正余弦定理及其應(yīng)用

1、學(xué)案7 正弦定理、余弦 定理及應(yīng)用,(2)a=2RsinA,b=2RsinB, ; (3)sinA= sinB= ,sinC= 等形式, 以解決不同的三角形問(wèn)題.,返回目錄,1.正弦定理: 其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為 : a:b:c=sinA:sinB:sinC;,(1),2R,c=2RsinC,返回目錄,2.余弦定理:a2= , b2= ,c2= .余弦定理可以變形為:cosA= , cosB= , cosC= . 3.SABC = absinC= = acsinB= = (a+b+c)r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑），并可由此計(jì)算R,r.,b2+c2-2bccosA,a2

2、+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,bcsinA,返回目錄,4.在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：（1）已知兩角及任一邊，求其他邊或角；（2）已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊或角.情況 (2)中結(jié)果可能有一解、二解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題:(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問(wèn)題 ; (2)已知三邊問(wèn)題. 5.解三角形的類(lèi)型 ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:,返回目錄,返回目錄,7.實(shí)際問(wèn)題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)線(xiàn)在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn) 叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn) 叫俯角（如圖3-7-1中).

3、,6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型 測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.,上方,下方,(2)方位角 指從 方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方位角為（如圖3-7-1). (3)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).,返回目錄,正北,返回目錄,(1)在ABC中,a= ,b= ,B=45.求角A,C和邊c; (2)在ABC中,a=8,B=60,C=75,求邊b和c.,【分析】已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊,可利用正弦定理解這個(gè)三角形,但要注意解的判斷.,考點(diǎn)一 正弦定理的應(yīng)用,返回目錄,【解析】 (1)由正弦定理 得sinA= . a

4、b,A=60或A=120. 當(dāng)A=60時(shí),C=180- 45- 60=75, c= . 當(dāng)A=120時(shí),C=180- 45- 120=15, c= . 由知,A=60,C=75,c= 或A=120, C=15,c= .,(2)B=60,C=75,A=45. 由正弦定理 , 得b= a=4 ,c= a=4 +4.,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】 (1)已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知兩邊和一邊對(duì)角,解三角形時(shí),利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角,這是解題的難點(diǎn),應(yīng)引起注意.,在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且 . (1)求B

5、的大小; (2)若b= ,a+c=4,求ABC的面積.,【分析】由 ,利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解.,考點(diǎn)二 余弦定理的應(yīng)用,返回目錄,返回目錄,【解析】 (1)由余弦定理知,cosB= ,cosC= . 將上式代入得 整理得a2+c2-b2=-ac, cosB= B為三角形的內(nèi)角，B= .,(2)將b= ,a+c=4,B= 代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB， b2=16-2ac(1- ),ac=3. SABC = acsinB= .,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】（1）根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.

6、(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論,同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用.,對(duì)應(yīng)演練,在ABC中,a,b,c為A,B,C的對(duì)邊,B= ,b= , a+c=4,求a.,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB =a2+c2-2accos =a2+c2+ac=(a+c)2-ac, a+c=4,b= ,ac=3, a+c=4 ac=3,返回目錄,聯(lián)立,解得a=1或a=3.,返回目錄,在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小; (2)若a= ,求bc的最大值; (3)求 的值.,考點(diǎn)三 正、余弦定理的綜合應(yīng) 用,【分析】 (1)b2+

7、c2-a2+bc=0的結(jié)構(gòu)形式,可聯(lián)想到余弦定理,求出cosA,從而求出A的值. (2)由a= 及b2+c2-a2+bc=0,可求出關(guān)于b,c的關(guān)系式,利用不等式,即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可實(shí)現(xiàn)將邊化為角的功能,從而達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的.,返回目錄,返回目錄,【解析】 (1)cosA= 又A(0,180),A=120. (2)由a= ,得b2+c2=3-bc, 又b2+c22bc（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)）， 3-bc2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)）. 即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí),bc取得最大值為1.,(3)由正弦定理得 ,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】 (1)在三角形中求角,往往選擇先

8、求該角的 余弦值,然后利用余弦函數(shù)在(0,)上的單調(diào)性求角. (2)正、余弦定理能實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，在解題時(shí)一定 要重視.,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,已知ABC是半徑為R的圓內(nèi)接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sinB. (1)求角C; (2)試求ABC面積S的最大值,(1)由2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sinB,兩邊同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=( a-b)2RsinB,根據(jù)正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, a2-c2=( a-b)b,即a2+b2-c2= ab.,再由余弦定理,得cosC= , 又0C,C

9、= . (2)C= ,A+B= . S= absinC= (2RsinA)(2RsinB) = R2sinAsinB=- R2cos(A+B)-cos(A-B) = R2 +cos(A-B) . 0A,0B,-A-B, 當(dāng)且僅當(dāng)A-B=0,即A=B= 時(shí),sin(A-B)=1,S取到最大值 R2.,返回目錄,返回目錄,已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且a,b為ABC的兩邊，A,B為兩內(nèi)角，試判定這個(gè)三角形的形狀.,考點(diǎn)四 判斷三角形的形狀,【分析】先由已知條件得出三角形的邊角關(guān)系.要判定三角形的形狀，只需將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊之間或角之間的關(guān)系即可判定.,返回

