《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(武漢大學(xué) 齊民友版)課后答案

1、第 1 章習(xí)題解案 總 5 頁第 1 頁 第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 （一）基本題答案（一）基本題答案 1、 （1）3,2,1,0 1 = （2）nn/,2,1 2 =?是正整數(shù) （3） （4）1| ),( 22 3 =+=zyxzyxzyx 2、 （1）cab （2） （3） )(cbacba （4）cbacbacba （5） （6）acbcabcba（或abc） 3、 zabpabpbap=1)(1)()( zyabpbpabbpbap=)()()()( ()( )( )()1()1p abp ap bp abxyyzxz=+= += + ()()1()1 ( )( )()

2、1p abp abp abp ap bp abxyz= = += + 4、()()( )(p abp aabp ap ab=) ( ) ( )( )() ()( )0.60.30.3 p ap ap bp ab p abp b =+ = 5、)(1)(1)(baapabpabp= 6 . 03 . 07 . 01)()(1=+=+=bapap 6、)(1)()(cbapcbapcbap= 1 ( )( )( )()()()() 1111117 1(00) 4449936 p ap bp cp abp acp bcp abc= + = += 7、)()()()()()()()(abcpbcpac

3、pabpcpbpapcbap+= 8 5 00 8 1 0 4 1 4 1 4 1 =+= 8、因)()()(babababa=bbbaabaa)( 所以0)()()()(=pbabababap 9、七個(gè)字母任意排有 7！種排法，且每一排法的可能性相同，這是一個(gè)古典概型問題， 而排成 science 有41112121=種排法，故所求概率為 1260 1 !7 4 = 10、12 件產(chǎn)品按不放回方式抽兩次時(shí)有1112種抽取法，且每一種取法的概率相等，這 是一個(gè)古典概型問題，而第二次抽出次品抽取法有211種，故所求事件概率為 6 1 1112 211 = 11、這可看成是條件概率問題 方法一 設(shè)

4、 a 表示第一次取到不合格品，b 表示第二次取到不合格品，所求概率是 ，按條件概率的定義有 )|(baabp )( )( )( )( )|( bap abp bap baabp baabp = 因 910 34 )( =abp， 910 346464 )( + =bap，故所求概率為 5 1 346464 34 )|(= + =baabp 方法二 如果是同時(shí)從中任取 2 件 產(chǎn)品， 此時(shí)有一件是不合格時(shí)共有種取法， 而已知有一件是不合格品時(shí)，另一件也是不合格共有種取法，故所求概率為 1 6 1 4 2 4 ccc+ 2 4 c 第 1 章習(xí)題解案 總 5 頁第 2 頁 5 1 1 6 1 4

5、2 4 2 4 = +ccc c 注：此種方法是在縮減的樣本空間中考慮條件概率的計(jì)算。 12、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則樣本空間 ),(yx 20| ),( 2 xaxyyx= 由條件知這是一個(gè)幾何概型問題且原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于x0 4 的事件 a 為 ,20| ),( 2 xyxaxyyxa= 的面積 2 2 1 as =，a 的面積 22 2 1 4 1 aas a +=，故所求概率為 2 2 2 1 2 1 4 1 )( 2 22 + = + = a aa ap 13、設(shè)兩艘船到達(dá)的時(shí)刻分別是x和，則樣本空間為y240,240| ),(=yxyx 由實(shí)際意義可知這是一個(gè)幾何概型問題，且有

6、一艘需等待一段時(shí)間的事件 a 為 ),( ,12| ),(=yxyxyxa 因的面積，a 的面積 2 24= s)2223( 2 1 24 222 += a s，故所求概率為 121. 0)(= s s ap a 14、不妨設(shè)是單位圓，三點(diǎn) a、b、c 將單位圓周分成yxyx2,三段，于是樣本空 間為 2)(20 ,20 ,20| ),(+=yxyxyx 由實(shí)際意義知這是幾何概型問題，當(dāng)且僅當(dāng)三段弧長都小于時(shí)，三角形 abc 為銳角三 角形，即三角形 abc 為銳角三角形的事件 a 為 ),( ,)(20 ,0 ,20| ),(+=yxyxyxyxa 因的面積 2 )2( 2 1 =s，a 的

