四川省宜賓市第三中學(xué)高中數(shù)學(xué) 專題講義之函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 新人教A版必修1（通用）

1、四川省宜賓市第三中學(xué)高中數(shù)學(xué) 專題講義之函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 新人教A版必修1【知識點精析】一、函數(shù)的單調(diào)性 1. 增函數(shù)、減函數(shù)的定義一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)，如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有 或都有 ，那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間。如函數(shù)是增函數(shù)則稱區(qū)間為 區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱區(qū)間為 區(qū)間。 2. 函數(shù)單調(diào)性可以從三個方面理解（1）圖形刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù)，函數(shù)圖象如從 向 連續(xù) ，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào) ，函數(shù)圖象如從 向 連續(xù) ，則稱函數(shù)

2、在該區(qū)間上單調(diào) 。（2）定性刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù)，如函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則稱函數(shù)在該區(qū)間上 ，如函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則稱函數(shù)在該區(qū)間上 。（3）定量刻畫，即定義。上述三方面是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑。二、函數(shù)奇偶性 1. 奇函數(shù)：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 或 ，則稱為奇函數(shù)。 2. 偶函數(shù)：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 或 ，則稱為偶函數(shù)。 3. 奇、偶函數(shù)的性質(zhì)（1）具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于 對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱）。（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱。（3）若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)

3、0，則 。（4）定義在上的任意函數(shù)都可以唯一表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。即：三、幾個重要的結(jié)論（解題的方法技巧）1.注意定義的如下兩種等價形式： 設(shè)，那么（1）在上是 函數(shù)；在上是 函數(shù)；（2）在上是 函數(shù)；在上是 函數(shù)。2.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：（1）定義法；（用于證明）（2）兩個增（減）函數(shù)的和仍為 函數(shù)；一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是 函數(shù)；（3）奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有 的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有 的單調(diào)性；（4）如果在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么在D的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)； （5）如果和單調(diào)性相同，那么是 函數(shù)；如果和單調(diào)性相反，那么是 函數(shù)（

4、簡而言之：同增異減）。 注意：（1）函數(shù)的奇偶性是對整個定義域而言的，是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性是對整個定義域或其子區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)，要注意將兩者結(jié)合起來研究函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用。 （2）奇函數(shù)在時有定義，則（3）在公共定義域上，兩奇函數(shù)之積（或商）為_函數(shù)；兩偶函數(shù)之積（或商）為_函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（或商）為_函數(shù)。（奇奇）為_。（偶偶）為_。【實戰(zhàn)演練】一、選擇題。1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()Ayx3，xR By，xR Cyx，xR Dyx，xR定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則（ ）(A) (B) (C) (D) 3. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)

5、，則的范圍是（ ）A B C D 4. 已知函數(shù)（）Ab Bb C D下列說法正確的是()A函數(shù)y是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)B函數(shù)yx3(x1)0是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)C函數(shù)yx2是偶函數(shù)，且在(3,0)上為減函數(shù)D函數(shù)yax2c(ac0)是偶函數(shù)，且在(0,2)上為增函數(shù)6奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)，在區(qū)間3,6上的最大值為8，最小值為1，則2f(6)f(3)的值為()A10B10C15 D157. 已知函數(shù)，則的奇偶性依次為A 偶函數(shù)，奇函數(shù) B 奇函數(shù)，偶函數(shù) C 偶函數(shù)，偶函數(shù) D 奇函數(shù)，奇函數(shù)8.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)2x3，則f

6、(2)()A1B. C1 D9.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ).A. B. C. D. 10已知函數(shù)，其中l(wèi)og2f(x)=2x，xR，則g(x)是（ ）A奇函數(shù)又是減函數(shù) B偶函數(shù)又是增函數(shù) C奇函數(shù)又是增函數(shù) D偶函數(shù)又是減函數(shù)11已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有 ，則的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 12定義在區(qū)間(-,+)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0,+)的圖象與f(x)的圖象重合.設(shè)ab0,給出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)1b0)(1)求f(x)的定義域；(2)若f(x)在(1，)上遞增且恒取正值，求a，b滿足的關(guān)系式19 已知函數(shù)的定義域為，且對任意，都有，且當(dāng)時，恒成立，證明：（1）函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）函數(shù)是奇函數(shù) 20. 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(3x1)0,設(shè)不等式解集為A，B=Ax|1x,求函數(shù)g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.21設(shè)函數(shù).(1)確定函數(shù)f (x)的定義域；(2)判斷函