§6 伴隨矩陣及習題.ppt

1、 6伴隨矩陣及相應習題,伴隨矩陣,設n階方陣,由方陣 中元素 的代數(shù)余子式,伴隨矩陣,按轉置方式排成的 階方陣，稱為方陣 的伴隨矩陣，記作,定理 階方陣 可逆的充分必要條件是 并且當 可逆時， 的逆矩陣可表示為,其中， 是 的伴隨矩陣,上述定理不僅說明了方陣可逆的條件，而且在方陣可逆的情況下，給出了應用伴隨矩陣求逆矩陣的方法,練習 求矩陣 使?jié)M足,其中,解：若 存在，則用 左乘上式， 右乘上式，有,即,可解得 ， ，故知 都可逆且,得,所以,同樣可得出,于是,矩陣習題,主要內容,二. 典型例題,三. 測驗題,一. 主要內容,1. 矩陣的定義,簡記為,實矩陣: 元素是實數(shù),復矩陣： 元素是復數(shù),

2、一些特殊的矩陣：,零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、 對角陣、數(shù)量陣、單位陣,2. 矩陣的基本運算,矩陣相等:,同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等,兩個矩陣同型，且對應元素相等,矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應元素相加（減）,加法滿足,數(shù)乘滿足,數(shù)與矩陣相乘：,數(shù) 與矩陣 的乘積記作 或 ，規(guī)定為,矩陣與矩陣相乘：,設,規(guī)定,其中,乘法滿足,矩陣乘法不滿足：交換律、消去律,A是n 階方陣，,方陣的冪：,方陣的多項式：,方陣的行列式：,滿足:,轉置矩陣:,把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做 的轉置矩陣，記作 .,滿足：,對稱矩陣和反對稱矩陣：,冪等矩陣： 為n階方陣，且,伴隨矩陣

3、：,行列式 的各個元素的代數(shù)余子式 所 構成的如下矩陣,3. 逆矩陣,定義：,唯一性： 若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.,判定定理:,n階方陣A可逆,且,推論：,設A、B為同階方陣，若,則A、B都可逆，且,滿足規(guī)律：,逆矩陣求法：,（1）待定系數(shù)法 （2）伴隨矩陣法 （3）初等變換法,分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似,4. 分塊矩陣,5. 初等變換,對換變換、倍乘變換、倍加變換,三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的 初等變換,初等矩陣： 由單位矩陣E經過一次初等變換得到的方陣 稱為初等矩陣.,三種初等變換對應著三種初等方陣：,初等對換矩陣、初等倍乘矩陣、初等倍加矩陣

4、,6. 初等矩陣,初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。,7. 初等矩陣與初等變換的關系：,初等變換,初等矩陣,初等逆變換,初等逆矩陣,定理：,8. 用初等變換法求矩陣的逆矩陣,可逆矩陣可以經過若干次初等行變換化為單位矩陣.,定理：,可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積,推論1：,推論2：,如果對可逆矩陣 和同階單位矩陣 作同樣的初等,行變換，那么當 變成單位矩陣 時， 就變成 。,即，,9. 解矩陣方程的初等變換法,或者,矩陣的基本運算 方陣的冪 逆矩陣的求解、證明 矩陣方程 矩陣的分塊運算,二. 典型例題,1. 矩陣的基本運算,分析：根據乘法定義及矩陣相等定義求,解：設所求矩陣為,由,得,其中a，b為實數(shù),例2：設,分析：直接計算困難，可利用逆矩陣的定義先化簡再計算,解：,分析：根據矩陣加法定義及行列式性質求,解：,2. 方陣的冪,解： （遞推法）,所以，當 時,當 時,解：,又,3. 逆矩陣的求解、證明,例6:求A的逆矩陣,解：,注意:用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換,4. 矩陣方程,注意：解矩陣方程時，要注意已知矩陣與X的位置關系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