三角形全等的證明

1、.,三角形全等的判定,一、邊角邊 （SAS）,二、角邊角 (ASA),三、角角邊 (AAS),四、邊邊邊 (SSS),五、綜合練習(xí),制作人：王一豹,2. 叫做全等三角形。,1.能夠重合的兩個圖形叫做 。,全等形,4.全等三角形的 和 相等,對應(yīng)邊,對應(yīng)角,對應(yīng)頂點,復(fù)習(xí)提問,能夠重合的兩個三角形,3.“全等”用符號“ ”來表示，讀作“ ”,對應(yīng)邊,對應(yīng)角,5.書寫全等式時要求把對應(yīng)字母放在對應(yīng) 的位置上,全等于,.,全等三角形的判定（一）,SAS（邊角邊定理),.,畫ABC,使AB=3cm，AC=4cm。,畫法：,2. 在射線AM上截取AB= 3cm,3. 在射線AN上截取AC=4cm,這樣畫

2、出來的三角形與同桌所畫的三角形進行比較，它們互相重合嗎？,若再加一個條件，使A=45，畫出ABC,1. 畫MAN= 45,4.連接BC,則ABC就是所求的三角形,把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形進行比較，它們能互相重合嗎？,畫一畫,.,再任意畫一個ABC和DEF，使AB=DE , AC=DF , A=D , 把畫好的ABC和DEF比較，它們?nèi)葐幔?D,E,F,ABCDEF,.,由前邊的作圖比較過程，我們可以得出什么結(jié)論？,用符號語言表達為：,在ABC與DEF中,AB=DE A=D AC=DF,ABCDEF（SAS）,兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SA

3、S”,.,圖 1,已知：如圖1，AC=AD，CAB=DAB 求證：ACBADB,AC=AD（已知）,CAB=DAB（已知） AB=AB（公共邊） ACBADB（SAS）,例1,證明：在ACB和ADB中,例 題 講 解,.,圖2,已知：如圖2，ADBC，AD=CB 求證：ADCCBA,分析：觀察圖形，結(jié)合已知條件，知，,AD=CB，AC=CA，但沒有給出兩組對應(yīng)邊的夾角（1，2）相等。,所以，應(yīng)設(shè)法先證明1=2，才能使全等條件充足。,AD=CB（已知） 1=2（已知） AC=CA （公共邊） ADCCBA（SAS）,例2,證明：ADBC 1=2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 在DAC和BCA中,D,

4、C,1,A,B,2,B,.,動 態(tài) 演 示,.,圖3,已知：如圖3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF 求證：AFDCEB,證明：ADBC（已知） A=C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（等式性質(zhì)） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中,AD=CB（已知） A=C（已證） AF=CE（已證） AFDCEB（SAS）,若求證D=B ，如何證明？,分析：本題已知中的前兩個條件，與例2相同，但是沒有另一組夾邊對應(yīng)相等的條件，不難發(fā)現(xiàn)圖3是由圖2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE,變式訓(xùn)練1,問：,.,動 態(tài) 演 示,.,練習(xí)：已知：如圖4，點A、B、C、D在

5、同一條直線上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分別為A、D,圖4,求證：（1）EABFDC、（2）DF= AE,.,解 題 小 結(jié)：,解題思路,1、根據(jù)“邊角邊（SAS）”條件，可證明兩個三角形全等；,2、再由“全等”作為過渡的條件，得到對應(yīng)邊等或?qū)?yīng)角等；,.,圖5,變式訓(xùn)練2 已知：如圖5：AB=AC，AD=AE，1=2 求證：ABDACE,證明：1=2（已知） 1+BAE = 2+BAE（等式性質(zhì)） 即 CAE= BAD,在CAE和BAD 中,AC=AB（已知） CAE=BAD（已證） AE=AD ABDACE（SAS）,分析：兩組對應(yīng)夾邊已知，缺少 對應(yīng)夾角相等的條件。

