所在的象限位置，若角的終邊位置難以判斷應(yīng)先利用2k(kZ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化2判斷三角函數(shù)值的符號(hào)的步驟：(1)先觀察角所在終邊所在象限；(2)判斷角各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)；(3)給出最后的結(jié)論高考鏈接：（2011江西，14） 已知角 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸.若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)， 且 則y = .【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)高考真題，讓學(xué)生了解本節(jié)課在高考中的考察方向，把握重點(diǎn)。五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)（1）請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知