甘肅省武威六中高中數(shù)學(xué)論文《妙構(gòu)函數(shù)巧用單調(diào)性解題舉例》理（通用）

1、妙構(gòu)函數(shù)巧用單調(diào)性解題舉例關(guān)鍵詞：妙構(gòu)函數(shù)，巧用單調(diào)性，證題，求最值，求范圍有些數(shù)學(xué)習(xí)題，所給的并不是函數(shù)，如果按常規(guī)來(lái)做，有一定的難度，而且過(guò)程復(fù)雜，這時(shí)分析所給題的特點(diǎn)，若能換個(gè)角度,構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，可能會(huì)起到事半功倍之功效，不僅能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美妙以及構(gòu)造法的神奇，而且更能激發(fā)起學(xué)生探索的意識(shí)和創(chuàng)新欲望，突破思維的常規(guī)，使思路更簡(jiǎn)捷、明快。下面就妙構(gòu)函數(shù)f()=(a0)的形式，巧用f()在(0,上為減函數(shù)，在,)為增函數(shù)這一單調(diào)性在證明、求最值、求范圍等問(wèn)題的應(yīng)用，舉例供大家參考。一、構(gòu)造函數(shù)巧證題例1.已知aR，求證a證明：設(shè)=a則構(gòu)造函數(shù)f()=aR =a4 即4,)又f()在1,

2、)上為增函數(shù)。f()在4,）上仍為增函數(shù)。當(dāng)=4時(shí),f()有最小值 即f()min=4=4,)時(shí) f()故aR時(shí) a例2.設(shè)a、b為正數(shù)，求證成立的充要條件是：對(duì)于任意實(shí)數(shù)1，恒有ab;分析：只要證不等式對(duì)任意的1恒成立的充要條件是不等式成立。證明：設(shè)f()=a+(1)，即構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)f()1 -10 又a0f()=a=a1=a(-1)a12a1=(+1)2f()min=(+1)2對(duì)任意1有a+b成立的充要條件是f()minb(+1)2b 又b0+1故成立的充要條件是由以上兩例可知，利用不等式不便解決或者無(wú)法解決的問(wèn)題，一般回到函數(shù)方法來(lái)解決，效果比較好。二、構(gòu)造函數(shù)巧求最值例3.已知0，求

3、3的最小值解：設(shè)3t,則構(gòu)造函數(shù)f(t)=t+0,t3即t3,)f(t)在1,)上仍為增函數(shù)f(t)在3,)上為增函數(shù)當(dāng)t=3時(shí),f(t)min=故=0時(shí) 3的最小值是例4.在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，ADBC，垂足為D，且ADBCa，求的最大值。解：設(shè)，則構(gòu)造函數(shù)f()=當(dāng)D與C重合時(shí)，即AC與AD重合。a=bC= 即當(dāng)D與B重合時(shí)，即AB與AD重合a=c b= 即由題意可知f()在（0,1上為減函數(shù)，在1，）為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，f()為減函數(shù)只有時(shí)，f()max =當(dāng)1，時(shí)，f()為增函數(shù)只有時(shí)，f()max =的最大值為通過(guò)上兩例，可以明顯看出，如果直接應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，則不滿足條件。

4、如若注意到所求的是（a0）的形式的最值，從而妙構(gòu)函數(shù)f()（a0）進(jìn)而聯(lián)想函數(shù)y=x+的單調(diào)性,就可以是問(wèn)題迎刃而解。三、構(gòu)造函數(shù)巧求范圍例5.已知f()=loga(+1),點(diǎn)P是函數(shù)y=f()圖象上的任意點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)y=g()，當(dāng)a1且0,1）時(shí)總有2f()+g()m恒成立。解：由題意可知，函數(shù)y=f()的圖象與函數(shù)y=g()的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=f()關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為y=f()y=f()loga(1)即g()loga(1)由2f()+g()m得 mloga對(duì)a1且0,1)恒成立設(shè)F（）loga則mF()min設(shè)t=1-,則構(gòu)造函數(shù)H(t)=t+-40,1），即0101F()min=0,即m0故m的取值范圍是m0此例的解法體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，兩次轉(zhuǎn)化最終化為函數(shù)f()（a0）的形式，再利用它的單調(diào)性就實(shí)現(xiàn)了化難為易從而解決問(wèn)題的目的。綜上所述，優(yōu)美、自然的構(gòu)造法常常是建立在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)之上的，它生成于認(rèn)知結(jié)