隨機(jī)過(guò)程-第四章2

1、3. 時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過(guò)程,一、定義,轉(zhuǎn)移概率函數(shù),pij (s) = pij (t，t+s)=px(t+s)=j | x(t)=i t0，s0,我們只討論時(shí)齊馬氏過(guò)程，以后不再說(shuō)“時(shí)齊”二字。,7 絕對(duì)概率被初始概率和轉(zhuǎn)移概率所確定,定義：過(guò)程 x(t)，t(0，+) 狀態(tài)有限e= 1，2，n ,9轉(zhuǎn)移密度矩陣（速率（度）矩陣，也稱q矩陣）,稱為馬氏過(guò)程的速度函數(shù)或由狀態(tài)i 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率密度。,上面兩個(gè)定義是一樣的,qij表示在單位時(shí)間內(nèi)，由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的 平均概率。,說(shuō)明：（qii是跳離i的轉(zhuǎn)移密度）,注：qii表示在單位時(shí)間內(nèi)跳離i的平均概率， 而不是在單位時(shí)間內(nèi)停

2、留在i的概率。,（3）速率函數(shù)的性質(zhì), qii0，i=1，2，n, qij0 ij i，j=1，2，n,下面介紹pij(t)滿足的微分方程組及其求解。,注意：二個(gè)方程都是關(guān)于pij(t)的線性微分方 程組，各包含(n+1)2個(gè)方程，,可通過(guò)解方程組加初始條件求 也可通過(guò)拉氏變換求解。,介紹負(fù)指數(shù)分布的無(wú)記憶性。,應(yīng)用舉例：一般步驟：,1.寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,(1) 定義系統(tǒng)狀態(tài),要保證所定義的狀態(tài)是能區(qū)分系統(tǒng)的的各種不同狀態(tài)，,如：系統(tǒng)工作（1），系統(tǒng)故障（0）. e0，1。,（2）定義隨機(jī)過(guò)程，,2 求轉(zhuǎn)移速率矩陣,1. (1) 1表示系統(tǒng)在工作，0表示系統(tǒng)故障.e0,1,

3、分布特點(diǎn)，負(fù)指數(shù)分布無(wú)記憶性，知它是馬氏過(guò)程。,(3) 馬氏過(guò)程曲線圖 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,系統(tǒng)工作1，系統(tǒng)故障0。,獨(dú)立性 機(jī)器的各次運(yùn)轉(zhuǎn)期相互獨(dú)立， 各次修復(fù)時(shí)間也相互獨(dú)立，,故障工作,每一行之和等于1,2. 求速率函數(shù)。,速率矩陣,每行之和0,四個(gè)方程組，可求出其中兩個(gè)，問(wèn)題可解,求解 柯?tīng)柲缏宸蛳蚯胺匠?代入上面甲式,可以得到,可以用拉氏變換求解,將系數(shù)代入各項(xiàng)，且寫成部分分式形式,4.求過(guò)程在時(shí)刻t的狀態(tài)概率分布。,例3 目的：考察一個(gè)服務(wù)窗口前顧客排隊(duì)的情況。,第一步：定義x(t)，寫出p(t),負(fù)指數(shù)分布函數(shù),第二步 求q速率矩陣,注意：q每行之和是0,速率矩陣為,3.柯?tīng)栍⒏缏宸蛳蚯?/p>

4、方程 見(jiàn)書p212,4.求p（t）？,2. 當(dāng)馬氏過(guò)程有遍歷性時(shí),四. 獨(dú)立增量過(guò)程 p215,是m1個(gè)相互獨(dú)立的r.v.， 那么稱x(t)是獨(dú)立增量過(guò)程,注：此定義并不要求過(guò)程的狀態(tài)是離散的。,如：關(guān)于電話交換站的例子。 x（t）是平穩(wěn)獨(dú)立的增量過(guò)程。,2 2. 定理：若 x(t)，t0，+) 是狀態(tài)離散的平穩(wěn) 獨(dú)立增量過(guò)程，則它是時(shí)齊馬氏過(guò)程。 證明：見(jiàn)p215。,4 泊松過(guò)程及其性質(zhì),一、 概念 p206 例1.是以電話呼叫過(guò)程為例建立poisson 過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。,（1）x(0)=0,(2) x(t)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；,2poisson過(guò)程的數(shù)學(xué)模型, 普通性：在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)

5、來(lái)到的呼叫數(shù) 最多只有一次。,3.推證方法： 推證法一： 書 p206 例1 推證法二： 介紹,以上兩個(gè)公式刻劃了泊松過(guò)程。,(1) 用laplace 變換求解泊松方程。,3兩個(gè)定義是等價(jià)的 p217 定理1 證明,以上兩種定義中的條件是（1）是相同的， 只是條件（2）不同。,定義一是從宏觀上給出增量的概率分布，,實(shí)用上，經(jīng)驗(yàn)證滿足上述模型的四個(gè)條件， 可用泊松過(guò)程來(lái)描述。,獨(dú)立的泊松過(guò)程之和仍是泊松過(guò)程，此結(jié)論可以直接用。,四計(jì)數(shù)過(guò)程與泊松過(guò)程,1定義三,由定義出發(fā)，可知任一計(jì)數(shù)過(guò)程應(yīng)滿足下列條件：,(1) n(t)是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，,p218直觀看法,p219 定理證明,3. poisson過(guò)程的到達(dá)時(shí)間與點(diǎn)間間隔分布,五泊松過(guò)程與均勻分布的關(guān)