2018版高考數(shù)學(xué)專題1集合與函數(shù)1.2.8二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)--對稱性學(xué)案湘教版必修

1、1.2.8二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)對稱性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能說出奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義.2.會判斷具體函數(shù)的奇偶性.3.會分析二次函數(shù)圖象的對稱性.4.能求一個二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值知識鏈接函數(shù)yx的圖象關(guān)于原點對稱，yx2的圖象關(guān)于y軸對稱預(yù)習(xí)導(dǎo)引1函數(shù)的奇偶性(1)如果對一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(x)也有定義，并且F(x)F(x)成立，則稱F(x)為偶函數(shù)；(2)如果對一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(x)也有定義，并且F(x)F(x)成立，則稱F(x)為奇函數(shù)2二次函數(shù)圖象的對稱性(1)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象的對稱軸是直線x；(2)如果函數(shù)f(x)對任意的h都有f(sh)f(s

2、h)，那么f(x)的圖象關(guān)于直線xs對稱.要點一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)|x2|x2|；(3)f(x)x2；(4)f(x)；(5)f(x).解(1)函數(shù)定義域為R，且f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以該函數(shù)是奇函數(shù)；(2)函數(shù)定義域為R，且f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以該函數(shù)是偶函數(shù)；(3)函數(shù)定義域是x|x0，不關(guān)于原點對稱，因此它是非奇非偶函數(shù)；(4)函數(shù)定義域是x|x1，不關(guān)于原點對稱，因此它是非奇非偶函數(shù)；(5)要使函數(shù)有意義，需滿足解得x2，即函數(shù)的定義域是2，2，這時f(x)0.所以f(x)f

3、(x)，f(x)f(x)，因此該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)規(guī)律方法1.判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法：(1)定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，則應(yīng)進一步判斷f(x)是否等于f(x)，或判斷f(x)f(x)是否等于0，從而確定奇偶性注意當(dāng)解析式中含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論后再進行奇偶性的判定(2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)(3)還有如下性質(zhì)可判定函數(shù)奇偶性：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶

4、)函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注：利用以上結(jié)論時要注意各函數(shù)的定義域)2判斷函數(shù)奇偶性前，不宜盲目化簡函數(shù)解析式，若必須化簡，要在定義域的限制之下進行，否則很容易影響判斷，得到錯誤結(jié)果跟蹤演練1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)(x21).解(1)函數(shù)定義域為R，且f(x)f(x)故該函數(shù)是奇函數(shù)；(2)函數(shù)定義域為x|x1，關(guān)于原點對稱，且f(x)f(x)故f(x)是偶函數(shù)(3)函數(shù)定義域是x|x1，不關(guān)于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)要點二函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用例2(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x2x，則f(1)等于(

5、)A3B1C1D3(2)若函數(shù)f(x)x33xa是奇函數(shù)，則實數(shù)a_.答案(1)A(2)0解析(1)因為當(dāng)x0時，f(x)2x2x，所以f(1)2(1)2(1)3.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(1)f(1)3，選A.(2)方法一因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)對任意xR都成立，即x33xax33xa對任意xR都成立所以a0.方法二因為f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義必有f(0)0，即0330a0，解得a0.規(guī)律方法1.利用奇偶性求值時，主要根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系將未知轉(zhuǎn)化為已知求解，若需要借助解析式求值，代入自變量值時，該自變量值必須在該解析式對應(yīng)的區(qū)間上，否則不能代入求值，而應(yīng)

6、轉(zhuǎn)化2已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，求解析式中參數(shù)值時，通常有兩種方法：一是利用奇、偶函數(shù)的定義建立關(guān)于參數(shù)的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x0處有定義的奇函數(shù)，還可根據(jù)f(0)0求解跟蹤演練2(1)已知f(x)是偶函數(shù)，且f(4)5，那么f(4)f(4)的值為()A5B10C8D不確定(2)若函數(shù)y(x1)(xa)為偶函數(shù)，則a等于()A2B1C1D2答案(1)B(2)C解析(1)f(x)是偶函數(shù)，f(4)f(4)f(4)f(4)2f(4)2510.(2)f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)對任意xR都成立，即(x1)(xa)(x1)(xa)整理得2(a1)x0，xR，必有a10，即a1.要

7、點三二次函數(shù)的區(qū)間最值問題例3已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5用a表示出函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上的最值解函數(shù)f(x)x22ax2(xa)22a2的圖象開口向上，對稱軸為xa.當(dāng)a5，即a5時，函數(shù)在區(qū)間5,5上遞增，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；當(dāng)5a0，即0a5時，函數(shù)圖象如圖(1)所示由圖象可得f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a；當(dāng)0a5，即5a0時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，由圖象可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；當(dāng)a5，即a5時，函數(shù)在區(qū)間5,5上遞減，所以f(x)minf(5

8、)2710a，f(x)maxf(5)2710a.規(guī)律方法1.對于定義域為R的二次函數(shù)，其最值和值域可通過配方法求解2若求二次函數(shù)在某閉(或開)區(qū)間(非R)內(nèi)的最值或值域，則以對稱軸是否在該區(qū)間內(nèi)為依據(jù)分類討論：(1)若對稱軸不在所求區(qū)間內(nèi)，則可根據(jù)單調(diào)性求值域；(2)若對稱軸在所求區(qū)間內(nèi)，則最大值和最小值可在區(qū)間的兩個端點處或?qū)ΨQ軸處取得，比較三個數(shù)所對應(yīng)函數(shù)值的大小即可求出值域跟蹤演練3求函數(shù)f(x)x2mx6(m0)在區(qū)間0,2上的最大值解f(x)x2mx6(x)26，該函數(shù)曲線開口向下，對稱軸為直線x.(1)當(dāng)2，即m4時，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，其最大值為f(2)22m.(2)當(dāng)0

