分形理論及其應(yīng)用解析

1、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系講座分型(fractal)，合肥工業(yè)大學(xué)影像信息處理研究室Tel:2901393地址：hupru 709 email :joing，fractal展覽場(chǎng)(國(guó)內(nèi)外分形作品)，山視圖水，墨水云分形理論的創(chuàng)始人是誰(shuí)？什么是分形？特征？分形可以應(yīng)用于哪些領(lǐng)域？合肥工業(yè)大學(xué)視頻信息處理研究室Tel:2901393地址：hupru 709 email :分形的生成背景，在經(jīng)典的歐幾里德幾何中，可以將道路、建筑物、輪子等人工物體描述成直線、立方體、圓錐體、球等這種規(guī)則的形狀，這是極為自然的事情。但是，自然界中有無(wú)數(shù)非常復(fù)雜的形態(tài)，比如山不是圓錐，不是云，不是球，不是閃電，不是折線，不是雪花邊緣也不

2、是圓，比起宇宙中由點(diǎn)星組成的集合，這些不是經(jīng)典的集合體，它們不再具有我們已經(jīng)熟知的數(shù)學(xué)分析中連續(xù)、光滑(可引導(dǎo))的基本特性。這種奇怪的物體長(zhǎng)期被認(rèn)為是“無(wú)法形容的”或“病態(tài)的”，因此容易被忽略。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)無(wú)法再解釋，古典數(shù)學(xué)陷入危機(jī)，分形幾何出現(xiàn)了。分形幾何是以不規(guī)則幾何為研究對(duì)象的幾何。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界中普遍存在，分形幾何也稱為描述自然的幾何，分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比是什么特征，從整體上看，分形幾何在所有方面都是不規(guī)則的。例如海岸線和山川的形狀，從遠(yuǎn)處看，其形狀很不規(guī)則。在不同的尺度下，圖形的規(guī)律性再次相同。上述海岸線和山川的形狀，近距離觀察，其局部形狀又和整體相似，它們從整體到地方都和自

3、己相似。分形角色曼德勃羅，分形理論創(chuàng)始人美國(guó)數(shù)學(xué)家曼德勃羅。Mandelbrot美國(guó)國(guó)際商業(yè)機(jī)器(IBM)公司沃森研究中心自然科學(xué)部高級(jí)研究員哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)兼職教授美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士美國(guó)藝術(shù)科學(xué)研究院成員歐洲藝術(shù)科學(xué)人文科學(xué)研究院。1967年美國(guó)科學(xué)雜志上發(fā)表的一篇名為英國(guó)海岸線有多長(zhǎng)的劃時(shí)代的論文，是他分形思想萌芽的重要標(biāo)志。1973年在法國(guó)大學(xué)講課時(shí)，他提出了分形幾何的整體想法。1977年，他出版了分形理論的正式誕生的形式、偶然性和維度的第一本書。五年后，他出版了一本關(guān)于自然的分形幾何的著名著作，分形理論首次形成。根據(jù)“Fractal”一詞的由來(lái)，據(jù)曼德博教授說(shuō)，fractal一詞是在1

4、975年夏天的一個(gè)晚上，冥想時(shí)翻查兒子的拉丁語(yǔ)詞典突然想起的。抽出Fractus這個(gè)拉丁語(yǔ)單詞，摘下英語(yǔ)fractional的末尾，就會(huì)出現(xiàn)fractal這個(gè)單詞。本意是不規(guī)則的，破碎的，分?jǐn)?shù)。mander bred是一大類復(fù)雜無(wú)序的幾何對(duì)象，用自然界傳統(tǒng)的歐氏幾何無(wú)法解釋這個(gè)詞。例如，蜿蜒的海岸線、起伏的山脈、崎嶇的剖面、反復(fù)無(wú)常的浮云、九谷會(huì)長(zhǎng)的河流、縱橫的血管，以及耀眼的官僚天空星星。以非常不規(guī)則或非常不光滑為特點(diǎn)。直觀、粗略地說(shuō)，這些對(duì)象是分形的。什么是分形？這個(gè)例子定義了海岸線有多長(zhǎng)的分形特征？按照傳統(tǒng)的科學(xué)方法，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，但是曼德勃羅教授說(shuō)英國(guó)海岸線需要多長(zhǎng)時(shí)間？在一篇文

5、章里，他給出了一個(gè)驚人的答案?！坝?guó)海岸線的長(zhǎng)度不確定！因?yàn)楹０毒€的長(zhǎng)度取決于測(cè)量時(shí)使用的尺寸。，海岸線以1公里為單位測(cè)量的結(jié)果表明，近似長(zhǎng)度短于1公里的偏轉(zhuǎn)被忽略，以1米為單位測(cè)量的話，可以測(cè)量忽略的偏轉(zhuǎn)，長(zhǎng)度更大，測(cè)量單位更小，測(cè)量長(zhǎng)度更大，更接近海岸線長(zhǎng)度的決定值。問題看起來(lái)已解決，但Mandelbrot發(fā)現(xiàn)測(cè)量單位變更時(shí)，其長(zhǎng)度會(huì)無(wú)限增加。他認(rèn)為海岸線的長(zhǎng)度沒有確定，或者從某種意義上說(shuō)，上海海岸線無(wú)限長(zhǎng)。怎么了？答案可能是海岸線很不規(guī)則，很不光滑。此時(shí)，長(zhǎng)度可能無(wú)法正確概括海岸線等不規(guī)則形狀的特征。一些典型的分形圖案，KOCH曲線，返回，Sierpinski三角形，分形是什么？實(shí)例定義