7、面積 2 2 1 = a s，故所求概率為 4 1 )2( 2 1 2 1 )( 2 2 = ap 15、 （1）用全概率公式得他遲到的概率為 15. 004 . 0 12 1 1 . 0 3 1 2 . 0 4 1 3 . 0=+ （2）用貝葉斯公式得所求概率是 2 1 15. 0 4 1 3 . 0 = 16、用 a，b，c 分別表示取出的是一，二，三等品三個(gè)事件，則所求概率為 3 2 1 . 01 6 . 0 )(1 )( )(1 )( )( )( )|(= = = = cp ap cp acap cp cap cap 其中利用到=ac，即 a 與 c 互斥。 17、由貝葉斯公式所求概率

8、為 7 3 4 . 002. 06 . 001. 0 6 . 001. 0 = + 18、由條件及加法公式有 )()()()()()()()(abcpbcpacpabpcpbpapcbap+= 第 1 章習(xí)題解案 總 5 頁第 3 頁 16 9 )(3)(3 2 =apap 即 ，得03)(16)(16 2 =+apap 4 1 )(=ap或 4 3 )(=ap（舍） 故 4 1 )(=ap 19、由條件知 9 1 )(=bap，且)()(bapbap= 由)()(bapbap=得：)()(abbpabap=即)()()()(abpbpabpap=推得： )()(bpap= 由獨(dú)立性，有 9

9、1 )()()(=bpapbap，從而得 3 1 )(=ap，故 3 2 )(1)(=apap 20、設(shè)射手的命中率為 p，則由題意得： 81 80 )1(1 4 =p 解之得 3 2 =p 21、設(shè)，則由題意得 pap=)( 5904. 0)1(1 4 =p 解之得，在三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件 a 出現(xiàn)一次的概率是 2 . 0=p 384. 08 .2 . 03)1( 221 3 =0ppc （二）補(bǔ)充題答案（二）補(bǔ)充題答案 1、 （1）類似于本章第 11 題，這里不妨認(rèn)為是同時(shí)取出兩件產(chǎn)品，此時(shí)取出產(chǎn)品中有一件 是不合格品有種取法，而已知兩件中有一件是不合格品，另一件也是不合格品 有種取法，故

10、所求概率為 112 mm mm ccc + 2 m c 12 1 112 2 = + mm m ccc c mm mm m （2）取出產(chǎn)品中有一件是合格品有種取法，而已知兩件中有一件是合 格品，另一件是不合格品有種取法，故所求概率為 112 mm m mm ccc + 11 m mm cc 1 2 112 11 + = + mm m ccc cc mm m mm m mm 注：這里采用的是在縮減的樣本空間中計(jì)算條件概率的方法，且題中“有一件”其意應(yīng)在 “至少有一件”而不能理解為“只有一件” ，這是因?yàn)閷?duì)另一件是否是不合格還不知道。 2、 （1）這是條件概率，下面考慮在縮減的樣本空間中去求，第一

11、、第二次取到正品有 種取法，在此條件下第三次取到次品取法，故所求概率為 18 5 181415 51415 = 注： 上述是將樣本空間中的元素看成是三次取完后的結(jié)果， 更簡單的也可只考慮以第三次 取的結(jié)果作為樣本空間中的元素，即在第一、第二次取到正品時(shí)，第三次取時(shí)有 18 種取法， 而在第一次、第二次取到正品時(shí)，第三次取次品有 5 種取法，故所求概率為 18 5 （2）此問是要求事件“第一、第二次取到正品，且第三次取到次品”的概率（與（1）不 同的在于這里沒有將第一、第二次取到正品作為已知條件，而是同時(shí)發(fā)生） ，按題意，三次取 產(chǎn)品共有種取法，而第三次才取到次品共有1

12、8192051415種取法，故所求概率為 第 1 章習(xí)題解案 總 5 頁第 4 頁 228 35 181920 51415 = （3）三次取產(chǎn)品共有種取法，第三次取到次品取法，故所求概率 為 4 1 181920 18195 = 注：此問也可用類似于（1）中注的方法去解決，即只考慮以第三次取得的結(jié)果作為樣本 空間的元素，也可很快求得答案是 4 1 20 5 =。 3、令 a 表示挑選出的是第一箱，)2,1( =ibi表示第i次取到的零件是一等品，則 （1）由全概率公式，有 )()|()()|()( 111 apabpapabpbp+=4 . 0 2 1 30 18 2

