高三數(shù)學(xué) 6利用向量法求空間角和距離試題（通用）

1、6利用向量法求空間角和距離 1向量法求異面直線所成的角【例1】 (15鄭州市期末) 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_.【解析】以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角為60.【評(píng)注】用向量求解異面直線所成角，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解，公式計(jì)算要準(zhǔn)確. 設(shè)兩異面直線所成的角為分別是的方向向量，則有異面直線所成角的范圍是，因此

2、，如果按照公式求出來的向量的數(shù)量積是一個(gè)負(fù)數(shù)，則應(yīng)當(dāng)取其絕對(duì)值，使之變?yōu)檎?，這樣求得的角就為為銳角或直角【變式1】正三棱錐中利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角在正三棱錐PABC中，底面正ABC的中心為O，D是PA的中點(diǎn)，PO=AB=2，求異面直線AC和BD所成的角余弦值A(chǔ)BCPDOxyz1. 【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系因是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則，D是PA的中點(diǎn)，故， ，【例2】 （2020陜西理）三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，BAA1CAA160，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_【解析】選準(zhǔn)基底

3、，由題意知，.又CAA1BAA1BAC60，設(shè)邊長、側(cè)棱長為1，則2()22223，所以|，同理可得|.21，所以cos.【評(píng)注】求異面直線所成角可以借助向量運(yùn)算求解.關(guān)鍵是選取合適的基底，利用基向量法和線性運(yùn)算以及數(shù)量積，溝通角與向量之間的關(guān)系求解?！咀兪?】兩種常用方法求異面直線所成的角在三棱錐S ABC中，SAB = SAC =ACB = 90，AC = 2，BC =，SB =.則異面直線SC與AB所成的角的余弦為 【解析1】 利用向量之間的轉(zhuǎn)化，由題中的已知條件，容易計(jì)算得到|= 4，|=.圖10ABCSyxz而=cosCAB = 2 = 4，據(jù)此有cos=.【解析2】 利用向量的坐標(biāo)

4、運(yùn)算，如圖10建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(2, 0, 0)、B(0,0)。由SAB = SAC =ACB = 90，可知SA面ABC，SCB = 90。于是SC =，SA =，因此點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2, 0,2).由此可得= (2, 0, 2)，= (2, , 0)，從而有cos =，于是異面直線SC與AB所成角的大小為arccos。2.利用向量法求解異面直線之間的距離【例3】 如圖，正方體的棱長為2，C、D、P、Q分別是棱的中點(diǎn)， A、B、M、N、E、F是頂點(diǎn), 則CD和EQ的距離是 【解析】 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)截面EFPQ法向量為，即，可得，而，可見也是截面ABCD的法向量因此截面EFPQ/截面ABCD，點(diǎn)D到截面EFPQ的距離是則CD和EQ是異面直線,所以CD和EQ的距離也是【評(píng)注】利用向量的運(yùn)算求解異面直線之間的距離，是將異面直線之間的距離轉(zhuǎn)換為兩平行平面的距離，再轉(zhuǎn)