9.1 直線的方程.ppt

1、解析幾何,直線的方程,基礎(chǔ)知識 自主學習,要點梳理 1.直線的傾斜角與斜率 （1）直線的傾斜角 定義：當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基 準，x軸 與直線l 方向之間所成的角 叫 做直線l的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時， 規(guī)定它的傾斜角為 .,傾斜角的范圍為 .,正向,向上,0 180,0,(2)直線的斜率 定義：一條直線的傾斜角 的 叫做這條 直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k= ， 傾斜角是90的直線斜率不存在. 過兩點的直線的斜率公式 經(jīng)過兩點P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1x2)的直線 的斜率公式為k=,正切值,tan,基礎(chǔ)自測 1.過點M（-2，m），N

2、（m，4）的直線的斜率等 于1，則m的值為 （ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析 kMN= =1，m=1.,A,2.經(jīng)過下列兩點的直線的傾斜角是鈍角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1）,解析 對A過兩點的直線斜率 對B過兩點的直線斜率 對C過兩點的直線斜率 對D過兩點的直線斜率 過D中兩點的直線的傾斜角是鈍角. 答案 D,2.直線方程的五種形式,3.過P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程 （1）若x1=x2,且y1y2時，直線垂直于x軸，方程 為 ; (2)若x1x2,且

3、y1=y2時，直線垂直于y軸，方程為 ; (3)若x1=x2=0，且y1y2時，直線即為y軸，方程 為 ; (4)若x1x2,且y1=y2=0時，直線即為x軸，方程 為 .,x=x1,y=y1,x=0,y=0,4.線段的中點坐標公式 若點P1、P2的坐標分別為（x1，y1）， （x2，y2），且線段P1P2的中點M的坐標為（x,y）， 則 ，此公式為線段P1P2的中點 坐標公式.,3.下列四個命題中，假命題是 （ ） A.經(jīng)過定點P（x0，y0）的直線不一定都可以用 方程y-y0=k(x-x0)表示 B.經(jīng)過兩個不同的點P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 的直線都可以用方程(y-y1)(x

4、2-x1)= (x-x1)(y2-y1)來表示 C.與兩條坐標軸都相交的直線不一定可以用方 程 表示 D.經(jīng)過點Q（0，b）的直線都可以表示為y=kx+b 解析 A不能表示垂直于x軸的直線，故正確；B 正確；C不能表示過原點的直線即截距為0的直 線，故也正確；D不能表示斜率不存在的直線， 不正確.,D,4.如果AC0,且BC0,那么直線Ax+By+C=0 不通過 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由題意知ABC0. 直線方程變?yōu)閥=- x- ， AC0，BC0，AB0， 其斜率k=- 0,在y軸上的截距b=- 0, 直線過第一、二、四象限.,C,5.一條直線

5、經(jīng)過點A（-2，2），并且與兩坐標軸 圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 . 解析 設所求直線的方程為 A（-2，2）在直線上， 又因直線與坐標軸圍成的三角形面積為1， |a|b|=1 ,由可得 由（1）解得 方程組（2）無解. 故所求的直線方程為 即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程. 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0,題型一 直線的傾斜角 【例1】 若 ，則直線2xcos +3y+1=0 的傾斜角的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.,題型分類 深度剖析,思維啟迪 從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的 范圍，再確定傾斜角范圍. 解析 設直線的傾斜角為 ,則

6、tan =- cos , 又 ，0cos , cos 0 即- tan 0,注意到0 , . 答案 B,探究提高 （1）求一個角的范圍，是先求這個角 某一個函數(shù)值的范圍，再確定角的范圍. （2）在已知兩個變量之間的關(guān)系式要求其中一 個變量的范圍，常常是用放縮法消去一個變量得 到另一個變量的范圍，解決本題時，可以利用余 弦函數(shù)的單調(diào)性放縮傾斜角的取植范圍，其目的 是消去變量 得到。,題型二 直線的斜率 【例2】 已知直線l過點P（-1，2），且與以 A（-2，-3），B（3，0）為端點的線段相交， 求直線l的斜率的取值范圍. 分別求出PA、PB的斜率，直線l處 于直線PA、PB之間，根據(jù)斜率的幾

