第2章--平面解析幾何初步-綜合檢測

1、第2章 平面解析幾何初步 綜合檢測(時間：120分鐘；滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1直線3axy10與直線(a23)xy10垂直，則a的值是()A1或13 B1或13C13或1 D13或1解析：選D.由3a(a23)(1)10，得a13或a1.2直線l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐標系中的圖形大致是圖中的() 解析：選C.直線l1：axyb0，斜率為a，在y軸上的截距為b，設k1a，m1b.直線l2：bxya0，斜率為b，在y軸上的截距為a，設k2b，m2a.由A知：因為l1l2，k1k20，m

2、1m20，即ab0，ba0，矛盾由B知：k10m20，即a0a0，矛盾由C知：k1k20，m2m10，即ab0，可以成立由D知：k1k20，m20m1，即ab0，a0b，矛盾3已知點A(1,1)和圓C：(x5)2(y7)24，一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是()A622 B8C46 D10解析：選B.點A關于x軸對稱點A(1，1)，A與圓心(5,7)的距離為(51)2(71)210.所求最短路程為1028.4圓x2y21與圓x2y24的位置關系是()A相離 B相切C相交 D內(nèi)含解析：選D.圓x2y21的圓心為(0,0)，半徑為1，圓x2y24的圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心距00

3、)及直線l：xy30，當直線l被圓C截得的弦長為23時，a的值等于()A.2 B.21C22 D.21解析：選B.圓心(a,2)到直線l：xy30的距離d|a23|2|a1|2，依題意|a1|2223224，解得a21.6與直線2x3y60關于點(1，1)對稱的直線是()A3x2y60B2x3y70C3x2y120D2x3y80解析：選D.所求直線平行于直線2x3y60，設所求直線方程為2x3yc0，由|23c|2232|236|2232，c8，或c6(舍去)，所求直線方程為2x3y80.7若直線y2k(x1)與圓x2y21相切，則切線方程為()Ay234(1x)By234(x1)Cx1或y2

4、34(1x)Dx1或y234(x1)解析：選B.數(shù)形結(jié)合答案容易錯選D，但要注意直線的表達式是點斜式，說明直線的斜率存在，它與直線過點(1,2)要有所區(qū)分8圓x2y22x3與直線yax1的公共點有()A0個 B1個C2個 D隨a值變化而變化解析：選C.直線yax1過定點(0,1)，而該點一定在圓內(nèi)部9過P(5,4)作圓C：x2y22x2y30的切線，切點分別為A、B，四邊形PACB的面積是()A5 B10C15 D20解析：選B.圓C的圓心為(1,1)，半徑為5.|PC|(51)2(41)25，|PA|PB|52(5)225，S12255210.10若直線mx2ny40(m、nR，nm)始終平

5、分圓x2y24x2y40的周長，則mn的取值范圍是()A(0,1) B(0，1)C(，1) D(，1)解析：選C.圓x2y24x2y40可化為(x2)2(y1)29，直線mx2ny40始終平分圓周，即直線過圓心(2,1)，所以2m2n40，即mn2，mnm(2m)m22m(m1)211，當m1時等號成立，此時n1，與“mn”矛盾，所以mn1.11已知直線l：yxm與曲線y1x2有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是()A(2,2) B(1,1)C1，2) D(2，2)解析：選C. 曲線y1x2表示單位圓的上半部分，畫出直線l與曲線在同一坐標系中的圖象，可觀察出僅當直線l在過點(1,0)與點(0,1

6、)的直線與圓的上切線之間時，直線l與曲線有兩個交點 當直線l過點(1,0)時，m1；當直線l為圓的上切線時，m2(注：m2，直線l為下切線)12過點P(2,4)作圓O：(x2)2(y1)225的切線l，直線m：ax3y0與直線l平行，則直線l與m的距離為()A4 B2C.85 D.125解析：選A.點P在圓上，切線l的斜率k1kOP1142243.直線l的方程為y443(x2)，即4x3y200.又直線m與l平行，直線m的方程為4x3y0.故兩平行直線的距離為d|020|42(3)24.二、填空題(本大題共4小題，請把答案填在題中橫線上)13過點A(1，1)，B(1,1)且圓心在直線xy20上

7、的圓的方程是_解析：易求得AB的中點為(0,0)，斜率為1，從而其垂直平分線為直線yx，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，這條直線應該過圓心，將它與直線xy20聯(lián)立得到圓心O(1,1)，半徑r|OA|2.答案：(x1)2(y1)2414過點P(2,0)作直線l交圓x2y21于A、B兩點，則|PA|PB|_.解析：過P作圓的切線PC，切點為C，在RtPOC中，易求|PC|3，由切割線定理，|PA|PB|PC|23.答案：315若垂直于直線2xy0，且與圓x2y25相切的切線方程為ax2yc0，則ac的值為_解析：已知直線斜率k12，直線ax2yc0的斜率為a2.兩直線垂直，(2)(a2)1，得a1.圓心到切線的