10、目錄,【解析】方法一:設(shè)方程的兩根為x1,x2，由韋達(dá)定理知 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB. 由題意有bcosA=acosB,根據(jù)余弦定理得 b =a , b2+c2-a2=a2+c2-b2, 化簡(jiǎn)得a=b,ABC為等腰三角形.,方法二:同方法一得bcosA=acosB, 由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB, sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0. 0A,0B， -A-B. A-B=0，即A=B.故ABC為等腰三角形.,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】 由三角形的邊角關(guān)系判定三角形的形狀，其基本思路是根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角變換，

11、全化為邊的關(guān)系或全化為角的關(guān)系（一般化為角較方便），然后利用簡(jiǎn)單的平面幾何知識(shí)即可判定.應(yīng)注意式子的等價(jià)變形和隱含條件的挖掘，以免漏解或增解.,對(duì)應(yīng)演練,在ABC中，sinA= ，試判斷ABC的形狀.,返回目錄,解法一：由條件,得 0(否則A=), 2sin2 =1,即cosA=0. 又0A,A= ,即ABC為直角三角形.,返回目錄,解法二:用正、余弦定理得 a( ) =a+b. 化簡(jiǎn)，得a2=b2+c2,故ABC為直角三角形.,返回目錄,返回目錄,某觀測(cè)站在城A的南偏西20的方向,由城A出發(fā)的一條公路,走向是南偏東40,在C處測(cè)得公路上B處有一人,距C為31千米,正沿公路向A城走去,走了20

12、千米后到達(dá)D處,此時(shí)CD間的距離為21千米,問(wèn):這人還要走多少千米才能到達(dá)A城?,【分析】正確畫(huà)出圖形,綜合運(yùn)用正弦定理與余弦定理解題.,考點(diǎn)五 測(cè)量問(wèn)題,返回目錄,【解析】本題為解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題,要求這人走多少路可到達(dá)A城,也就是要求AD的長(zhǎng).在ACD中,已知CD=21千米,CAD =60,只需再求出一個(gè)量即可. 如圖,令A(yù)CD=,CDB=,在CBD中,由余弦定理得,sin= . 而sin=sin(-60)=sincos60-sin60cos = 在ACD中, , AD= =15(千米). 這個(gè)人再走15千米就可到達(dá)A城.,返回目錄,返回目錄,【評(píng)析】 在解決與解三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先

13、要明確題意,正確地畫(huà)出圖形,然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)尋找是否存在可解的三角形,如果有,則可先解之,進(jìn)而為解決其他三角形創(chuàng)造可解條件,使問(wèn)題逐一得到解決.,返回目錄,如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得BCD=,BDC=,CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.,對(duì)應(yīng)演練,在BCD中，CBD=-. 由正弦定理，得 . 所以 在RtABC中， AB=BCtanACB=,返回目錄,返回目錄,沿一條小路前進(jìn)，從A到B，方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是50,距離是3km,從B到C,方位角是110,距離是3km,從C 到 D, 方位角是

14、140,距離是(9+3 )km.試畫(huà)出示意圖 , 并計(jì)算出從A到D的方位角和距離(結(jié)果保留根號(hào)).,【分析】畫(huà)出示意圖,要求A到D的方位角,需要構(gòu)造三角形,連接AC,在ABC中,可知BAC=30,用余弦定理求出AC,再在ACD中,求出AD和CAD.,考點(diǎn)六 求角度、高度問(wèn)題,返回目錄,【解析】示意圖如圖所示,連接AC,在ABC中,ABC= 50+(180-110) =120,又AB=BC=3, BAC=BCA=30. 由余弦定理可得,在ACD中,ACD=360-140-(70+30)=120, CD=3 +9. 由余弦定理得 由正弦定理得sinCAD=,返回目錄,CAD=45, 于是AD的方位

15、角為50+30+45=125, 從A到D的方位角是125，距離為,返回目錄,連結(jié)BC，由余弦定理得 BC2=202+102 -22010cos120=700. 于是BC=10 . ACB90,ACB=41. 乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線(xiàn)前往B處救援.,返回目錄,考點(diǎn)七 解三角形,在ABC中，BC=a，AC=b，a,b是方程x2-2 x+2 =0的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1.求： （1）角C的度數(shù)； （2） AB的長(zhǎng)； （3）ABC的面積.,【分析】解三角形時(shí)要注意利用隱含條件A+B+C=,然后再利用正、余弦定理求之.,返回目錄,【解析】 (1)由題意知cosC=cos-(A+B) =-c

16、os(A+B)=- , C=120. (2)a,b是方程x2-2 x+2=0的兩個(gè)根, a+b=2 ab=2. AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC =b2+a2-2abcos120 =b2+a2+ab =(a+b)2-ab =(2 )2-2=10. AB= .,返回目錄,(3)SABC = absinC = absin120 = 2 = .,【評(píng)析】在ABC中已知兩邊a,b的關(guān)系，需再知一個(gè)條件，才能確定第三邊.這樣，需充分利用2cos(A+B) =1，并注意利用韋達(dá)定理、余弦定理及面積公式.,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,在ABC中，已知a= ,b=2,B=45,求角A，C和邊c的值.,B=4590,且ba, ABC有兩解. 由正弦定理,得 , 即sinA= ,A=60或120. (1)當(dāng)A=60時(shí),C=180-(A+B)=75,此時(shí),返回目錄,(2)當(dāng)A=120時(shí),C=180-(A+B)=15,此時(shí) 所以A=60,C=75,c= 或A=120,C=15,c= .,返回目錄,返回目錄,1.正、余弦定理和三角形面積