7、何意義利 用數(shù)形結(jié)合即可求. 解 方法一 如圖所示，直線PA的 斜率 直線PB的斜率,思維啟迪,當直線l繞著點P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC 時，它的斜率變化范圍是5，+）； 當直線l繞著點P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時，它的斜 率的變化范圍是 直線l的斜率的取值范圍是 方法二 設直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0. A、B兩點在直線的兩側(cè)或其中一點在直線l上， （-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）0，,即（k-5）（4k+2）0，k5或k- . 即直線l的斜率k的取值范圍是 5，+）. 方法一 運用了數(shù)形結(jié)合思想.當直線 的傾斜角由銳角變到

8、直角及由直角變到鈍角時， 需根據(jù)正切函數(shù)y=tan 的單調(diào)性求k的范圍，數(shù) 形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時，借助圖 形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達到快 捷解題的目的.方法二則巧妙利用了不等式所表示 的平面區(qū)域的性質(zhì)使問題得以解決.,探究提高,題型三 求直線的方程 【例3】 求適合下列條件的直線方程： （1）經(jīng)過點P（3，2），且在兩坐標軸上的截距 相等； （2）經(jīng)過點A（-1，-3），且傾斜角等于直線y= 3x的傾斜角的2倍. 選擇適當?shù)闹本€方程形式，把所需要 的條件求出即可. 解 （1）方法一 設直線l在x,y軸上的截距均為a, 若a=0，即l過點（0，0）和（3，2）， l的

9、方程為y= x，即2x-3y=0.,思維啟迪,若a0，則設l的方程為 l過點（3，2）， a=5，l的方程為x+y-5=0, 綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0, 設直線方程為y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3- ,令x=0,得y=2-3k, 由已知3- =2-3k，解得k=-1或k= , 直線l的方程為 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.,（2）由已知：設直線y=3x的傾斜角為 ， 則所求直線的傾斜角為2 . tan =3,tan 2 = 又直線經(jīng)過點A（-1，-3），

10、因此所求直線方程為y+3=- (x+1), 即3x+4y+15=0.,探究提高 在求直線方程時，應先選擇適當?shù)闹?線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用 斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩 點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能 表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題 時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距 是否為零，若采用點斜式，應先考慮斜率不存在 的情況.,知能遷移1 直線xsin -y+1=0的傾斜角的變化范 圍是 （ ） A. B.(0,) C. D. 解析 直線xsin -y+1=0的斜率是k=sin , 又-1sin 1，-1k1， 當0k1時，傾斜角的范圍

11、是 ； 當-1k0時，傾斜角的范圍是 .,D,知能遷移2 已知點A（1，3），B（-2，-1）.若直 線l：y=k（x-2）+1 與線段AB相交，則k的取值范圍是 （ ） A.k B.k-2 C.k 或k-2 D.-2k 解析 由已知直線l恒過定點P（2，1），如圖. 若l與線段AB相交， 則kPAkkPB， kPA=-2，kPB= ， -2k .,D,知能遷移3 求下列直線l的方程： （1）過點A（0，2），它的傾斜角的正弦值是 ； （2）過點A（2，1），它的傾斜角是直線l1：3x+4y+5=0的傾斜角的一半； （3）過點A（2，1）和直線x-2y-3=0與 2x-3y-2=0的交點. 解

12、 （1）設直線l的傾斜角為 ， 則sin = ,tan = , 由斜截式得y= x+2, 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.,（2）設直線l和l1的傾斜角分別為 、 ， 則 解得tan =3或tan =- （舍去）. 由點斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. （3）解方程組 即兩條直線的交點為（-5，-4）. 由兩點式得 即5x-7y-3=0.,題型四 直線方程的應用 【例4】 （12分）過點P（2，1）的直線l交x軸、y 軸正半軸于A、B兩點，求使： （1）AOB面積最小時l的方程； （2）|PA|PB|最小時l的方程. 先求出AB所在的直線方程，再求出A， B兩點的坐標

13、，表示出ABO的面積，然后利用 相關(guān)的數(shù)學知識求最值.,思維啟迪,解 方法一 設直線的方程為 當且僅當 ,即a=4,b=2時，SAOB取最 小值4， 4分 此時直線l的方程為 6分,1分,3分,當且僅當a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3時，|PA|PB|取最小值4. 此時直線l的方程為x+y-3=0. 12分,8分,10分,方法二 設直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0), 則l與x軸、y軸正半軸分別交于 當且僅當-4k=- ,即k=- 時取最小值，此時直 線l的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分,1分,3分,（2）|PA|PB|= 10分 當且僅當 =4k