13、 1 15 10 =+= （2）用全概率公式有 )()|()()|()( 212121 apabbpapabbpbbp+= 2 1 2930 1718 2 1 4950 910 + = 于是所求條件概率是 4856. 0 4 . 0 2 1 2930 1718 2 1 4950 910 )( )( )|( 1 21 12 = + = bp bbp bbp 4、用 a 表示第一次取到 1 號(hào)球，b 表示第二次取到 2 號(hào)球，則由全概率公式有 )1( )1( 111 1 1 )()|()()|()( 2 2 + = + = += nn nn n n nnn apabpapabpbp 5、以表示有個(gè)

14、孩子，b 表示所有孩子均為同一性別，由全概率公式有 k ak () = = = = += += += = 1 0 1 0 1 0 0 5 . 02 )5 . 0()5 . 0( )()|( )()|()( k k k k k kk k kk k kk pp pp apabpp apabpbp 6、以 a 表示患有癌癥，b 表示試驗(yàn)呈陽性，則由貝葉斯公式得 3231. 0 01. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 )|()()|()( )|()( )|(= + = + = abpapabpap bapap bap 7、用 d 表示失業(yè)率上升，此題要求，根據(jù)題意有)|(

15、),|(),|(dcpdbpdap 2 . 0)|(,2 . 0)|(,8 . 0)|(=cdpbdpadp，則由貝葉斯公式得 9 4 2 1 2 . 0 3 1 2 . 0 6 1 8 . 0 6 1 8 . 0 )|(= + =dap 同理 9 2 )|(=dbp 3 1 )|(=dcp 第 1 章習(xí)題解案 總 5 頁第 5 頁 故總統(tǒng)對(duì)三個(gè)顧問的理論正確性應(yīng)分別調(diào)整成 3 1 , 9 2 , 9 4 。 8、以分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，)3,2,1( =iai)3,2,1,0( =ibi表示有i個(gè)人擊中 飛機(jī)，c 表示飛機(jī)被擊落，則 09. 03 . 05 . 06 . 0)()()(

16、)()( 321321 0 =apapapaaapbp 36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 )()()()( 3 213 2 132 11 =+= +=aaapaaapaaapbp 41. 07 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 04 . 0 )()()()( 32 1 3 2 1 3 212 =+= +=aaapaaapaaapbp 14. 041. 036. 009. 01)()()(1)( 2103 =bpbpbpbp 則由全概率公式有 458. 014. 0141. 06 . 03

17、6. 02 . 009. 00 )()|()( 3 0 =+= = =i ii bpbcpcp 注：在這里不構(gòu)成樣本空間的劃分，因?yàn)樗鼈儾皇莾蓛苫コ?，可同時(shí)發(fā)生。 321 ,aaa 9、 （1）次成功之前已經(jīng)失敗了次，表示進(jìn)行了nmnm+次，第nm+次試驗(yàn)一定成功， 而前面的-1 次試驗(yàn)中有次失敗，-1 次成功，從而所求概率為 nm+mn mnnm pp m nm ppp m nm )1( 1 )1( 1 1 + = + （2）令 a 表示n次成功之前已有+1 次失敗，m),2,1(niai?=表示次成功之前已有 +1 次失敗且第+1 次（即最后一次）失敗在第 n mmim+次試驗(yàn)中發(fā)生，則可

18、知有 1 )1( 1 )( + + + = mn pp m nm ap 且兩兩互斥，對(duì)事件，它表示在 ni n i aaaa, 1 1 ? = = i a1+nm次試驗(yàn)中，從第次試 驗(yàn)至第試驗(yàn)都成功，第次試驗(yàn)是失?。ㄗ詈笠淮问。?，而前面的-1 次試驗(yàn) 中有m次失敗，次成功，于是 1+im 1+nmim+im+ 1i nipp m im pppp m im ap mn inmi i ,2,1,)1( 1 )1()1( 1 )( 1 11 ?= + = + = + + 由于)()()()( 21n apapapap+=?，即 1111 )1( 1 )1( 1 )1()1( 1 + + + +