6、分形特征，分形定義，分形：具有自身相似特性的現(xiàn)象、圖像或物理過程。換句話說(shuō)，在分形中，每個(gè)組件只是較小，在功能上與整體相似。什么是分形？實(shí)例定義的分形特征、分形特征、自相似性selfsimilarity意味著在其他空間或時(shí)間尺度上它們都相似，或者系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局部特性或局部結(jié)構(gòu)與整體相似。這不僅包括嚴(yán)格的幾何相似性，還包括通過廣泛統(tǒng)計(jì)顯示的自相似性。分形植物，科赫雪花，Sierpinski三角形，如果你是深層次的人，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自然界中有一種自我相似的特性，與很多事物及其整體或其他部分非常相似。事實(shí)上，還不止這些。從心臟的搏動(dòng)、不可預(yù)測(cè)的天氣到股票的上升，很多現(xiàn)象都具有分形特征。這就是研究分形的重要

7、性。比例不變性比例invariance是從分形中選擇一個(gè)局部區(qū)域進(jìn)行放大，結(jié)果放大顯示了原始圖的形態(tài)特征。因此，對(duì)于分形，無(wú)論放大還是縮小，形式、復(fù)雜性、不規(guī)則性等各種特性都不會(huì)改變，因此尺度不變稱為伸縮不變。分形植物，Mandelbrot集，分形維數(shù)，維數(shù)是幾何和空間理論的基本概念。例如，一維的線、二維的平面和三維的公共空間是眾所周知的。但是如果你想知道復(fù)雜的自然結(jié)構(gòu)(如雪花、云、山、樹枝和年輪)的維數(shù)是多少，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)很難回答，大部分是定性的描述。分形理論提供了可表征為分形維數(shù)(分形維數(shù)、分形維數(shù))的定量分析。并不是普通歐幾里得維度的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，而是賦予了很多新的意義。你聽說(shuō)世界上存在2.8

8、126維的物體嗎？是的！聽起來(lái)有點(diǎn)荒唐，但這是真的。在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上，分形學(xué)有了發(fā)展。我們先打個(gè)比方吧。牛頓的運(yùn)動(dòng)定律可以預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)。但是，如果移動(dòng)物體的速度接近光速，這個(gè)定理就變得很不準(zhǔn)確。愛因斯坦在1900年代發(fā)明了相對(duì)論。這項(xiàng)成果發(fā)展了牛頓定律。如果檢驗(yàn)相對(duì)論，你會(huì)發(fā)現(xiàn)相對(duì)論的結(jié)果和牛頓定律一樣。那么，這與分形維數(shù)有什么關(guān)系呢？正如相對(duì)論發(fā)展了傳統(tǒng)力學(xué)一樣，分形維數(shù)進(jìn)一步發(fā)展了傳統(tǒng)維度的概念。那是發(fā)展，不與你知道的分形維數(shù)的知識(shí)相沖突！分形維數(shù)通常是分?jǐn)?shù)。分形維數(shù)越大，反映出不規(guī)則形式的不規(guī)則性。這里介紹了三種常用的分形維：相似維Hausdorff維框維和相似維。如果圖形由縮小

9、為1a的b個(gè)相似圖形組成，則相似維Ds可以采用以下形式提供：例如，對(duì)于Koch曲線，可以將每個(gè)部分分為四個(gè)部分，每個(gè)部分的大小為原始大小的三分之一。每個(gè)部分都可以細(xì)分為相同的單位，類似的維度，Koch曲線，Hausdorff維度中有長(zhǎng)度為l的線段，用長(zhǎng)度為r的“英尺”作為單位測(cè)量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)n個(gè)字是測(cè)量的。n值似乎與使用的字符大小相關(guān)。也就是說(shuō)，如果測(cè)量面積為a的平面，則可以測(cè)量為r單位的小正方形。也就是說(shuō)，可以用r的半徑填充v球體。換句話說(shuō)，對(duì)于具有嚴(yán)格指定維的所有集，如果使用具有相同維的“標(biāo)尺”測(cè)量，則得出0的值；如果使用低于該維的“英尺”測(cè)量，則得出無(wú)限的結(jié)果；如果使用高于該維的“標(biāo)尺”測(cè)

