角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒

1、1,5 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,5.1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 角動(dòng)量定理,定義:,- 質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量 或 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩,大?。?方向：垂直 組成的平面,質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑為 的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量,5.1.1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,只有動(dòng)量橫向分量具有角動(dòng)量，說明角動(dòng)量是描述旋轉(zhuǎn)強(qiáng)弱的物理量,例：自由下落質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,任意時(shí)刻 t， 有,（1） 對(duì) A 點(diǎn)的角動(dòng)量,（2） 對(duì) O 點(diǎn)的角動(dòng)量,5,: 力臂,剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn) 作用在點(diǎn) P , P 的徑矢 .,對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩,一 力矩,5.1.2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,6,剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩,O,（一對(duì)內(nèi)力）,互相抵消,7,2）合

2、力矩等于各分力矩的矢量和,其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力 矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩,8,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)所受的合外力矩 等于它對(duì)該點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率,二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,或,沖量矩,對(duì)同一參考點(diǎn)O,質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。,9,5.1.3、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用,則,或,若對(duì)某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩為零, 則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變。,若,質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)中，對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量是否守恒？,例：,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,10,證明關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的開普勒定律: 任一行星和太陽之間的聯(lián)線, 在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積 相等, 即掠面速度不變.,1)行星對(duì)太陽O的角動(dòng)量的大小為

3、,其中,是徑矢 r 與行星的動(dòng)量 p 或速度 v 之間的夾角.,表示,時(shí)間內(nèi)行星所走過的弧長(zhǎng), 則有,若用,表示從O到速度矢量 v 的垂直距離, 則有,用,證明,11,其中 d /dt 稱為掠面速度.,由于萬有引力是有心力, 它對(duì)力心O的力矩總是等于零, 所以角動(dòng)量守恒, L=常量, 行星作平面運(yùn)動(dòng), 而且,這就證明了掠面速度不變, 也就是開普勒第二定律.,(2) 角動(dòng)量守恒說明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu),天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu),5.2 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量,5.2.1、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量 選原點(diǎn) O,0,C質(zhì)心,以上兩式先后代入前式,質(zhì)心相對(duì)于 c 的位矢=0,質(zhì)心在 c,自旋角動(dòng)量 也叫固有角動(dòng)量,例,地球

4、繞太陽轉(zhuǎn) . 電子繞原子核轉(zhuǎn),軌道角動(dòng)量,分離出系統(tǒng); 代表系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn), 代表系統(tǒng)外的質(zhì)點(diǎn).,0,質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理,對(duì)應(yīng),5.2.2、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理,5.2.3、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律;,討論; 1)不要求系統(tǒng)孤立,只要求 2)矢量式有3個(gè)分量式,即 的某個(gè)分量=0,則相應(yīng)角動(dòng)量的分量守恒 3) 系統(tǒng)守恒條件;,17,當(dāng)木塊靜止于A 處時(shí), 彈簧保持原長(zhǎng), 設(shè)一質(zhì)量為 m 的子彈以初速 v0 水平射向 M 并嵌在木塊中. 當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到 B (OBOA)時(shí), 彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng).,求木塊在B點(diǎn)的速度 vB 的大小和方向.,解:,m和M相撞時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)量守恒,例. 光滑水平桌面上放著一質(zhì)量為M

5、的木塊, 木塊與一原長(zhǎng)為L(zhǎng)0, 勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連, 彈簧另一端固定于O點(diǎn).,18,解:,AB, 只有彈力作功, 機(jī)械能守恒,AB, 彈力對(duì)O點(diǎn)的力矩為零, 對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量守恒,5-3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),A,B,A,B,B”,A”,1.平動(dòng):,在運(yùn)動(dòng)過程中若剛體上的任意一條直線在各個(gè)時(shí)刻的位置都相互平行,任意質(zhì)元運(yùn)動(dòng)都代表整體運(yùn)動(dòng),2. 轉(zhuǎn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體所有質(zhì)元都繞一固定直線做圓周運(yùn)動(dòng), 該固定直線稱為剛體定軸, 這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng) 只研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),5.3.1 剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng),5.3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述,1) 角位移 : 在 t 時(shí)間內(nèi)