19、+ = + + mnmnmnmn pp m nm pp m m pp m m pp m nm ? 消去立得結(jié)論成立。 1 )1( + mn pp 10、由全概率公式，每臺(tái)儀器能出廠的概率94. 03 . 08 . 07 . 01=+=p 將每臺(tái)儀器能否出廠看成是一次試驗(yàn)，則臺(tái)儀器就是次試驗(yàn)，由于每次試驗(yàn)只有兩個(gè) 結(jié)果：出廠或不出廠，且各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，則這是一個(gè)重伯努利概型問題，于是有 nn n （1） n 94. 0= （2） 222 06. 094. 0 = n n c （3） 06. 094. 094. 01 1 = nn n 第 2 章習(xí)題答案 總 6 頁第 1 頁 第二章第二章 隨機(jī)

20、變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 （一）基本題解答（一）基本題解答 1.樣本空間)6 , 6( ,),1 , 6( ,),6 , 2( ,),2 , 2(),1 , 2(),6 , 1 ( ,),2 , 1 (),1 , 1 (?=v.這里，例如(6,1)表示 擲第一次得 6 點(diǎn)，擲第二次得 1 點(diǎn).其余類推. 以 x 表示兩次所得點(diǎn)數(shù)的和.則 x 的分布律為 x 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 pk 36 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 2.由題設(shè)， x的可能值為 0， 1， 2， 3. 以表示事件

21、“汽車在第i個(gè)路口 遇到紅燈” ； a )3 , 2 , 1(=iai 1，a2，a3相互獨(dú)立，且 . 3 , 2 , 1, 2/1)()(=iapap ii 于是 ;2/1)(2;2/1)(1; 2/1)(0 3 321 2 211 =aaapxpaapxpapxp 3 321 2/1)(3=aaapxp. x 的分布律為： x 0 1 2 3 p i 2 1 4 1 8 1 8 1 3.設(shè)“=k”表示前 k 次取出白球，第 k+1 次取黑球，則的分布列為 )., 1 , 0( )() 1( )(1() 1( )(mk knnn mnkmmm kp? ? ? = + = 4.（1）. 3,

22、1 3 5 151515 )( 5 1 5 1 5 1 = = c cccc kxp kkk （2）. 5 3 5 1 31 3 1 = = k xp （3）. 5 2 5 1 5 . 25 . 0 2 1 = = 180 11 8 . 1180 180 ! )8 . 1 ( )99. 0()01. 0( nknk k kkk e k cnxp，這里 =8 . 101. 0180np. 欲使 += = 1 8 . 1 01. 099. 01 ! 8 . 1 nk k e k ，查泊松分布表，可知 n+1=7，因而至少應(yīng)配備 6 名工人. 第 2 章習(xí)題答案 總 6 頁第 2 頁 9.設(shè)=（ =

23、1,2,3） ，則 i a需要調(diào)整部件ii,20. 0)(,10. 0)( 21 =apap .30. 0)( 3 =ap 由于a1，a2，a3相互獨(dú)立，因此，有 ,504. 0)3 . 01 ()2 . 01 () 1 . 01 ()()()()(0 321321 =apapapaaapxp )()()(1 321321321 aaapaaapaaapxp+= =0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.398, )()()(2 321321321 aaapaaapaaapxp+=0.092， )()()()(3 321321 apapapaaapxp=0.10.20.

24、3=0.006. 因此，x的概率分布為 x 0 1 2 3 p 0.5040.3980.0920.006 10. f(x)為一階梯狀函數(shù)，則x可能取得值為f(x)的跳躍點(diǎn)：1，1，3 即有, 2 . 08 . 01)03()3()3( , 4 . 04 . 08 . 0)01 () 1 () 1(, 4 . 0)01() 1() 1( = = ffxp ffxpffxp x 1 1 3 p 0.4 0.4 0.2 11.（1）由于，所以有1)(lim= + xf x , 1)2/exp(lim 2 =+ + axba x 即=1，又由于x為連 續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)應(yīng)為x的連續(xù)函數(shù)，應(yīng)有 a

