必修四平面幾何中的向量方法(附答案)

1、平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題及其它一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.2.體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力知識(shí)點(diǎn)一向量方法在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，abab0x1x2y1y20.(3)求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cos .(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|.思考abc中，m、n分別為ab

2、、ac的中點(diǎn)求證：mnbc.證明設(shè)a，b，則ba，又m、n分別為ab、ac的中點(diǎn)a，b.amn中，ba(ba)，即與共線，mnbc.知識(shí)點(diǎn)二直線的方向向量(1)直線axbyc0的方向向量為(b，a)；直線ykxb的方向向量為(1，k)(2)應(yīng)用直線的方向向量求兩直線的夾角已知直線l1：yk1xb1與直線l2：yk2xb2，它們的方向向量依次為v1(1，k1)，v2(1，k2)當(dāng)v1v2，即v1v21k1k20時(shí)，l1l2，夾角為直角；當(dāng)k1k21時(shí)，v1v20，直線l1與l2的夾角為(090)不難推導(dǎo)利用k1、k2表示cos 的夾角公式：cos .思考1已知直線l：2xy10，在下列向量： v

3、1(1,2)；v2(2,1)；v3；v4(2，4)其中能作為直線l方向向量的有：_.答案思考2直線x2y10與直線2xy30的夾角為_(kāi)；直線2xy10與直線3xy10的夾角為_(kāi)答案9045知識(shí)點(diǎn)三直線的法向量(1)直線axbyc0的法向量為(a，b)；直線ykxb的法向量為(k，1)(2)直線法向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用：利用直線的法向量判斷兩直線的位置關(guān)系：對(duì)于直線l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，它們的法向量分別為n1(a1，b1)，n2(a2，b2)當(dāng)n1n2時(shí)，l1l2或l1與l2重合即a1b2a2b10l1l2或l1與l2重合；當(dāng)n1n2時(shí)，l1l2.即a1a2b1b20l1l

4、2.思考直線l1：(a2)x(1a)y30與直線l2：(a1)x(2a3)y20垂直，則a的值為_(kāi)答案1解析n1(a2,1a)，n2(a1,2a3)，l1l2，n1n2(a2)(a1)(1a)(2a3)(a1)(a1)0，a1.題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值解如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)a(2a,0)，b(0,2a)，則d(a,0)，c(0，a)，從而可求：(2a，a)，(a，2a)，不妨設(shè)、的夾角為，則cos .故所求鈍角的余弦值為.跟蹤訓(xùn)練1已知正方形abcd中，e、f分別是cd、ad的中點(diǎn)，be、c

5、f交于點(diǎn)p.求證：(1)becf；(2)apab.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)ab2，則a(0,0)，b(2,0)，c(2,2)，e(1,2)，f(0,1)(1)(1,2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，即becf.(2)設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y1)，(2,1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，)| 2|，即apab.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2已知abc的三個(gè)頂點(diǎn)a(0，4)，b(4,0)，c(6,2)，點(diǎn)d、e、f分別為邊bc、ca、ab的中點(diǎn)(1)求直線de、ef、fd的方程；(2)求ab邊上的高線ch所在直線方程解(1)由已

6、知得點(diǎn)d(1,1)，e(3，1)，f(2，2)，設(shè)m(x，y)是直線de上任意一點(diǎn)，則.(x1，y1)，(2，2)(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20為直線de的方程同理可求，直線ef，fd的方程分別為x5y80，xy0.(2)設(shè)點(diǎn)n(x，y)是ch所在直線上任意一點(diǎn)，則.0.又(x6，y2)，(4,4)4(x6)4(y2)0，即xy40為所求直線ch的方程跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，試用向量方法求直線ac和ob(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的交點(diǎn)p的坐標(biāo)解設(shè)p(x，y)，則(x，y)，(x4，y)，因?yàn)閜是ac與ob的交點(diǎn)，所以p在直線ac上，也在直線ob上，即得，由點(diǎn)

7、a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)得，(2,6)，(4,4)，得方程組解得故直線ac與ob的交點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3)題型三平面向量的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在平行四邊形abcd中，bc2ba，abc60，作aebd交bc于e，求的值解方法一(基向量法)設(shè)a，b，|a|1，|b|2.ab|a|b|cos 601，ab.設(shè)b，則ba.由aebd，得0.即(ba)(ab)0.解得，.方法二以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線bc為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，設(shè)b(0,0)，c(2,0)，a，d.又設(shè)e(m,0)，則，.由aebd，得0.即0，得m，所以.跟蹤訓(xùn)練3已知p是正方形abcd對(duì)角線bd上一點(diǎn)，p

8、fce為矩形求證：paef且paef.證明以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，dc所在直線為x軸，da所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系oxy(如圖所示)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，|，則a(0,1)，p，e，f，于是，.| ，同理|，|，paef.0，.paef.轉(zhuǎn)化條件證“三心”例4(1)已知o是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，a，b，c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足()，其中(0，)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的()a重心 b垂心 c外心 d內(nèi)心(2)已知o是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，a，b，c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足()，其中(0，)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的()a重心 b垂心 c外心 d內(nèi)心(3)已知o是平面上

