高等流體力學第八章

1、第八章 對流與擴散,（8.1）,（8.2）,（8.3）,也可以改寫為：,通用微分方程：,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,控制微分方程： 連續(xù)性方程變?yōu)?或,（8.4）,（8.5）,在上頁圖中中個控制容積內(nèi)對控制微分方程進行積分：,及,上面的方程可以寫為,定義兩個新的符號,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,離散方程變化為：,給一個簡單的例子：,（1）如果 及 ,結(jié)果是,（2）如果 及 ,結(jié)果是,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,（8.6）,（8.7）,（8.8）,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,結(jié)果分析 因為 實際上不可能落在由相鄰點值所建立的100200的范圍，這些結(jié)果顯然就是不真實的。于是離散方程就變得不適于用逐點法求解 以上結(jié)果導致了一個不

2、可接受的離散方程，因而就要尋找更好的公式,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,（8.9）,（8.10）,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,式中,（8.11a）,（8.11b）,（8.11c）,一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散,（a）如果,及,結(jié)果是,（b）如果,及,結(jié)果是,上風方案,上風方案,如果,（8.12a）,如果,（8.12b）,上風方案,上風方案,混合格式,混合格式 當 時，使用具有二階精度的中心差分格式； 當 時，采用具有一階精度但考慮流動方向的一階迎風格式。,在混合格式下，與 的輸運方程,所對應的離散方程是：,混合格式,式中：,（8.13）,（8.14）,混合格式,混合格式根據(jù)流體流動的 Pe數(shù)在中心差分格式和迎風格式之間進

3、行切換，給格式綜合了中心差分格式和迎風格式的共同優(yōu)點，因其離散方程的系數(shù)總是正的，因此是無條件穩(wěn)定的。,混合格式,指數(shù)格式,對于方程,在計算 內(nèi)，如果當x=0時，有 ；當x=L 時，有 ，則方程的精確解是：,（8.15）,（8.16）,指數(shù)格式,現(xiàn)考慮一個由對流通量密度 與擴散通量密度 所組成的總通量密度 ；,總通量密度 是指單位時間內(nèi)、單位面積上由擴散及對流作用而引起的某一物理量的總轉(zhuǎn)移量。,（8.17）,指數(shù)格式,按上述定義，方程（8.15）變?yōu)?對于控制體積內(nèi)，由上式積分方程可得：,（8.18）,（8.19）,指數(shù)格式,精確解（8.15）可以作為點P與E之間的分布，其中用 和 代替 和

4、，并用距離 代替L，從而可以給出 的表達式：,式中， 是界面E上 的Pelclet數(shù)。,（8.20）,指數(shù)格式,同樣，可以寫出關(guān)于 類似關(guān)系如下：,（8.21）,指數(shù)格式,將上二試代入方程 ，得：,（8.22）,指數(shù)格式,寫成標準形式：,式中，,（8.23）,（8.24）,指數(shù)格式,在應用于一維的穩(wěn)態(tài)問題時，指數(shù)格式保證對于任何的Pelclet數(shù)以及任意數(shù)量的網(wǎng)格點均可以得到精確解。 缺點： 指數(shù)運算是費時的； 對于二維或三維的問題，以及源項不為 零的情況，這種方案是不準確的。,乘方格式,當 數(shù)超過10時，擴散項按0對待；當 時，單位面積上的通量按一多項式來計算，如，對于控制體積的w界面有：,式中，,（8.25）,乘方格式,與乘方格式對應的離散方程為：,式中，,（8.26）,（8.27）,輸運方程,輸運