利用基本不等式求最值

1、利用基本不等式求最值,授課教師：劉炳勛,1了解基本不等式的證明過程 2會用基本不等式解決簡單的最值問題,考綱要求,一.知識梳理,注意：各項皆為正數(shù)； 和為定值或積為定值； 注意等號成立的條件.,一“正”， 二“定”， 三“相等”.,4、利用基本不等式求最大值、最小值問題,知識梳理,二.典例分析,題型一:拼湊法求最值,典例分析,典例分析,典例分析,典例分析,思考,思考,思考,題型二:換元法求最值,典例分析,思考,思考,例1:（1）已知 且 ，求 的最小值. （2）已知正數(shù) 滿足 ，求 的最小值.,題型三：常數(shù)代換法求最值,典例分析,例2：當(dāng) 時，求 的最小值.,典例分析,正解:,一正,二定,三相

2、等,三、錯題辨析,解法是否正確？,注意:各項必須為正,閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的地方。,錯題辨析,錯題辨析,正解：,當(dāng)且僅當(dāng),即:,時取“=”號,即此時,錯題辨析,錯題辨析,例4：求函數(shù) 的最小值.,解法是否正確？,錯題辨析,正解:,例4：求函數(shù) 的最小值.,錯題辨析,當(dāng)且僅當(dāng) 時取得最大值,四.求參數(shù)的取值范圍,五.實際應(yīng)用,實際應(yīng)用,實際應(yīng)用,六.拓展延伸,拓展延伸,拓展延伸,拓展延伸,1.(2017山東高考)若直線 (a0,b0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為.,七.高考再現(xiàn),2.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,則2a+的最小值為

3、.,高考再現(xiàn),高考再現(xiàn),3.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0, 則 的最小值為 .,解析：a4+4b42a22b2=4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時“=”成立), =4ab+ , 由于ab0, 4ab+ 2 =4 當(dāng)且僅當(dāng)4ab = 時“=”成立, 故當(dāng)且僅當(dāng) 時, 的最小值為4.,4.（2017全國卷）已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為() A16 B14 C12 D10,高考再現(xiàn),解析： 根據(jù)題意可知直線l1，l2的斜率存在且不為零，拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為

4、(1，0)，設(shè)直線l1的方程為yk(x1)，代入拋物線方程得，k2x2(2k24)xk20， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ， 根據(jù)拋物線定義得|AF|x11，|BF|x21， 所以|AB|AF|BF|x1x224 . 因為l2l1，所以用 代替k，得|DE|44k2， 所以|AB|DE|8 842 16， 當(dāng)且僅當(dāng)k1時，等號成立， 故所求的最小值為16.,5.(2018江蘇,13,5分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ABC=120,ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.,解析依題意畫出圖形,如圖所示. 易知SABD+SBCD=SABC

5、, 即csin 60+asin 60=acsin 120, a+c=ac,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,c=3時取“=”.,高考再現(xiàn),一題多解1作DECB交AB于E,BD為ABC的平分線, =, DECB,=, =,=. =+.=, 1=+2|,1=,ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,c=3時取“=”.,高考再現(xiàn),一題多解2以B為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則D(1,0).AB=c,BC=a,A,C. A,D,C三點(diǎn)共線, +c=0, ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,當(dāng)

6、且僅當(dāng)=,即a=,c=3時取“=”.,高考再現(xiàn),6.（2018全國卷）已知函數(shù) ，則 的最小值是 .,高考再現(xiàn),7.(2017江蘇,10,5分)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,則x的值是.,解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用. 設(shè)總費(fèi)用為y萬元,則y= 6+4x=4 240. 當(dāng)且僅當(dāng)x = ,即x=30時,等號成立.,高考再現(xiàn),高考再現(xiàn),8.（2014新課標(biāo)全國卷）已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E： 的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)求E的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)A的動

7、直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時，求l的方程,解析：(1)設(shè)F(c，0)，由條件知， ，得c . 又 ，所以a2，b2a2c21. 故E的方程為 .,高考再現(xiàn),(2)當(dāng)lx軸時不合題意，故可設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 將ykx2代入 得(14k2)x216kx120， 當(dāng)16(4k23)0，即k2 時， ， 從而|PQ|x1x2| . 又點(diǎn)O到直線l的距離 . 所以O(shè)PQ的面積 . 設(shè) ，則t0， . 因為 ，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即 時等號成立，滿足0， 所以，當(dāng)OPQ的面積最大時， ， l的方程為 或 .,七.鞏固練習(xí),1、下列函數(shù)中，最小值為4的是_. ,鞏固練習(xí),九、作業(yè),作業(yè),5、已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為.,6、設(shè)a0,b0,且不等式 0恒成立,則實數(shù)k的最小值等于.,解法二:(利用均值不等式性質(zhì)),解析:,解法一：,作業(yè)解析,作業(yè)解析,作業(yè)解析,作業(yè)解析,