8、距離為5，即|c|55，c5，故ac5.答案：516若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：將圓x2y22x4y40化為標準方程，得(x1)2(y2)21，圓心為(1，2)，半徑為1.若直線與圓無公共點，即圓心到直線的距離大于半徑，即d|314(2)m|3242|m5|51，m0或m10.答案：(，0)(10，)三、解答題(本大題共6小題，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17三角形ABC的邊AC，AB的高所在直線方程分別為2x3y10，xy0，頂點A(1,2)，求BC邊所在的直線方程解：AC邊上的高線2x3y10，所以kAC32.所以A

9、C的方程為y232(x1)，即3x2y70，同理可求直線AB的方程為xy10.下面求直線BC的方程，由3x2y70，xy0，得頂點C(7，7)，由xy10，2x3y10，得頂點B(2，1)所以kBC23，直線BC：y123(x2)，即2x3y70.18一束光線l自A(3,3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射后與圓C：x2y24x4y70有公共點(1)求反射光線通過圓心C時，光線l所在直線的方程；(2)求在x軸上，反射點M的橫坐標的取值范圍解：圓C的方程可化為(x2)2(y2)21.(1)圓心C關于x軸的對稱點為C(2，2)，過點A，C的直線的方程xy0即為光線l所在直線的方程(2)A關于x軸的對稱

10、點為A(3，3)，設過點A的直線為y3k(x3)當該直線與圓C相切時，有|2k23k3|1k21，解得k43或k34，所以過點A的圓C的兩條切線分別為y343(x3)，y334(x3)令y0，得x134，x21，所以在x軸上反射點M的橫坐標的取值范圍是34，119已知圓x2y22x4ym0.(1)此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x2y40相交于M、N兩點，且OMON(O為坐標原點)，求m的值；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程解：(1)方程x2y22x4ym0，可化為(x1)2(y2)25m，此方程表示圓，5m0，即m5.(2)x2y22x4ym0，x2y

11、40，消去x得(42y)2y22(42y)4ym0，化簡得5y216ym80.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2165，y1y2m85. 由OMON得y1y2x1x20即y1y2(42y1)(42y2)0，168(y1y2)5y1y20.將兩式代入上式得1681655m850，解之得m85.(3)由m85，代入5y216ym80，化簡整理得25y280y480，解得y1125，y245.x142y145，x242y2125.M45，125，N125，45，MN的中點C的坐標為45，85.又|MN| 125452451252855，所求圓的半徑為455.所求圓的方程為x452y85

12、2165.20. 已知圓O：x2y21和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|PA|成立，如圖 (1)求a、b間關系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程解：(1)連接OQ、OP，則OQP為直角三角形， 又|PQ|PA|，所以|OP|2|OQ|2|PQ|21|PA|2，所以a2b21(a2)2(b1)2，故2ab30.(2)由(1)知，P在直線l：2xy30上，所以|PQ|min|PA|min，為A到直線l的距離，所以|PQ|min|2213|2212255.(或由|PQ|2|OP|21a2b

13、21a2912a4a215a212a85(a1.2)20.8，得|PQ|min255.)(3)以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點與l垂直的直線l與l的交點P0，所以r3221213551，又l：x2y0，聯(lián)立l：2xy30得P0(65，35)所以所求圓的方程為(x65)2(y35)2(3551)2.21有一圓與直線l：4x3y60相切于點A(3,6)，且經(jīng)過點B(5,2)，求此圓的方程解：法一：由題意可設所求的方程為(x3)2(y6)2(4x3y6)0，又因為此圓過點(5,2)，將坐標(5,2)代入圓

14、的方程求得1，所以所求圓的方程為x2y210x9y390.法二：設圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則圓心為C(a，b)，由|CA|CB|，CAl，得(3a)2(6b)2r2，(5a)2(2b)2r2，b6a3431，解得a5，b92，r2254.所以所求圓的方程為(x5)2(y92)2254.法三：設圓的方程為x2y2DxEyF0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圓上，得32623D6EF0，52225D2EF0，E26D23431，解得D10，E9，F(xiàn)39.所以所求圓的方程為x2y210x9y390.法四：設圓心為C，則CAl，又設AC與圓的另一交點為P，則CA的方程為y634(x

15、3)，即3x4y330.又因為kAB62352，所以kBP12，所以直線BP的方程為x2y10.解方程組3x4y330，x2y10，得x7，y3.所以P(7,3)所以圓心為AP的中點(5，92)，半徑為|AC|52.所以所求圓的方程為(x5)2(y92)2254.22如圖在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24.(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為23，求直線l的方程；(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等試求所有滿足條件的點P的坐標 解：(1)由于直線x4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在設直線l的方程為yk(x4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因為圓C1被直線l截得的弦長為23，所以d22(3)21.由點到直線的距離公式得d|1k(34)|1k2，從而k(24k7)0，即k0或k724，所以直線l的方程為y0或7x24y280. (2)設點P(a，b)滿足條件，不妨設直線l1的方程為ybk(xa)，k0，則直線l2的方程為yb1k(xa)因為圓C1和C2的半徑相等，且圓C1被直線l1