2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法鞏固與練習(xí)（通用）

1、合并1.關(guān)于自然數(shù)N的一個命題，如果證明了當(dāng)n=1時該命題為真，并在假設(shè)該命題為真的基礎(chǔ)上當(dāng)n=k (k 1且kN*)時，證明了當(dāng)N=k 2時該命題為真，那么將上述情況進(jìn)行總結(jié)，為()A.所有正整數(shù)命題都成立B.所有積極的和奇怪的命題都是有效的C.所有積極的甚至是積極的主張都成立D.以上都不正確分析：選擇b。這個問題證明了n=1，3，5，7，的命題成立，也就是說，這個命題對所有的正奇數(shù)都成立。2.在系列an中，an=1 .-，那么AK 1=()A.ak+B.ak+-C.ak+D.ak+-分析：D1=1-，A2=1-，An=1-，AK=1-，所以AK 1=AK -。3.如果平面上有K條直線，其中

2、任意兩條直線不平行，任意三條直線不公共，并且K條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)，則f(k 1)與f(k)的關(guān)系為()A.f(k+1)=f(k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+2分析：選擇c。當(dāng)n=k 1時，取任意一條直線記為L，那么除了L之外的其他K條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)，因?yàn)橐阎我鈨蓷l直線不平行，所以直線L必須與平面上的其他K條直線相交(有K個交點(diǎn))；而且因?yàn)橐阎魏稳龡l直線都只是同一個點(diǎn)，上面的k個交點(diǎn)彼此不同，并且也不同于平面上的其他f(k)交點(diǎn)，所以平面上的交點(diǎn)的數(shù)量是f (k) k=f (k 1)。4.用數(shù)學(xué)歸納

3、法證明了當(dāng)nN*，1 2 22 23 25n-1是31的倍數(shù)時，當(dāng)n=1時，原公式為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：可以通過比較n=k和n=k 1得到。答：1 2 22 23 24 25k 25k 1 25k 2 25k 3 25k 45.數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)1 2 3.N2=，當(dāng)n=k 1時，左端將加上_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _當(dāng)n=k1時.分析：當(dāng)n=k時，左端為1 2 3k2；當(dāng)n=k 1時，左端

4、是1 2 3 k2 (k2 1) (k2 2) (k 1) 2。答：(k2 1)(k2 2)(k1)26.序列an滿足sn=2n-an (n n *)。(1)計算a1、a2、a3和a4，并猜測通式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。解決方案：(1) a1=1，a2=，a3=，a4=，因此，我們猜測an=(n n *)。(2)證明了當(dāng)n=1，a1=1時，結(jié)論成立。如果n=k (k 1且kN*)，則結(jié)論成立。那是AK=，然后當(dāng)n=k 1 (k 1且kN*)時，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1。2ak+1=2+ak，ak+1=，這表明當(dāng)n=k

5、1時，結(jié)論成立。an=(nN*).實(shí)踐1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn yn可以被x y整除”，第二個歸納法假設(shè)應(yīng)該寫成()A.假設(shè)n=2k 1 (k n *)是正確的，然后推n=2k 3使其正確B.假設(shè)n=2k-1 (k n *)是正確的，然后推n=2k 1至正確C.假設(shè)n=k (k n *)是正確的，然后推n=k 1至正確d假設(shè)n=k (k 1)是正確的，然后推n=k 2至正確分析：選擇b .首先，注意n是奇數(shù)，然后使n=2k-1得到1，所以選擇b .2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明方程1 3 5 (2n-1)=N2 (n n *)的過程中，第二步假設(shè)方程在n=k時成立，然后在n=k 1時

6、得到()。A.1+3+5+(2k+1)=k2B.1+3+5+(2k+1)=(k+1)2C.1+3+5+(2k+1)=(k+2)2D.1+3+5+(2k+1)=(k+3)2分析：當(dāng)選擇b .n=k1時，等式的左邊=1 3 5 (2k-1) (2k 1)=k2 (2k 1)=(k 1) 2。因此，乙.3.數(shù)學(xué)歸納法證明：“1 a a2 an 1=(a 1)”當(dāng)n=1被驗(yàn)證時，左端計算的項為()A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3分析：選擇c。當(dāng)n=1時，左端=1 a2。4.以下代數(shù)表達(dá)式(其中kN*)可被9整除()A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1) D.3(