9、的一個(gè)定點(diǎn)，a，b，c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足()，其中(0，)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的()a重心 b垂心 c外心 d內(nèi)心解析(1)由已知得()，兩邊同向量取數(shù)量積，得()(|)0，故動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的垂心，故選b.(2)對(duì)()，其中(0，)進(jìn)行移項(xiàng)轉(zhuǎn)化，設(shè)abc的bc邊上的高為h，bc邊上的中點(diǎn)為d，則由已知得()，即，向量與向量共線，故動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的重心，故選a.(3)設(shè)bc的中點(diǎn)為d，則由已知得()，兩邊同時(shí)與向量取數(shù)量積，得()(|b|)0，故動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的外心，故選c.答案(1)b(2)a(3)c1已知abc，a，b，且ab0，

10、則abc的形狀為()a鈍角三角形 b直角三角形c銳角三角形 d不能確定2已知a(1,2)，b(2,1)，以ab為直徑的圓的方程是_3在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)a(0,1)和點(diǎn)b(3,4)，若點(diǎn)c在aob的平分線上且|2，則_.4正方形oabc的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)d，e分別為ab，bc的中點(diǎn)，試求cosdoe的值5已知直線l1：3xy20與直線l2：mxy10的夾角為45，求實(shí)數(shù)m的值一、選擇題1在abc中，已知a(4,1)、b(7,5)、c(4,7)，則bc邊的中線ad的長(zhǎng)是()a2 b. c3 d.2點(diǎn)o是三角形abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)o是abc的()a三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)b三條邊

11、的垂直平分線的交點(diǎn)c三條中線的交點(diǎn)d三條高的交點(diǎn)3在四邊形abcd中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()a. b2 c5 d104若o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|2|，則abc的形狀是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等邊三角形5已知點(diǎn)a(，1)，b(0,0)，c(，0)，設(shè)bac的平分線ae與bc相交于e，那么有，其中等于()a2 b. c3 d6若四邊形abcd滿足0，()0，則該四邊形一定是()a正方形 b矩形c菱形 d直角梯形7已知直線axbyc0與圓x2y21相交于a，b兩點(diǎn)，則|ab|，則_.8已知平面上三點(diǎn)a、b、c滿足|3，|4，|5.則_.9.

12、如圖所示，在abc中，點(diǎn)o是bc的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)o的直線分別交直線ab、ac于不同的兩點(diǎn)m、n，若m，n，則mn的值為_(kāi)10已知p、q為abc內(nèi)的兩點(diǎn)，且，則apq的面積與abc的面積之比為_(kāi)三、解答題11過(guò)點(diǎn)a(2,1)，求：(1)與向量a(3,1)平行的直線方程；(2)與向量b(1,2)垂直的直線方程12三角形abc是等腰直角三角形，b90，d是bc邊的中點(diǎn)，bead，延長(zhǎng)be交ac于f，連接df.求證：adbfdc.13.如圖所示，正三角形abc中，d、e分別是ab、bc上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)a、點(diǎn)b，且ae、cd交于點(diǎn)p.求證：bpdc.當(dāng)堂檢測(cè)答案1答案a2答案x2y2x3y0解析

13、設(shè)p(x，y)為圓上任一點(diǎn)，則(x1，y2)，(x2，y1)，由(x1)(x2)(y2)(y1)0，化簡(jiǎn)得x2y2x3y0.3答案解析已知a(0,1)，b(3,4)，設(shè)e(0,5)，d(3,9)，四邊形obde為菱形aob的角平分線是菱形obde的對(duì)角線od.設(shè)c(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.4解以oa，oc所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：，故cosdoe.即cosdoe的值為.5解設(shè)直線l1，l2的法向量為n1，n2，則n1(3,1)，n2(m，1)由題意：cos 45.整理得：2m23m20，解得：m2或m.課時(shí)精練答案一、選擇題1答案b解析bc

14、中點(diǎn)為d，|.2答案d解析，()0.0.obac.同理oabc，ocab，o為三條高的交點(diǎn)3答案c解析(1,2)(4,2)440，s四邊形abcd|25.4答案b解析|，|2|，|，四邊形abdc是矩形，且bac90.abc是直角三角形5答案c解析如圖所示，由題知abc30，aec60，ce，3，3.6答案c解析0，四邊形abcd是平行四邊形，由()0，得0，即此四邊形對(duì)角線互相垂直，故為菱形7答案解析如圖，作odab于d，則在rtaod中，oa1，ad，所以aod60，aob120，所以|cos 12011().8答案25解析abc中，b90，cos a，cos c，0，4516，539.2

15、5.9.答案2解析o是bc的中點(diǎn)，()又m，n，.m，o，n三點(diǎn)共線，1.則mn2.10答案解析如圖，根據(jù)題意，p、q為abc中位線de、df的中點(diǎn)，pqefbc，而a到pq的距離是到bc距離的，根據(jù)三角形的面積公式可知，sapqsabc.三、解答題11解設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)p(x，y)，a(2,1)，(x2，y1)(1)由題意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50.所求直線方程為x3y50.(2)由題意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直線方程為x2y40.12證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)a(2,0)，c(0,2)，則d(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，設(shè)f(x，y)，由，得