9、2，即4m0時，f(x)在0,2上的最大值為f()6.1下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Ay|x|By3xCyDyx24答案C解析A項和D項中的函數(shù)為偶函數(shù)，B項中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，選C.2對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出下列判斷：(1)若f(2)f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)若f(2)f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；(3)若f(2)f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)其中正確的判斷的個數(shù)是()A0B1C2D3答案B解析(1)僅有f(2)f(2)不足以確定函數(shù)的奇偶性，不滿足奇函數(shù)、偶函數(shù)定義中的“任意”，故(1)錯誤；(2)當(dāng)f(2)f(2)時，該函數(shù)就一定不是偶函數(shù)，故(2)正確

10、；(3)若f(2)f(2)，則不能確定函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)如若f(x)0，xR，則f(2)f(2)，但函數(shù)f(x)0，xR既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故(3)錯誤3函數(shù)y()A是奇函數(shù)B既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C是偶函數(shù)D是非奇非偶函數(shù)答案D解析函數(shù)定義域是x|x1，不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)，選D.4函數(shù)f(x)2x2x1在區(qū)間1,2上的值域是()A(， B7，4C7， D4，答案C解析由于f(x)2x2x12(x)2，而1,2，所以f(x)最大值是f()，最小值為f(2)7，故值域為7，故選C.5如果定義在區(qū)間3a,5上的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，那么a_.答案8解析f(x)為區(qū)間3a,5上的偶函

11、數(shù)，區(qū)間3a,5關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，3a5，即a8.1.在奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域中，都要求xD，xD，這就是說，一個函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域都一定關(guān)于坐標(biāo)原點對稱如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱，那么這個函數(shù)就失去了作為奇函數(shù)或偶函數(shù)的條件2解題中可以靈活運用f(x)f(x)0對奇偶性作出判斷3奇函數(shù)f(x)若在x0處有意義，則必有f(0)0.4奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特點反映了數(shù)和形的統(tǒng)一性5拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸是直線x，開口方向由a確定，和x軸的位置關(guān)系由判別式b24ac確定.一、基礎(chǔ)達標(biāo)1下列說法錯誤的個數(shù)為()圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象關(guān)于y軸對

12、稱的函數(shù)是偶函數(shù)；奇函數(shù)的圖象一定過原點；偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交A4B3C2D0答案C解析、由奇、偶函數(shù)的性質(zhì)知正確；對于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是奇函數(shù)，但它的圖象不過原點；對于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是偶函數(shù)，但它的圖象不與y軸相交2函數(shù)f(x)2x2mx3，當(dāng)x2，)時為增函數(shù)，當(dāng)x(，2時為減函數(shù)，則f(1)等于()A1B9C3D13答案D解析由已知得對稱軸x2，m8，f(1)2m35m13.3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(6)的值為()A1B0C1D2答案B解析f(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)0，又f(x2)f(x)，f(2)

13、f(0)0，又f(22)f(2)0，f(42)f(22)0，f(6)0.4若函數(shù)yx2(a2)x3，xa，b的圖象關(guān)于直線x1對稱，則b_.答案6解析由題意得1.a4.1，b6.5已知函數(shù)f(x)ax2bxc(2a3x1)是偶函數(shù)，則a_，b_.答案10解析f(x)是偶函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱，2a31，a1.f(x)x2bxc.f(x)f(x)，(x)2b(x)cx2bxc.bb，b0.6已知f(x)x22(a1)x2在區(qū)間x1,5上的最小值為f(5)，則a的取值范圍為_答案(，4解析由已知得對稱軸方程為x1a，區(qū)間x1,5上的最小值為f(5)，1a5，得a4.7判斷函數(shù)f(x)(x1)

14、的奇偶性解函數(shù)f(x)的定義域為x|1x1，不關(guān)于原點對稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)二、能力提升8若f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，則g(x)ax3bx2cx是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù)D既奇又偶函數(shù)答案A解析f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，b0，g(x)ax3cx，g(x)ax3cxg(x)，g(x)為奇函數(shù)9設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關(guān)于x的方程f(x)x的解的個數(shù)為()A1B2C3D4答案C解析f(4)f(0)，2，b4，又f(2)2，44(2)c2，c2，f(x)作圖(圖略)可知選C.10若f(x)ag(x)b，a為常數(shù)，g(x)為R上

15、的奇函數(shù)，且f(2)10，則f(2)_.答案2b10解析f(x)ag(x)b，f(x)ag(x)bag(x)b，得，f(x)f(x)2b，f(x)2bf(x)，f(2)2bf(2)2b10.11已知函數(shù)f(x)ax23a為偶函數(shù)，其定義域為a1,2a，求f(x)的最大值與最小值解f(x)ax23a為偶函數(shù)，定義域為a1,2a，a12a，a，f(x)x21，且定義域為，f(x)minf(0)1，f(x)maxf().函數(shù)的最大值為，最小值為1.三、探究與創(chuàng)新12如果函數(shù)f(x)x2bxc，對于任意實數(shù)t都有f(2t)f(2t)，比較f(1)、f(2)、f(4)的大小解由題意知，對任意實數(shù)t，有f(2t)f(2t)，即(2t)2b(2t)c(2t)2b(2t)c，化簡得(2b8)t0，2b80，b4，f(x)的對稱軸為x2，故f(1)f(3)f(x)在2，)上是遞增函數(shù)，f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)13求函數(shù)f(x)x22ax1在0,2上的最值解二次函數(shù)f(x