6、 由BAE 是兩個三角形的 公共部分，可得：CAE=BAD。,.,變式訓(xùn)練2：拓 展,（1）求證：E=D （2）若ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使1=900時，直線EC， BD的位置關(guān)系如何？給出證明。,當(dāng)EAD 為平角時呢？,圖5,已知：如圖5：AB=AC，AD=AE，1=2,1,2,.,解 題 小 結(jié)：,解題思路,1、根據(jù)“邊角邊（SAS）”條件，可證明兩個三角形全等；,2、再由“全等”作為過渡的條件，得到對應(yīng)邊等或?qū)?yīng)角等；,3、由“邊”等，再根據(jù)等式性質(zhì)得到其它線段相等；由“角”等，再證明兩直線平行、兩直線垂直或延伸的外角和等變換。,.,1在證明三角形全等時，要善于觀察圖形，運用已學(xué)知識挖出

7、隱含條件。,總結(jié)概括，知識拓寬,2明確全等三角形“邊角邊”公理的運用方法。,.,全等三角形的判定（二）,ASA（角邊角定理）,.,創(chuàng)設(shè)情景,實例引入,一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心 被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來 同樣大小的新教具？能恢復(fù)原來三角形 的原貌嗎？,怎么辦？可以幫幫我嗎？,.,C,B,E,A,D,.,先任意畫出一個ABC， 再畫一個A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B 。把畫好 的A/B/C/剪下，放到ABC上， 它們?nèi)葐幔?探究1:,.,已知：任意 ABC，畫一個 A/B/C/， 使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ：,畫法：,2、在 A/B/

8、的同旁畫DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于點C/。,1、畫A/B/AB；,A/B/C/就是所要畫的三角形。,問：通過實驗可以發(fā)現(xiàn)什么事實？,.,引入新課：,作圖：已知：ABC，(讓同學(xué)們自己畫）再畫一個三角形A/B/C/,使B/C/=BC, B/= B, C/= C.,1、畫線段A/B/=AB 2、在A/B/的同旁，分別以A/、B/為頂點畫 D A/B/=A, E B/A/=B , A/D 、B/E交于點C/,得 A/B/C/,.,現(xiàn)在同學(xué)們把我們所畫的兩個三角形重合在一起，你發(fā)現(xiàn)了什么？,完全重合,角邊角公理： 有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫為

9、“ASA”),講解新課：,.,例1、已知：如圖，DAB=CAB，C=D 求證：AC=AD,證明：, DAB=CAB，C=D,ABD=ACD (三角形內(nèi)角和定理）,在ACB和ADB中,DAB=CAB AB=AB （共用邊） ABD=ACD, ACBADB （ASA),AC=AD,講解新課:,.,例2、已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD交于O點，AB=AC，B=C. 求證：BD=CE,證明：在ABE和ACD中,A= A AB=AC B=C, ABEACD （ASA),AD=AE,AB=AC,BD=CE,講解新課,.,如圖，要證明ACE BDF,根據(jù)給定的條件和指明的依據(jù)，將應(yīng)當(dāng)添設(shè)的條件

10、填在橫線上。,AC=BD,A=B,C=D,AC=BD,A=B,AEC=BFD,課堂練習(xí),.,1、如右圖：已知，ABE=CBD, BCE=DBA,EC=AD 求證：AB=BE,BC=DB 2、如右圖：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF 求證：AEBDFC,變式練習(xí)：,.,全等三角形的判定（三）,AAS（角角邊定理）,.,定理的引入:,如圖在ABC和DEF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC與DEF全等嗎？,證明：A+B+C=180 D+E+F=180 又A=D B=E C=F,C=F BC=EF B=E,ABCDEF (ASA),.,如圖所示， ABCDE

11、F,那么 角角邊定理得證。,三角形的判定定理三,在兩個三角形中，如果有二個角和任意一條邊相等，那么這兩個三角形全等。,A=D B=E BC=EF,ABCDEF (AAS),.,例題講解：,例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于 點O，AD=AE，B=C。 求證：BD=CE,.,鞏固練習(xí),如圖，1=2，D=C 求證：AC=AD,證明：在_和_中 _ （ ） _ （ ） _ （公共邊） _ _（ ） _（全等三角形對應(yīng)邊相等）,ABD,ABC,1=2,D=C,AB=AB,ABD,ABC,AC=AD,已知,已知,AAS,全等三角形的判定（四）,SSS（邊邊邊定理）,定理的引入:,A