25、baxbaxfxf xxx +=+= + )2/exp(lim)(lim0)(lim 2 000 所以. 1, 0=+abba 代入之值，得 ba, = . 0, 0 , 0,2/exp1 )( 2 x xx xf （2）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得x的概率密度 = . 0, 2/1 , 0, 2/ )( xe xe xf x x 13由 3 2 = kxp得 3 1 = dxxxxp037. 0)1 (129 . 0 2 1 9 . 0 = dxxxxp 15. ), 200 1 ( ex （1） 200 100 1)100()100( =efxp= 2 1 1 e； （2） 300 200 1

26、)300( =exp= 5 . 1 2 3 = ee. 16.解法1 用隨機(jī)變量法：令表示第i 次擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，i =1,2. 顯然x i x 1和x2獨(dú)立同 分布， 則方程變?yōu)?它有重根的充要條件 是，有實(shí)根的充要條件是，故 )2 , 1; 6 , 2 , 1(, 6/1=ijjxp i ?0 21 2 =+xxxx 04 2 2 1 = xx04 2 2 1 xx )4, 42, 1(04 12122 2 1 =xxuxxpxxpq4, 42, 1 1212 =+=xxpxxp = 4421 1212 =+=xpxpxpxp=.18/16/16/16/16/1=+ 由全概率公式可 第

27、2 章習(xí)題答案 總 6 頁第 3 頁 得pxxpp=04 2 2 1 4 2 1 2 x x = = = 6 1 1 i pjxpjx x x= 1 2 1 2 4 pxp1 1= = 4 1 2 x+pxp2 1= 4 22 2 x+pxp3 1= 4 32 2 x+pxp4 1= 4 42 2 x pxp5 1= + 4 52 2 0)(=tn. （1）由于t是非負(fù)隨機(jī)變量，可見當(dāng)t0)(=tn t etnpttpttptf =10)(11)(. 于是，t服從參數(shù)為的指數(shù)分布. （2） t t t e e e tp tp tp ttp ttpq 5 5 10 5 10 5 5,10 510

28、 = = =. 18.設(shè)x為考生的外語成績，由題設(shè)知),(nx，其中=72.現(xiàn)在求2.由題設(shè) ,977. 0) 24 (,023. 0) 24 (1 7296 ,023. 096= = x pxp 由的數(shù)值表，可見)(x 24 =2，因此12=.這樣xn(72, 122). 所求概率為 = =11 12 7284 12 7260 8460 x p x pxp 682. 01841. 021) 1 (2) 1() 1 (=. 19.（1）;9236. 0)43. 1 () 35 300250 35 300 ()250(= = pp （2）) 3535 300 35 ()( xx pxxp =+=

29、xpap. （1）由題設(shè)條件，知()1 . 0 1 =abp，. 于是，由全概 001. 0)|( 2 =abp2 . 0)|( 3 =abp 第 2 章習(xí)題答案 總 6 頁第 4 頁 率公式，有. = = 3 1 0642. 0)|()()( i ii abpapbp （2）由條件概率定義（或貝葉斯公式） ，知009. 0 )( )|()( )|( 22 2 = bp abpap bap. 21.由題設(shè)，y其中), 3(pb, 4 1 2)( 2 1 2 1 2 1 0 = =xdxdxxfxpp 故 .64/9)4/3()4/1 (2 122 3 =cyp 22. p 0.3 0.2 0.

30、40.1 2 )2(x 0 2 2 4 x 0 2 2 3 p 0.2 0.7 0.1 2 )2(x 2 0 2 2 4 )2cos(x 1 1 )2cos(x 1 1 11 p 0.7 0.3 23.因?yàn)?)., 2 , 1( 34, 1 ,2, 0 , 14, 1 2 sin?= = = = =n nk nk nk k 所以，) 2 sin(xy =只有3個(gè)可能取值1，0，1，而取這些值的概率分別為 ,15 2 16/11 1 8 1 2 1 2 1 2 1 11731 1173 = =+=+=+=+=?xpxpxpyp . 15 8 16/11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 951