10、量，則得出0的結(jié)果。數(shù)學(xué)表達(dá)式在頂部?jī)蓚?cè)獲取自然對(duì)數(shù)，其中DH稱為Hausdorff維，可以是整數(shù)或分?jǐn)?shù)。它是最古老、最重要的維度，對(duì)任何一套都有意義。但是，計(jì)算Hausdorff維度非常困難。長(zhǎng)方體維定義：設(shè)置，在歐氏距離中，側(cè)面長(zhǎng)度的小長(zhǎng)方體設(shè)置為包含a且包含a所需的最小長(zhǎng)方體數(shù)：是集a的長(zhǎng)方體維。計(jì)算：需要通過逐漸增大n來(lái)計(jì)算每個(gè)值的長(zhǎng)方體維，從而得出一組數(shù)據(jù)對(duì)，并使用線性回歸等方法獲取相對(duì)坡率。分形應(yīng)用領(lǐng)域、圖像處理圖像分割目標(biāo)識(shí)別圖像壓縮圖像邊緣檢測(cè)圖像分析、合成、圖像分割、灰度值圖像，特別是基于自然景觀的灰度值圖像，可以由具有不同分形特性的不同種類的物質(zhì)組成。因此，我們提取圖像的分

11、數(shù)維時(shí)，通常按圖像平鋪。也就是說(shuō)，設(shè)置一個(gè)窗口通常選擇大小為88或1616等，提取窗口區(qū)域的分?jǐn)?shù)維，窗口的移動(dòng)從左到右，從上到下。分形理論。相同的分形物質(zhì)在不同的領(lǐng)域通常具有相同的維數(shù)。因此，在同一圖像的不同區(qū)域中獲取分?jǐn)?shù)維時(shí)，可以根據(jù)它進(jìn)行分類和分割。目標(biāo)識(shí)別，人們將分?jǐn)?shù)維與傳統(tǒng)方法相結(jié)合，處理森林山之間隱藏的坦克、炮車等自然背景人工物體識(shí)別。傳統(tǒng)的匹配檢測(cè)方法包括計(jì)算具有相當(dāng)時(shí)間復(fù)雜性的相似測(cè)量、匹配點(diǎn)搜索等步驟?，F(xiàn)在，使用分?jǐn)?shù)維方法，典型選擇窗口的大小與檢測(cè)到的對(duì)象的大小大致相同，這通常是可以預(yù)測(cè)的。如果在某些窗口中出現(xiàn)異常的分?jǐn)?shù)維(例如，在特定拓?fù)渚S下或與大多數(shù)區(qū)域不同的分?jǐn)?shù)維)，請(qǐng)繼

12、續(xù)下一步以進(jìn)行細(xì)化搜索。這里的分?jǐn)?shù)維主要起著可疑區(qū)域的判斷作用。采用圖像壓縮、1988 Barnsley迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS和遞歸迭代函數(shù)系統(tǒng)RIFS方法，對(duì)多個(gè)圖像的壓縮編碼獲得了最高100033001的壓縮率。1992年圣誕節(jié)，美國(guó)微軟發(fā)布了一張?bào)@人的CD，名為“Microsoft Encarta”。此光盤只能放600米字節(jié)，包括美國(guó)地圖冊(cè)、詞典、7小時(shí)音頻、100個(gè)動(dòng)畫程序、800個(gè)可縮放彩色地圖冊(cè)、超過7，000個(gè)高質(zhì)量照片花、植物、人、云、風(fēng)景名勝區(qū)等。所以人們稱之為“多媒體百科全書”。Encarta中的所有信息都是通過分形壓縮技術(shù)存儲(chǔ)的。在海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中，美軍使用了在軍事地圖縮放、攻擊對(duì)

13、象匹配追蹤等方面使用的分形技術(shù)。，其他應(yīng)用程序可以在計(jì)算機(jī)上使用模擬自然景觀、動(dòng)畫、建筑場(chǎng)景等，還可以在電影和電視制作中生成奇怪的山峰、獨(dú)特的場(chǎng)景，創(chuàng)造新穎美麗的風(fēng)景。該外在分形學(xué)還可以進(jìn)行服裝設(shè)計(jì)、IC卡設(shè)計(jì)、房間裝飾等。服裝設(shè)計(jì)1，IC卡設(shè)計(jì)，卡設(shè)計(jì)，書籍設(shè)計(jì)，分形天線，分形芯片，房間裝飾1，房間裝飾2，房間裝飾3，房間裝飾4，自然景觀模擬，分形藝術(shù)，有些人利用這個(gè)原理來(lái)構(gòu)成類似于自我的短合成音樂，主題在帶有小調(diào)的3-5次重復(fù)周期中重復(fù)，在節(jié)奏上加上一些隨機(jī)變化而產(chǎn)生的效果，從宏觀上，甚至在小規(guī)模上也能真實(shí)地模仿實(shí)際音樂。雖然不是那么宏偉，但至少看起來(lái)很有趣。將著名的mandellaset轉(zhuǎn)換成音樂，并命名為聽HearingtheMandelbrotSet，他們將在MandelbrotSet上掃描得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成鋼琴鍵的音調(diào)，以音樂表現(xiàn)mandelbrotset的結(jié)構(gòu)，音樂表現(xiàn)力很強(qiáng)。事實(shí)上，分形音樂已成為新音樂研究中最有趣的領(lǐng)域。研究分形音樂1，分形音樂2，分形的原因是什么？首先分形形式在自然界中普遍存在，研究分形是探