6、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度,2)角速度 :,3)角加速度 :,z,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角速度,的方向按右手螺旋法則確定,切向分量,法向分量,z,O,4. 線量與角量關(guān)系,勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒,5.4.1 對(duì)定軸的力矩和角動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理,Z軸分量,質(zhì)元,對(duì)O點(diǎn)的力矩,（垂直z軸）,（垂直z軸）,5.4.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒,角動(dòng)量定理,1 質(zhì)點(diǎn),由,微分式,積分式,2 質(zhì)點(diǎn)系,由,微分式,積分式,3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,積分,這里,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量守恒,25,5.5.1 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,2）剛體,質(zhì)量元受外力 ，內(nèi)力,1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛

7、性連接,外力矩,內(nèi)力矩,5.5 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能,26,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比 ，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比 .,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,其中,27,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義:,1. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度,2. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量有關(guān),3. J 在質(zhì)量一定的情況下與質(zhì)量的分布有關(guān),4. J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān),5.5.2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布剛體,線分布,面分布,體分布,轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法：,質(zhì)量離散分布剛體,28,例: 一均勻細(xì)棒長(zhǎng) l 質(zhì)量為 m,1) 軸 Z1 過棒的中心且垂直于棒,2) 軸 Z2 過棒一端且垂直于棒,求: 上述兩種情況下的轉(zhuǎn)動(dòng)

8、慣量,o,Z 1,解: 棒質(zhì)量的線密度,所以只有指出剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才有意義,l,29,例:,勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 如下圖:,解:,圓盤半徑為 R,總質(zhì)量為 m .,設(shè)質(zhì)量面密度,例:,勻質(zhì)圓環(huán)半徑為 R,總質(zhì)量為 m,求繞垂直于環(huán)面通過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 如下圖:,Z,R,dm,解:,z,R,r,dr,dm,dS,m,例 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為,其體積：,其質(zhì)量：,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,Z,均勻圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,均勻圓環(huán)繞垂直于圓面通過圓心的軸,均勻球繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,均勻薄球殼繞

9、直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,均勻圓盤繞垂直于盤面且通過中心的軸,3) 有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的幾個(gè)定理, 平行軸定理,z,h,式中:,是通過 質(zhì)心 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,m 是剛體質(zhì)量, h 是 c 到 z 的距離,是平行于通過質(zhì)心軸的一個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 垂直軸定理,0,對(duì)于薄板剛體,C,薄板剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,與對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,之和, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加, 如圖,z,式中:,是A球?qū)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是B棒對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是C球?qū)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 回轉(zhuǎn)半徑,任意剛體的回轉(zhuǎn)半徑,式中: J 是剛體關(guān)于某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,m 是剛體的質(zhì)量,B,例:,G 不是質(zhì)心,C,G,平行軸定理證明： 1

10、）薄板,質(zhì)心的位矢,質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)心,2）任意體；證明方法相同，但要利用,35,已知：,勻質(zhì)桿M,子彈m,水平速度,求：,射入不復(fù)出,解：,對(duì)M m系統(tǒng),系統(tǒng)角動(dòng)量守恒,勻質(zhì)桿的質(zhì)心速度,設(shè)桿長(zhǎng)為,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,對(duì)否？,O,M,m,c,36,37,例3：一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為2L, 質(zhì)量為m,以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度V0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí),與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰橦,碰橦點(diǎn)位于棒中心的一方(1/2)L處,如圖所示,求棒在碰橦后的瞬間繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.,解： 碰橦前瞬間,桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為,式中為桿的線密度,碰橦后瞬間,桿對(duì) O點(diǎn)的角動(dòng)量為,碰橦前后角動(dòng)量守恒,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用,

