均值不等式的應(yīng)用(習(xí)題+答案)

1、均值不等式應(yīng)用一均值不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式

2、、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解：（1）y3x 22 值域為，+） （2）當(dāng)x0時，yx22；當(dāng)x0時， yx= （ x）2=2值域為（，22，+）解題技巧：技巧一：湊項例1：已知，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊項，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)

3、即可。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。技巧三： 分離例3. 求的值域。解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒

4、正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實數(shù)滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是6變式：若，求的最小值.

5、并求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx

6、 x下面將x，分別看成兩個因式：x 即xx 技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u3

7、00， 5u3 3，ab18，y點評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)w的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。w0，w23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 w2 變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號。 故。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b