2018版高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程學(xué)案 蘇教版選修2-1

1、26.2求曲線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個(gè)步驟.2.掌握求軌跡方程的幾種常用方法知識(shí)點(diǎn)一坐標(biāo)法和解析幾何借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)所滿足的方程f(x，y)0表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問題的方法就叫坐標(biāo)法用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的學(xué)科叫做解析幾何知識(shí)點(diǎn)二解析幾何研究的主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；(2)通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)三求曲線的方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，

2、y)；(3)列出符合條件P(M)的方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為最簡形式；(5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上思考(1)求曲線的方程的步驟是否可以省略？(2)求曲線的方程和求軌跡一樣嗎？答案(1)可以省略如果化簡前后方程的解集是相同的，可以省略步驟說明，如有特殊情況，可以適當(dāng)說明另外，也可以根據(jù)情況省略步驟“寫集合”，直接列出曲線方程(2)不一樣若是求軌跡則要先求出方程，再說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚題型一直接法求曲線方程例1動(dòng)點(diǎn)M與距離為2a的兩個(gè)定點(diǎn)A，B的連線的斜率之積等于，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程解如圖，以直線AB

3、為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(a,0)，B(a,0)設(shè)M(x，y)為軌跡上任意一點(diǎn)，則kMA，kMB(xa)kMAkMB，化簡得：x22y2a2(xa)點(diǎn)M的軌跡方程為x22y2a2(xa)反思與感悟直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M|p(M)直接翻譯成x，y的形式F(x，y)0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡為f(x，y)0.要注意軌跡上的點(diǎn)不能含有雜點(diǎn)，也不能少點(diǎn)，也就是說曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不能多，一個(gè)也不能少跟蹤訓(xùn)練1已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(1,0)，求滿足條件的點(diǎn)C的軌跡方程解如圖，設(shè)C(x，y

4、)， 則(x1，y)，(x1，y)C為直角，即0.(x1)(x1)y20.化簡得x2y21.A、B、C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，A、B、C三點(diǎn)不共線，y0.點(diǎn)C的軌跡方程為x2y21(y0)題型二定義法求曲線方程例2 已知圓C：(x1)2y21，過原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程解如圖，設(shè)OQ為過O點(diǎn)的一條弦，P(x，y)為其中點(diǎn)，則CPOQ，設(shè)M為OC的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為(，0) OPC90，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)M(，0)為圓心，OC為直徑的圓上，由圓的方程得(x)2y2(0x1)反思與感悟如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依據(jù)定義結(jié)合條件寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程利用定義法求軌跡方程要善于抓住

5、曲線的定義特征跟蹤訓(xùn)練2已知定長為6的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程解作出圖象如圖所示，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知OMAB3. 所以M的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓，故點(diǎn)M的軌跡方程為x2y29.題型三代入法求曲線方程例3已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在曲線x2y21上移動(dòng)，點(diǎn)M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，P為MB的中點(diǎn)，即又M在曲線x2y21上，(2x3)24y21.P點(diǎn)的軌跡方程為(2x3)24y21.反思與感悟代入法求軌跡方程就是利用所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與相關(guān)動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)坐標(biāo)間的關(guān)系式，且

6、Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可用所求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)表示相關(guān)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲線方程即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程跟蹤訓(xùn)練3已知ABC的兩頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(6,0)，頂點(diǎn)C在曲線yx23上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心的軌跡方程解設(shè)G(x，y)為ABC的重心，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則由重心坐標(biāo)公式，得所以因?yàn)轫旤c(diǎn)C(x，y)在曲線yx23上，所以3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21.故點(diǎn)M的軌跡方程為y3(x2)21. 求曲線方程忽略限制條件致錯(cuò) 例4直線l：yk(x5)(k0)與圓O：x2y216相

7、交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程錯(cuò)解設(shè)M(x，y)，易知直線恒過定點(diǎn)P(5,0)，再由OMMP，得OP2OM2MP2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.正解設(shè)M(x，y)，易知直線恒過定點(diǎn)P(5,0)，再由OMMP，得OP2OM2MP2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，所求的軌跡為圓內(nèi)的部分解方程組得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，故點(diǎn)M的軌跡方程為(x)2y2(0x)易錯(cuò)警示錯(cuò)誤原因糾錯(cuò)心得錯(cuò)解中未注意到點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故所求的軌跡應(yīng)為圓內(nèi)的部分，此時(shí)應(yīng)考慮0x0)y y(0x2)答案解析設(shè)M(x，y)，由MO2得，x2y24，又點(diǎn)M在第四象限，y(0x2)5設(shè)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且PA1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_答案(x1)2y22解析圓(x1)2y21的圓心為B(1,0)，半徑r1，則PB2PA2r2.PB22.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：(x1)2y22.1.坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不相同2一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不要設(shè)成(x1，y1)或(x，y)等3方程化簡到什么程度，課本上沒有給出