11、已知：,滑輪M（看成勻質(zhì)圓盤）半徑R,物體 m1 m2,求：,a =?,a,m1g,m2g,T,解：,對(duì)否？,T1,T2,T,否則滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而物體加速運(yùn)動(dòng),T1,T2,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,線量與角量關(guān)系,M,1.,已知：,2.,勻質(zhì)桿m,長(zhǎng),下落到時(shí),求：,解：,C,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,例： 如圖，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l 的均勻直棒用輕繩懸掛起來，棒靜止不動(dòng)?，F(xiàn)突然把其中的一根繩子剪斷，求剪斷瞬間，另一根繩子中的張力。,解:,例：用輕質(zhì)細(xì)繩將小球P拴于鉛直細(xì)桿AB上的B點(diǎn)。給小球以初速度v0，v0的方向垂直于AB平面，小球運(yùn)動(dòng)使細(xì)線逐漸纏繞于AB桿上。初始時(shí)，小球與桿的距離為q0，求距離

12、為q1時(shí)小球的速率。,解：,Z 軸方向上角動(dòng)量守恒,例）質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心 的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺(tái)原來都靜止。如果人沿臺(tái)邊緣奔跑一周，求對(duì)地而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少角度？,已知：,求：,解：以M。m為研究對(duì)象,故角動(dòng)量守恒,以地面為參照，建立軸的正方向如圖：,M,m,因人和臺(tái)原來都靜止 故角動(dòng)量（初始時(shí)刻）,（2）式dt積分：,M,m,若人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度分別為,M,m,A,A,m,例：質(zhì)量為M，半徑為 R 的水平均勻圓盤，可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上有一質(zhì)量為m的昆蟲。,解:,(1) 角動(dòng)量守恒,(1)初始時(shí)，昆蟲與盤均靜止，問昆蟲沿盤的

13、邊緣爬動(dòng)一周時(shí)，盤相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度有多大？,(2)初始時(shí)，昆蟲位于盤中心，盤以角速度w0轉(zhuǎn)動(dòng),昆蟲沿盤的一條直徑以恒定的速率u向盤的邊緣爬去，問昆蟲爬到盤的邊緣時(shí)，盤相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度有多大,(2),例：長(zhǎng)為l 的均勻細(xì)桿。當(dāng)桿靜止于水平位置時(shí), 有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處, 并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m. 問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?,解:,由角動(dòng)量定理,例4 M 由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的N 彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為 ,蹺板可繞C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)

14、動(dòng),人的質(zhì)量均為m.假定M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問N可彈起多高?,解 碰撞前 M 落在 A點(diǎn)的速度,碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度,把M、N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng), 角動(dòng)量守恒,解得,演員 N 以 u 起跳, 達(dá)到的高度,陀螺儀,若轉(zhuǎn)子稍不對(duì)稱, 就會(huì)對(duì)各個(gè)支撐軸產(chǎn)生巨大的作用力使其損壞, 所以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子精度要高.,應(yīng)用: 航海、航空、導(dǎo)彈和火箭等系統(tǒng)的定向、導(dǎo)航和自動(dòng)駕駛等.它們的轉(zhuǎn)子速度達(dá)萬轉(zhuǎn)每分;,常平架陀 螺 儀,角動(dòng)量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保持不變,因而產(chǎn)生了季節(jié)變化.,、直升飛機(jī)后面的螺旋漿,雙漿直升飛機(jī),被 中 香 爐,慣性導(dǎo)航儀（陀螺）,角動(dòng)量守恒定

15、律在技術(shù)中的應(yīng)用,應(yīng)用: 航海、航空、導(dǎo)彈和火箭等系統(tǒng)的定向、導(dǎo)航和自動(dòng)駕駛 等. 它們的轉(zhuǎn)子速度達(dá)萬轉(zhuǎn)每分;,若轉(zhuǎn)子稍不對(duì)稱, 就會(huì)對(duì)各個(gè)支撐軸產(chǎn)生巨大的作用力使其損壞, 所以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子精度要高.,55,力矩的功,一 力矩作功,二 力矩的功率,5.5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能,56,三 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,四 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的 增量 .,57,五. 剛體的重力勢(shì)能,剛體的重力勢(shì)能就是它的各質(zhì)元重力勢(shì)能之和。,根據(jù)質(zhì)心定義，剛體質(zhì)心的高度應(yīng)為,所以剛體勢(shì)能寫成,一個(gè)不太大剛體的重力勢(shì)能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)具有的勢(shì)能一樣。,六. 機(jī)械能守恒定律,