31、1 , 3 1 4/11 1 4 1 2 1 2 1 2 1 6420 95 642 = =+=+=+=+= = =+=+=+=+= ? ? xpxpxpyp xpxpxpyp 于是，) 2 sin(xy =的分布列為 15 8 3 1 15 2 101 . 24. ),2 , 0(ux0)(0=yfy y 時(shí)，; 當(dāng) , 40 y ;2)()()()()( 2 yyfyxpyxpyypyf xy = . 1)(,4=yfy y 時(shí) 故 = , 0 10, 4 1 )( 其它 y y yfy 25.應(yīng)先求出fy(y)，再對(duì)y求導(dǎo)即得fy(y) 因 = . 1, , 1, 0 )( yinyxp

32、 y yepyypyf x y 故當(dāng) 而 = y x y dxeyxpyfy ln 0 ,ln)(,1時(shí)./1)()( 2 yyfyf yy = 因此 = . 11 , 1, 0 )( 2 yy y yfy 第 2 章習(xí)題答案 總 6 頁第 5 頁 26.假設(shè)隨機(jī)變量 x 具有連續(xù)的分布函數(shù)，證明:)(xf(xfy =在區(qū)間（0,1）上服從均勻 分布. 解 先求 y 的分布函數(shù). 因1)(0xf，單調(diào)非降. 連續(xù)，故)(xfy =的反函數(shù)存在. 當(dāng)時(shí)，0y0)()()(=pyxfpyfy， 當(dāng)時(shí), 10 yyyffyfxpyxfpyfy= )()()()( 11 當(dāng)時(shí). 1y1)()()(=p

33、yxfpyfy 于是 從而 y 的密度函數(shù)為 = . 0,)(ln 2 1 exp 2 1 ; 0, 0 )(2 yy y y yfy （ 2 ） y=2x2+1 的 分 布 函 數(shù)1; 0)(,1.12)( 2 =+=yyfyyxpyf yy 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí) ， , 2 2 2 1 2 1 2 1 12)( 2 1 2 1 2 1 0 22 2 22 = =+= y y yxx y dxedxe y x y pyxpyf = = . 1, 0 , 1, ) 1(2 1 )( . 1, 2 2 , 1, 0 )( 4 1 2 1 0 2 2 y ye y yfy ydxe y yf y y yx y

34、 的概率密度為故即 （3）xy =的分布函數(shù) .)(yxpyypyfy= ,0; 0)(,0時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)=yyfy y = y y y y xx y dxedxeyxypyxpyf. 2 2 2 1 )( 22 22 于是，y的概率密度函數(shù)為 = . 0, 2 , 0, 0 )()( 2 2 1 ye y yfyf y yy （二）補(bǔ)充題答案（二）補(bǔ)充題答案 1.（1）由條件可知，當(dāng)時(shí)，1x0)(=xf；, 8 1 ) 1(=f . 8 5 4 1 8 1 111=xp 易見，在x的值屬于的條件下，事件) 1 , 1() 11(1xxx的條件概率為 . 2/ ) 1(111+=xxxxp 于是，對(duì)

35、于, 11x有 16 55 2 1 8 5 1111111,11 + = + = xx xxxpxpxxxpxxp 16 75 16 55 8 1 11)( + = + +=+= xx xxpxpxf. 對(duì)于有f（x）=1. 從而 , 1x + = . 11 1116/ )75( 10 )( x xx x xf 若 若 若 第 2 章習(xí)題答案 總 6 頁第 6 頁 （2）x取負(fù)值的概率 .16/7)0(0)0(0=fxpfxpp 2用a表示有效，由題設(shè)知 ., 2 , 1 , 0, ! 5 )(, ! 3 )(, 4 1 )(, 4 3 )( 53 ?= ke k akxpe k akxpap

36、ap kk 應(yīng)用貝葉斯公式，得 .8887. 0 0842. 025. 02240. 075. 0 2240. 075. 0 )2()()2()( )2()( )2( + = =+= = = axpapaxpap axpap xap 3.（1）按第一種方式：記為“第 個(gè)人承包的20臺(tái)機(jī)器不能及時(shí)維修” ，則所 求概率為 易知 i ai)4 , 3 , 2 , 1( =i ).( 4321 aaaap ( )0175. 0)99. 0()01. 0()()( 20 20 2 20 14321 = = kk k k apaaaap （2）按第二種方式：以x表示這80臺(tái)機(jī)器中需要維修的機(jī)器的臺(tái)數(shù)，則

