第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的意義,前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。但在一些實(shí)際問題中，不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù)。例如，在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；又如在研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)；再如檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)

2、變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義。下面將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩,1 數(shù)學(xué)期望,例：有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出： 甲射手,乙射手,試問哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？,解：設(shè)兩個(gè)選手各射N槍，則有 甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N 乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N 平均甲射中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些。,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布率為,若級(jí)數(shù),絕對(duì)收斂，則稱,變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為E(X)。即,的和為隨機(jī),例1：求二項(xiàng)分

3、布 的數(shù)學(xué)期望。,例2：求泊松分布 的數(shù)學(xué)期望。,例3：隨機(jī)變量X取值 求數(shù)學(xué)期望。,習(xí)題1. (1)在下列句子中隨機(jī)地取一單詞,以X表示所取的單所含的字母個(gè)數(shù),寫出X的分布律,并求E(X). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2)在上述句子的30個(gè)字母中隨機(jī)地取一字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數(shù),寫出Y的分布律,并求E(Y).,解:(1)依題意,X的所有可能取值為: 2, 3, 4, 9; 且有: PX=2=1/8, PX=3=5/8, PX=4=1/8, PX=9=1/8 因此,X的分布律為:,E(X)=2*1/8+3*5/8+

4、4*1/8+9*1/8=15/4,習(xí)題1. (1)在下列句子中隨機(jī)地取一單詞,以X表示所取的單所含的字母個(gè)數(shù),寫出X的分布律,并求E(X). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2)在上述句子的30個(gè)字母中隨機(jī)地取一字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數(shù),寫出Y的分布律,并求E(Y).,解:(2)依題意,Y的所有可能取值為: 2, 3, 4, 9; 且有: Y=2時(shí),所可能取到的單詞是:ON, 則PY=2=2/30 Y=3時(shí),所可能取到的單詞是:THE, PUT, HER, RED,HAT, 則PY=3=15/30 Y=4時(shí),所可能取到的單

5、詞是:GIRL, 則PY=4=4/30 Y=9時(shí),所可能取到的單詞是:BEAUTIFUL, 則PY=9=9/30,因此,Y的分布律為:,E(Y)=2*2/30+3*15/30+4*4/30+9*9/30=73/15,習(xí)題4:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 j=1,2,證明: 由于級(jí)數(shù),由數(shù)學(xué)期望的定義知, X的數(shù)學(xué)期望不存在.,說明X的數(shù)學(xué)期望不存在.,是發(fā)散的,故級(jí)數(shù),不絕對(duì)收斂.,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,的值為隨機(jī)變量X的,定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分,絕對(duì)收斂,則稱積分,數(shù)學(xué)期望（或均值），記為E(X)。即,例5：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(m,2),求數(shù)學(xué)期望。,例6：

6、隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布 求數(shù)學(xué)期望。,例7：設(shè)XU(a,b),求E(X)。,例8：由兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為 若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命（以小時(shí)計(jì)）N的數(shù)學(xué)期望。,隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望,定理的意義:求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望,可以不用求Y的分布(或概率密度),只需利用X的分布律(或概率密度)就可以了.,上述定理可推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的情況,設(shè)Z是隨機(jī)變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y) (g是連續(xù)函數(shù)), 那么, Z是一個(gè)一維隨機(jī)變量. 若二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),則有:

7、,若(X,Y)為離散型二維隨機(jī)變量,其分布律為: PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,3, 則有:,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明,數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明,數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明,數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的性質(zhì),練習(xí)一 一個(gè)有n把鑰匙的人要開他的門，它隨機(jī)而獨(dú)立地試開，若其中只有一把能開門，若將試開不成功的鑰匙立即除去；求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。,2 方差,例：有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出： 甲射手,乙射手,試問哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？誰的技術(shù)穩(wěn)定些?,解：設(shè)兩個(gè)選手各射N槍，則有 甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N 乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N 平均甲射

8、中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些。 問：那個(gè)射手技術(shù)穩(wěn)定些？顯然乙射手的技術(shù)穩(wěn)定些。衡量技術(shù)穩(wěn)定性，可以考慮用隨機(jī)變量與其均值的偏離程度，如 E|X-E(X)| 或 EX-E(X)2,方差,隨機(jī)變量X的方差與數(shù)學(xué)期望有如下關(guān)系： D(X)=E(X2)-E(X)2,方法二:,令,方差的性質(zhì),方差性質(zhì)的證明,方差性質(zhì)的證明,方差性質(zhì)的證明,方差性質(zhì)的證明,方差的性質(zhì),若,且它們互相獨(dú)立,那么,它們的線性組合,(其中,不全為零), 仍服從正態(tài)分布,且,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式的證明,注意切比雪夫不等式可以使我們?cè)陔S機(jī)變量X的分布未知的情況下，對(duì)事件|X-|的概率做出估計(jì)。應(yīng)用切

9、比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。,例:設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布. 隨機(jī)變量,則方差D(Y)=?,解:,所以:,3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),對(duì)于二維隨機(jī)變量,除了討論變量X與Y的數(shù)學(xué)期望及方差外,還需要討論描述X與Y這間相互關(guān)系的數(shù)字特征.,也就是說,當(dāng) 時(shí),X與Y不相互獨(dú)立,即:可能存在某種關(guān)系.,當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí),有:,協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),協(xié)方差的性質(zhì),協(xié)方差性質(zhì)的證明,最小二乘法,最小二乘法,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),相關(guān)系數(shù)性質(zhì)的證明,相關(guān)系數(shù)性質(zhì)的證明,相關(guān)系數(shù)性質(zhì)的證明,X與Y不相關(guān)但也不獨(dú)立的例子,獨(dú)立 不相關(guān) 不相關(guān) 獨(dú)立,習(xí)題24 設(shè)二維隨機(jī)變

10、量(X,Y)的概率密度為:,試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨(dú)立的.,分析: 要說明X和Y不是相互獨(dú)立,就是要證明 f(x,y)fX(x)fY(y),由相關(guān)系數(shù)的定義,要驗(yàn)證X和Y不相關(guān),就是要驗(yàn)證,解: 關(guān)于X的邊緣概率密度為:,關(guān)于Y的邊緣概率密度為:,顯然, f(x,y)fX(x)fY(y), 因此X和Y不是相互獨(dú)立的.,下面計(jì)算E(X), E(Y), E(XY), D(X), D(Y),下面計(jì)算E(X), E(Y), E(XY), D(X), D(Y),同理,故 D(X)0, D(Y)0, X和Y的相關(guān)系數(shù)為:,因此, X和Y是不相關(guān)的.,習(xí)題29 設(shè)XN(m,s2), YN(m,s2), 且設(shè)X,Y互相獨(dú)立,試求Z1=aX+bY和Z