7、2+7k)分析：選擇d。(1)當(dāng)k=1時，顯然只有3 (2 7k)能被9整除。(2)如果k=n (n n *)，該命題成立，即3 (2 7n)可以被9整除，那么3 (2 7n 1)=21 (2 7n)-36。也就是說，當(dāng)k=n 1時，這個命題成立。5.眾所周知，1 23 332 433 n3n-1=3n (na-b) c適用于所有nN*，那么a、b和c的值為()a=a，b=c=B，a=b=c=C.A=0，B=C=D。沒有這樣的A，B，C分析：對于所有的nN*，選擇一個方程是正確的，當(dāng) n=1，2，3，即得到解決，答案是a=，b=c=。6.在序列an，a1=，和sn=n (2n-1) an中，通

8、過找到a2，a3和a4，我們猜測an的表達(dá)式是()A.B.C.D.解析：從a1=，sn=n (2n-1)和，得到S2=2 (22-1) a2，即a1 a2=6a2。a2=,S3=3(23-1)a3，也就是說，a3=15a3。 A3=，A4=。所以選擇c .7.數(shù)學(xué)歸納法證明了當(dāng)“(n=k+1) (n 2)時.(n n)=2n13.(2n-1)，nN*”從“n=k”變?yōu)椤皀=k 1”，左側(cè)應(yīng)乘以的因子為分析：當(dāng)n=k (k n *)時，左邊的公式是(k1)(k2)(k k)；左邊的方程是(k1 1)(k1 2)(k1 k-1)(k1 k)(k1 k 1)。左邊應(yīng)該相乘的公式是=2(2k 1)。答

9、案：2 (2k 1)8.如果f (n)=12 22 32.(2n) 2，f(k 1)和f(k)之間的遞歸關(guān)系是_ _ _ _ _ _。分析：f (k)=12 22 (2k) 2，f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答：f (k 1)=f (k) (2k 1) 2 (2k 2) 29.在數(shù)列an中，已知a1=1，當(dāng)n2時，an-an-1=2n-1。依次計算a2、a3和a4后，我們猜想an的表達(dá)式是_ _ _ _ _ _ _。分析：我們計算A1=1，A2=4，A3=9，A4=16?？梢圆碌?，安=N2。回答：n

10、210.對于nN*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1=n(n+1)(n+2)。設(shè)f (n)=1n 2 (n-1) 3 (n-2) (n-1) 2 n1。(1)當(dāng)n=1時，左側(cè)=1，右側(cè)=1，等式成立；(2)當(dāng)n=k，即1k 2(k-1)3(k-2)(k-1)2 k1=k(k 1)(k 2)時，讓方程成立。然后當(dāng)n=k 1時，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)1=f(k)+1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3)。從

11、(1)和(2)可以知道，當(dāng)nN*時，方程成立。11.已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足1=anbn 1，bn 1=(n n *)并且點(diǎn)P1的坐標(biāo)是(1，-1)。(1)找出通過P1和P2點(diǎn)的直線l的方程；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明了對于nN*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上。解：(1)從P1坐標(biāo)(1，-1)，我們知道A1=1，B1=-1。b2=.a2=a1b2=。點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(，)直線l的方程式是2x y=1。(2)證明：當(dāng)n=1時，2a1 B1=21 (-1)=1保持。如果n=k (k n *，k1)，2ak bk=1成立。然后當(dāng)n=k 1時，2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1，當(dāng)n=k 1時，這個命題成立。根據(jù) ，對于nN*，2an bn=1。也就是說，點(diǎn)Pn在直線L上.12.在已知的正序列an和bn中，a1=a (0 a 1)，B1=1-a，當(dāng)n2時，an=an=an-1bn，bn=0。(1)證明對于任何nN*，一個bn=1；(2)找到序列an的通式。解答：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。(1)當(dāng)n=1，a1 B1=a