16、對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，只有保守力做功時(shí)，機(jī)械能 保持不變。,即,58,應(yīng)該：,【答】,59,應(yīng)該,【答】,60,第3題. 兩個(gè)同樣重的小孩，各抓著跨過滑輪的輕繩的一端如圖，他們起初都不動(dòng)，然后右邊的小孩用力向上爬繩，另一個(gè)小孩仍抓住繩子不動(dòng)。忽略滑輪的質(zhì)量和軸的摩擦。問：哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪？,設(shè)滑輪半徑為R，兩小孩 的質(zhì)量分別為m1、m2，,【解】,把小孩看成質(zhì)點(diǎn)， 以滑輪中心為“固定點(diǎn)”，,m1= m2,61,對(duì)“m1+m2 + 輕繩 + 滑輪”系統(tǒng)：,外力：,條件：,所以角動(dòng)量守恒,設(shè)兩小孩分別以 速度上升。,設(shè)角動(dòng)量以指向紙內(nèi)為正。,（指向紙內(nèi)）,（指向紙外）,62,系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒：,爬

17、與不爬，兩小孩同時(shí)到達(dá)滑輪！,有人說該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，對(duì)不對(duì)？,有人說該系統(tǒng)動(dòng)量守恒，對(duì)不對(duì)？,思考：,（啟動(dòng)前）,（啟動(dòng)后）,不對(duì)。,不對(duì)。,63,系統(tǒng)所受的合外力矩為,由角動(dòng)量定理,初始時(shí)小孩未動(dòng)， 。,系統(tǒng)總角動(dòng)量,若,有,輕的升得快；,以向紙內(nèi)為正,輕的升得快。,則,64,當(dāng)較輕的人爬到滑輪處，較重的人離滑輪還有多高 的距離？,若開始時(shí)離滑輪的距離均為 h 。,設(shè) m : 較輕人的質(zhì)量， m+M : 較重人的質(zhì)量。,由牛頓第二定律，得,整理得,65,對(duì) t 積分,再對(duì) t 積分,解得,即是較重的人離滑輪的距離。,一）何謂進(jìn)動(dòng)（旋進(jìn)）,陀螺的運(yùn)動(dòng),進(jìn)動(dòng)演示儀的運(yùn)動(dòng),G遠(yuǎn)離O點(diǎn)，從頂部看順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),G靠近O點(diǎn)，從頂部看逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),進(jìn)動(dòng)（旋進(jìn)）,二）進(jìn)動(dòng)（旋進(jìn)）的解釋,結(jié)論：1）旋進(jìn)的角速度的大小,2）旋進(jìn)的角速度的方向滿足,利用質(zhì)點(diǎn)系對(duì) 固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理,在陀螺的自轉(zhuǎn)軸有一傾角時(shí),陀螺受的重力 產(chǎn)生的對(duì)o點(diǎn)的力矩為,（方向向里）,的方向也向里,并且在水平面內(nèi),如圖。,如連續(xù)畫下去，可以看 到角動(dòng)量矢量的端點(diǎn)， 繞豎直軸作圓周運(yùn)動(dòng)， 這就表現(xiàn)出進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象。,所以，進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象正是自旋 的物體在外力矩的作用下 沿外力矩方向改變其角動(dòng)量矢量的結(jié)果。,計(jì)算進(jìn)動(dòng)的角速度：,設(shè)角動(dòng)量矢量的 端點(diǎn) dt 時(shí)間內(nèi)、 在