37、不能及時(shí)維修的 概率為 . ( )0091. 0)99. 0()01. 0()4( 80 80 4 80 = = kk k k xp 從上述計(jì)算結(jié)果可以看出，還是以第二種方式為好. 因按第二種方式3個(gè)人共同維修80 臺(tái)機(jī)器不能及時(shí)維修的概率較小. 4. ; 0)(, 0=xfx20 x, );3( 4 1 ) 3 ( 3 8 4 1 0 ) 3 ( 0 ) 3 ( )2( )2( )( 32 3 2 2 2 3 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 xx x x x x x x x x dxxx dxxx dx dydx xf x xx xxx = = = = 1)(,

38、2=xfx. = ., 0 ; 20),2( 4 3 )( 2 其它 故 xxx xf 5. x的分布函數(shù)為 = 1, 1 10),0( 0, 0 )( x xxxp x xf 設(shè), 2 . 1),1 , 0),1 , 0, 21 =+ixxxx i 且由題設(shè)得 ).()()()()()( 22221111 xxxxpxfxxfxxxxpxfxxf+=+=+=+ 令 ，得 0x).( )()( lim )()( lim)( 2 22 0 11 0 1 xf x xfxxf x xfxxf xf xx = + = + = 從而, 對(duì)任意，有，當(dāng)) 1 . 0(xcxf)( 1 , 0x時(shí)，顯然0

39、)(= x f; 另一方面 . 1)() 10() 1 ( 1 0 = 第 3 章習(xí)題答案 總 8 頁第 1 頁 第三章 多維隨機(jī)向量及其概率分布 (一)基本題答案 (一)基本題答案 1、設(shè) x 和 y 的可能取值分別為 . 2 , 1 , 0; 3 , 2 , 1 , 0,=jiji則與 因盒子里有 3 種球，在這 3 種球中任取 4 個(gè)，其中黑球和紅球的個(gè)數(shù)之和必不超過 4.另一方面，因白球只有 2 個(gè)，任取的 4 個(gè)球中，黑球和紅球個(gè)數(shù)之和最小為 2 個(gè)，故有 ji與 ? 且 , 42+ji./),( 4 7 4 223 ccccjyixp jiji = 因而 或0),(=jyixp2(

40、+jiji 于是 , 0)0, 0( 1111 =yyxxpp, 0)0, 0( 2112 =yyxxpp .35/1/)0, 0( 4 7 2 2 1 2 0 33113 =ccccyyxxpp 同法可求得聯(lián)合分布律中其他的pij，得下表 0 1 2 3 0 0 0 4 7 2 2 0 2 2 3 /cccc 4 7 1 2 0 2 3 3 /cccc 1 0 4 7 2 2 1 2 1 3 /cccc 4 7 1 2 1 2 2 3 /cccc 4 7 0 2 1 2 3 3 /cccc 2 4 7 2 2 2 2 0 3 /cccc 4 7 1 2 2 2 1 3 /cccc 4 7 0

41、 2 2 2 2 3 /cccc0 y x 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0 x y 即 2、x 和 y 都服從二項(xiàng)分布，參數(shù)相應(yīng)為(2,0.2)和（2,0.5）.因此 x 和 y 的概率分布分別為 . 04. 032. 064. 0 210 x 25. 05 . 025. 0 210 y 由獨(dú)立性知，x 和 y 的聯(lián)合分布為 0 1 2 0 0.16 0.08 0.01 1 0.32 0.16 0.02 2 0.16 0.08 0.01 x y 3、y 的分布函數(shù)為顯知有四個(gè)可能值： ).0(0)()

42、,0(1)(= yyfyeyf y ),( 21 xx ,112, 10, 0).1 , 1 (),0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0( 1 21 =eypyypxxp易知 ,212, 10, 1, 02, 11, 0 21 2121 =eeypyypxxpyypxxp ,212, 10, 1 21 21 =eeypyypxxp .22, 11, 1 2 21 =eypyypxxp 于是，可將x1和x2聯(lián)合概率分布列表如下： 0 1 0 1 1 e 21 ee 1 0 2 e x1pp x2 第 3 章習(xí)題答案 總 8 頁第 2 頁 4、 = = n m mnpnxp 0 ),()(

