2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 第2課時學(xué)案 文 北師大版

1、第2課時直線與橢圓題型一直線與橢圓的位置關(guān)系1若直線ykx1與橢圓1總有公共點，則m的取值范圍是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案D解析方法一由于直線ykx1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則00且m5，m1且m5.2已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3m3時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同

2、的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點(2)當(dāng)0，即m3時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點(3)當(dāng)0，即m3時，方程沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解這時直線l與橢圓C沒有公共點思維升華 研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點題型二弦長及弦中點問題命題點1弦長問題典例 斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()

3、A2 B. C. D.答案C解析設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當(dāng)t0時，|AB|max.命題點2弦中點問題典例 已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以運用點差法，所以直線AB的斜率為k，設(shè)直線方程為y(x3)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因為a2b2

4、9，解得b29，a218.命題點3橢圓與向量等知識的綜合典例 (2017沈陽質(zhì)檢)已知橢圓C：1(ab0)，e，其中F是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓C交于點A，B，線段AB的中點橫坐標(biāo)為，且(其中1)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實數(shù)的值解(1)由橢圓的焦距為2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由，可知A，B，F(xiàn)三點共線，設(shè)點A(x1，y1)，點B(x2，y2)若直線ABx軸，則x1x21，不符合題意；當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)l的方程為yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判別式64k44(4k23)(4k212)

5、144(k21)0.x1x22，k2.將k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.思維升華 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單(2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率)(3)利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式跟蹤訓(xùn)練 (2018長春調(diào)研)已知橢圓1(ab0)的一個頂點為B(0，4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩

6、點(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.將4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長|MN|x2x1|.(2)橢圓右焦點F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，即故得x03，y02，即Q的坐標(biāo)為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y28

7、0.高考中求橢圓的離心率問題考點分析 離心率是橢圓的重要性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法典例1 已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點若|AF|BF|4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析設(shè)左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0

8、B，則四邊形AFBF0為平行四邊形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則M到直線l的距離d，1b2.離心率e ，故選A.答案A典例2 (12分)如圖，設(shè)橢圓方程為y21(a1)(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍規(guī)范解答解(1)設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，2分故x10，x2，因此|AM|x1x2|.4分(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|AQ|.記直線AP，AQ的

9、斜率分別為k1，k2，且k10，k20，k1k2.5分由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.7分由k1k2，k10，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因為式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1a，10分由e，得02，即b0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點坐標(biāo)是M(4,1)，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.答案C解析設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點差法可知yMxM，代入k1

10、，M(4，1)，解得，e，故選C.4已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|3，則C的方程為()A.y21 B.1C.1 D.1答案C解析設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則c1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，橢圓的方程為1.5從橢圓1(ab0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.答案C解析由題意可設(shè)P(c，y0

11、)(c為半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入橢圓方程得1，2，e.故選C.6已知橢圓E的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A. B.C. D.答案A解析由題意可知，F(xiàn)1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根據(jù)勾股定理得22(2c)2，離心率e.7設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使()0(O為坐標(biāo)原點)，則F1PF2的面積是()A4 B3 C2 D1答案D解析()()0，PF1PF2，F(xiàn)1PF290.設(shè)|PF1

12、|m，|PF2|n，則mn4，m2n212,2mn4，mn2，SF1PF2mn1.8橢圓：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率為_答案1解析直線y(xc)過點F1(c,0)，且傾斜角為60，所以MF1F260，從而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.9P為橢圓1上的任意一點，AB為圓C：(x1)2y21的任一條直徑，則的取值范圍是_答案3,15解析圓心C(1,0)為橢圓的右焦點，()()()()22|21，顯然|ac，ac2,4，

13、所以|213,1510已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點若|AB|BF2|AF2|345，則橢圓C的離心率為_答案11已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，其中左焦點為F(2,0)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2y21上，求m的值解(1)由題意，得解得橢圓C的方程為1.(2)設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2mc，又正方形ABCD的四個頂點都在橢圓1上，1e2，即e43e210，

14、e22，0eb0)短軸的端點為P(0，b)，Q(0，b)，長軸的一個端點為M，AB為經(jīng)過橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦，若PA，PB的斜率之積等于，則點P到直線QM的距離為_答案b解析設(shè)A(x0，y0)，則B點坐標(biāo)為(x0，y0)，則，即，由于1，則，故，則，不妨取M(a,0)，則直線QM的方程為bxayab0，則點P到直線QM的距離為db.15(2017廣州一模)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P使F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.答案A解析設(shè)P(x0，y0)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，由題易知|x0|a，因為存在點P，使F1PF2為鈍角，所以xy有解，即c2(xy)min，又yb2x，b2c2a2，xb2，所以e2，又0e1，所以eb0)上的動點M作圓x2y2的兩條切線，切點分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點分別為E和F，則EOF面積的