14、2,即k=-1時取得最小值,此時直 線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分 求直線方程最常用的方法是待定系數(shù) 法，本題所要求的直線過定點，設直線方程的點 斜式，由另一條件確定斜率，思路順理成章，而 方法一和方法二聯(lián)系已知條件與相關(guān)知識新穎獨 特，需要較高的邏輯思維能力和分析問題、解決 問題的能力.,探究提高,知能遷移4 已知直線l:kx-y+1+2k=0 (kR). （1）證明：直線l過定點； （2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； （3）若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的 方程. （1）證明 直線l的方程是：

15、k（x+2)+(1-y)=0, 無論k取何值，直線總經(jīng)過定點（-2，1）.,（2）解 由方程知,當k0時直線在x軸上的截距為 ,在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過 第四象限， 則必須有 解之得k0; 當k=0時，直線為y=1,符合題意，故k0.,（3）解 由l的方程，得 依題意得,方法與技巧 1.要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值 范圍，熟記斜率公式：k= ，該公式 與兩點順序無關(guān)，已知兩點坐標（x1x2）時， 根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點的直線的斜率.當x1=x2，y1y2時，直線的斜率不存在，此時直 線的傾斜角為90.,思想方法 感悟提高,2.求斜率可用k=tan （ 90），其中

16、 為傾 斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分 割，牢記：“斜率變化分兩段，90是分界，遇 到斜率要謹記，存在與否需討論”. 3.求直線方程中一種重要的方法就是先設直線方 程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系 數(shù)法. 4.重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線 上設一任意點P（x，y），再找出x，y的一次關(guān) 系式，例如求直線關(guān)于點對稱的直線方程、求直 線關(guān)于直線對稱的直線方程就可用軌跡法來求.,失誤與防范 1.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在； 每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存 在斜率. 2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍； 二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性. 3.

17、利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量為 （-B，A）不可記錯，但同時注意方向向量是不 唯一的. 4.利用三種直線方程求直線方程時，要注意這三 種直線方程都有適用范圍，利用它們都不能求 出垂直于x軸的直線方程.,一、選擇題 1. 直線l經(jīng)過A（2，1）、 B（1，m2） （mR）兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是 （ ） A.0， ） B. C. D. 解析 k= =1-m21,又k=tan ,0 , 所以l的傾斜角的取值范圍為,定時檢測,D,2.直線l1:3x-y+1=0，直線l2過點（1，0），且它的 傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為 （ ） A.y=6x+1 B.

18、y=6(x-1) C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 解析 由tan =3可求出直線l2的斜率 k=tan 2 = 再由l2過點（1，0）即可求得直線方程.,D,3.若直線（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x軸上的 截距為1,則實數(shù)m是 ( ) A.1 B.2 C. D.2或 解析 當2m2+m-30時, 在x軸上截距為 =1,即2m2-3m-2=0， m=2或m= .,D,4.直線x+(a2+1)y+1=0 (aR)的傾斜角的取值范圍 是 （ ） A. B. C. D. 解析 斜率k=- -1,故k-1，0）， 由圖象知傾斜角 ,故選B.,B,5.直線ax+y+1=0

19、與連結(jié)A（2，3）、B（-3，2）的 線段相交，則a的取值范圍是 （ ） A.-1，2 B.（-，-1）2，+） C.-2，1 D.（-，-21，+） 解析 直線ax+y+1=0過定點C（0，-1），當直 線處在AC與BC之間時，必與線段AB相交，應滿 足-a 或-a ，即a-2或a1.,D,6.已知直線x=2及x=4與函數(shù)y=log2x圖象的交點分別 為A，B，與函數(shù)y=lg x圖象的交點分別為C，D， 則直線AB與CD （ ） A.相交，且交點在第象限 B.相交，且交點在第象限 C.相交，且交點在第象限 D.相交，且交點在坐標原點 解析 易知A（2，1），B（4，2），原點 O（0，0），

20、 kOA=kOB= .直線AB過原點. 同理C（2，lg 2），D（4，2lg 2），kOC=kOD= 直線CD過原點，且與AB相交，故選D.,D,二、填空題 7.過兩點A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的 直線l的傾斜角為45，則m的值為 . 解析 由題意得： 解得：m=-2或m=-1. 又m2+23-m-m2,m-1且m ,m=-2.,-2,8.若經(jīng)過點P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直線的傾 斜角為銳角，則實數(shù)a的取值范圍是 . 解析 由條件知直線的斜率存在，由公式得 因為傾斜角為銳角，所以k0， 解得a1或a-2. 所以a的取值范圍是a|a1或a-2.,（-,-2）(1,+),9.直線y= x關(guān)于直線x=1對稱的直線方程是