43、 = = n m mnmn e mnm pp 0 )!( ! )1 ( ()., 2 , 1 , 0( ! 1 ! )1 ( )!( ! ! ! 0 ?=+= = = n n e pp n e pp mnm n n e n n n mnm n m n 即 x 是服從參數(shù)為的泊松分布. = = = = mn mnmn mn mmmnmn mn p m ep e mnm pp myp )!( )1 ( !)!( ! )1 ( )( )., 2 , 1 , 0( , ! )( ! )( )1 ( ?= m m ep ee m ep pm p m 即 y 是服從參數(shù)為p 的泊 松分布. 5、由定義 f

44、（yx,）=p = xy dxdyyxyyxx.),(, 因?yàn)椋▂x,）是分段函數(shù)，要正確計(jì)算出 f（yx,） ，必須對(duì)積分區(qū)域進(jìn)行適當(dāng)分塊： 等 5 個(gè)部分. 10 , 1; 10 , 1; 1, 1; 10 , 10 ; 00xyyxyxyxyx或 （1）對(duì)于 有 f（, 00xy 2 1,),(xyxxpyxf=; （5）對(duì)于 有 , 1, 1yx1),(=yxf. 故x和y的聯(lián)合分布函數(shù) =yxyxfyx或 ),(yxf= + xy ts dsdtze 00 )2( )()(2 00 2 00 2ytxs y t x s eedtedse = = )1)(1 ( 2yx ee 即 =

45、., 0 , 0, 0),1)(1 ( ),( 2 其它 yxee yxf yx （2）p()() + x, 0)(,0;)(= + xfxedyexf x x xy x 時(shí) 即 = . 0, 0 , 0, )( x xe xf x x （2） 2/11 1 2 1 0 1 21),(1 + +=+ eedyedxdxdyyxfyxp yx x x y 8、 （1） （i）,時(shí)， ;),()(計(jì)算根據(jù)公式 + =dyyxfxf x 0x當(dāng)時(shí)10; 0)(=xxfx當(dāng) ()();24 . 224 . 2)2(8 . 4)( 2 0 2 0 xxxydyxyxf x x x =0)(,1=xfx

46、x 時(shí)當(dāng) 第 3 章習(xí)題答案 總 8 頁第 3 頁 即 = ., 0 ; 10),2(4 . 2 )( 2 其它 xxx xfx （ii） 利用公式計(jì)算. 當(dāng) + =dxyxfyfy),()(; 0)(,0=yfy y 時(shí),10時(shí)當(dāng) y 1 1 2 ) 2 2(8 . 4)2(8 . 4)( y y y x xydxxyyf = = 2 2 2 1 28 . 4 2 y yy );43(4 . 2) 2 2 2 3 (8 . 4 2 2 yyy y yy+=+=當(dāng)時(shí)， 1y. 0)(=yfy 即 + = .0 ; 10),43(4 . 2 )( 2 其它 yyyy yfy . 8 5 2 1

47、1),(1) 2 1 , 2 1 (1) 2 1 () 2 1 ()2( 1 2 1 2 2 1 2 1 = + dxdydxdxdyyxfyxpyxp 9、本題先求出關(guān)于x 的邊緣概率密度，再求出其在2=x之值. 由于平面區(qū)域 d 的 面積為 )2( x f , 2 1 2 1 =dx x s e d 故（x,y）的聯(lián)合概率密度為 = ., 0 ;),(, 2 1 ),( 其它 dyx yxf 易知，x 的概率密度為 + = , 0 ,1, 2 1 ),()( 2 其它 ex x dyyxfxfx 故. 4 1 22 1 )2(= = x f 10、 （1）有放回抽?。寒?dāng)?shù)谝淮纬槿〉降趥€(gè)數(shù)字時(shí)，第二次可抽取到該數(shù)字仍有十種可能 機(jī)會(huì)，即為 k ).9 , 1 , 0( 10 1 ?=ikyixp （2）不放回抽?。?（i）當(dāng)?shù)谝淮纬槿〉?90( kk個(gè)數(shù)時(shí)，則第二次抽到此（