12、,B,C,D,已知：AC=DE AB=DF BC=FE 求證：ABC DFE,E,思考,F,定理的引入:,A,B,C,D,已知：AC=DC AB=DB 求證：ABC DBC,證明：連接AD， AC=DC CAD= CDA 同理， BAD= BDA BAC= BDC AC=DC A= D AB=DB ABC DBC（SAS）,.,A,C,D,B,如圖所示， ABCDBC ，那么邊邊邊定理得證。,在兩個三角形中，如果有三條邊相等，那么這兩個三角形全等。,三角形的判定定理四,AC=DC AB=DB BC=BC,ABC DBC（SSS）,.,例1：如圖，已知AB=CD，BC=DA。 說出下列判斷成立的

13、理由： （1）ABCCDA （2）B=D,A,B,C,D,解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共邊） ABCCDA（SSS） （2） ABCCDA B=D（全等三角形的對應(yīng)角相等）,.,練習(xí)1 如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，ABDE，ACDF，BECF。求證：AD。,證明：BECF（已知）,即 BCEF,在ABC和DEF中,ABDE（已知）,ACBF（已知）,BCEF（已證）,ABCDEF（SSS）,AD(全等三角形對應(yīng)角相等）,小結(jié)：欲證角相等，轉(zhuǎn)化為證三角形全等。, BE+EC=CF+EC,.,例2，如圖，已知ABCD，ADCB，求

14、證：BD,證明：連結(jié)AC,ABCD（已知）,ACAC（公共邊）,BCAD（已知）, ABC CDA（SSS）, BD（全等三角形對應(yīng)角相等）,在ABC和 ADC中,.,問：此題添加輔助線，若連結(jié)BD行嗎？,在原有條件下，還能推出什么結(jié)論？,答：ABCADC，ABCD，ADBC,小結(jié)：四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決。,.,一定 （SAS）,不一定,一定 (ASA),一定 (AAS),不一定,一定 (SSS),歸納：二個三角形全等的判定方法,.,五、綜合練習(xí)題 全等三角形的應(yīng)用,.,：利用全等三角形證明線段（或角）相等,例1：如圖，直線AC、 BD交于點O，OA=OC OB=OD 直線EF過點O且

15、分別交AB、 CD于E、F,求證：OE=OF,在AOB和COD中 OB=OD AOB=COD OA=OC AOBCOD （SAS） B=D （全等三角形的對應(yīng)角相等） 在BOE和DOF中 B=D OB=OD BOE=COF BOEDOF （ASA） OE=OF （全等三角形的對應(yīng)邊相等）,證明,.,AB=DC,AC=DB,BC=CB,證明：,在ABC和DCB中,如圖：AB=DC，AC=DB 求證：ABO=DCO, ABCDCB,（SSS）, A=D (全等三角形的對應(yīng)角相等),在AOB和DOC中,A=D AOB=DOC AB=CD, AOBDOC,（AAS）, ABO=DCO （全等三角形的對

16、應(yīng)角相等）,.,鞏固練習(xí)： 如圖：ACBC ADBD ，AD=BC CEAB DFAB，垂足分別為E、F，求證：CE=DF,分析：,由已知可推出ABCBAD,要證CE=DF，需證ACEADF，所缺條件可由ABCBAD推出,.,二：利用全等三角形證明線的垂直關(guān)系,證明：,例：如圖：BF是RtABC的角平分線，ACB=90，CD是高，BF與CD交于點E，EGAC交AB于G 求證：FGAB,BF平分ABC,12,CDAB 3+ABC=90 又ACB90 A+ABC=90 3A,又EGAC A4 34,在BEG與BEC中 12 34 BEBE BEGBEC,（AAS）,BG=BC （全等三角形的對應(yīng)邊相等）,在BFG與BFC中,BG=BC 12 BF=BF,BFGBFC （SAS）,FGB=FCB=90 FGAB,.,鞏固練習(xí)： 如圖：ABC中，AD平分BAC，DE