2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版

1、2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.考查根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度.1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，

2、b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增加的增加的增加的增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxn0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)上是增加的，在，0)和(0，上是減少的(2)當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最小值2，當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最大值2.

3、題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利()(2)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(3)不存在x0，使1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxa(a0)的增長速度()(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻()題組二教材改編2某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是()A收入最高值與收入最低值的比是31B結(jié)余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個(gè)月的平

4、均收入為40萬元答案D解析由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為(406030305060)45(萬元)，故D錯(cuò)誤3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價(jià)為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為 萬件答案18解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最

5、大值4用長度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為 答案3解析設(shè)隔墻的長度為x(0x0，當(dāng)p(30，)時(shí)，L(p)0，m是不超過m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為 元答案4.24解析m6.5，m6，則f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤L(Q)的最大值是 萬元答案2 500解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.

6、則當(dāng)Q300時(shí)，L(Q)的最大值為2 500萬元題型三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題命題點(diǎn)1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型典例 (1)某航空公司規(guī)定，乘飛機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運(yùn)費(fèi)y(元)之間的關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量最大為 kg.答案19解析由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y30x570，令30x5700，解得x19.(2)將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)出售時(shí)，能賣出400個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少20個(gè)，為了賺得最大利潤，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為 元答案95解析設(shè)每個(gè)售價(jià)定為x元，則利潤y(x80)400(x90)2020(x95)2225當(dāng)

7、x95時(shí)，y最大命題點(diǎn)2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型典例 一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0x0)型函數(shù)典例 (1)某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤y(萬元)與營運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營運(yùn)年平均利潤最大，每輛客車營運(yùn)年數(shù)為 答案5解析根據(jù)圖像求得y(x6)211，年平均

8、利潤12，x10，當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí)等號(hào)成立要使平均利潤最大，客車營運(yùn)年數(shù)為5.(2)(2017南昌模擬)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60(如圖)，考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于米記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x .答案2解析由題意可得BC，y26.當(dāng)且僅當(dāng)(2x0，解得x2.3，x為整數(shù)，3x6，xZ.當(dāng)x6時(shí)，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x115

9、0，結(jié)合x為整數(shù)得6x20，xZ.y(2)對(duì)于y50x115(3x6，xZ)，顯然當(dāng)x6時(shí)，ymax185；對(duì)于y3x268x11532(6185，當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多思維升華 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實(shí)際問題對(duì)變量的限制跟蹤訓(xùn)練 (1)某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應(yīng)過濾 次才能達(dá)到市場(chǎng)要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)答案8解析設(shè)至少過濾n次才能

10、達(dá)到市場(chǎng)要求，則2%n0.1%，即n，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.(2)大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面需要裝修費(fèi)為20 000元，每天需要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營信譽(yù)度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)則總利潤最大時(shí)，該門面經(jīng)營的天數(shù)是 答案300解析由題意，總利潤y當(dāng)0x400時(shí)，y(x300)225 000，所以當(dāng)x300時(shí)，ymax25 000；當(dāng)x400時(shí)，y60 000100x20 000，綜上，當(dāng)門面經(jīng)營的天數(shù)為300時(shí)，總利潤最大為25 000元函數(shù)應(yīng)用問題典例 (12分)已知美國某手機(jī)品牌

11、公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤思維點(diǎn)撥 根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對(duì)勾”函數(shù)的最值的結(jié)論規(guī)范解答解(1)當(dāng)040時(shí)，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W4分(2)當(dāng)040時(shí)，W16x7 360，由于16x21 600，當(dāng)且僅當(dāng)16x，即x50(40，)時(shí)，取等號(hào)，所以此

12、時(shí)W的最大值為5 760.10分綜合知，當(dāng)x32時(shí)，W取得最大值6 104萬美元12分解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：(建模)將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：(解模)求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：(還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：(反思)對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性1在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.992345.156.126y1.5

13、174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dyx答案B解析由題中表可知函數(shù)在(0，)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.2某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是()答案A解析前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.3國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例

14、為(p0.25)%，則該公司的年收入是()A560萬元 B420萬元C350萬元 D320萬元答案D解析設(shè)該公司的年收入為x萬元(x280)，則有(p0.25)%，解得x320.故該公司的年收入為320萬元4(2018湖南衡陽、長郡中學(xué)等十三校聯(lián)考)某大型民企為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2017年 B2018年C2019年 D2020年答案D解析設(shè)從2016年

15、起，過了n(nN)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130(112%)n200，則n3.8，由題意取n4，則n2 0162 020.故選D.5某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費(fèi)；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費(fèi)某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3答案A解析設(shè)該職工用水x m3時(shí)，繳納的水費(fèi)為y元，由題意得y則10m(x10)2m16m，解得x13.6某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1

16、x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元 B11萬元C43萬元 D43.025萬元答案C解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.120.1(10.5)232.因?yàn)閤0,16且xN，所以當(dāng)x10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元7某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k ，經(jīng)過5小時(shí)，1個(gè)病毒

17、能繁殖為 個(gè)答案2ln 21 024解析當(dāng)t0.5時(shí)，y2，2e，k2ln 2，ye2tln 2，當(dāng)t5時(shí)，ye10ln 22101 024.8西北某羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)其生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行促銷在一年內(nèi)，根據(jù)預(yù)算得羊皮手套的年利潤L萬元與廣告費(fèi)x萬元之間的函數(shù)解析式為L(x0)則當(dāng)年廣告費(fèi)投入 萬元時(shí)，該公司的年利潤最大答案4解析由題意得L221.5，當(dāng)且僅當(dāng)，即x4時(shí)等號(hào)成立當(dāng)0，即x4時(shí)，L取得最大值21.5.故當(dāng)年廣告費(fèi)投入4萬元時(shí)，該公司的年利潤最大9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為 m.答案20解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為

18、y m，則由相似三角形性質(zhì)可得，解得y40x，所以面積Sx(40x)x240x(x20)2400(0x50，所以這兩位同學(xué)會(huì)影響其他同學(xué)休息12某書商為提高某套叢書的銷售量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷會(huì)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，銷售量可達(dá)到150.1x萬套現(xiàn)出版社為配合該書商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷售每套叢書的利潤售價(jià)供貨價(jià)格，問：(1)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，書商能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套叢書售價(jià)定為多少元時(shí)，單套叢

19、書的利潤最大？解(1)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，銷售量為150.11005(萬套)，此時(shí)每套供貨價(jià)格為3032(元)，書商所獲得的總利潤為5(10032)340(萬元)(2)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，由解得0x150.依題意，單套叢書利潤Pxx30，所以P120.因?yàn)?x0，則(150x)221020，當(dāng)且僅當(dāng)150x，即x140時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，Pmax20120100.所以每套叢書售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書的利潤最大，最大值為100元13一艘輪船在勻速行駛過程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時(shí)96元當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是6

20、元若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為 海里/小時(shí)時(shí)，總費(fèi)用最小答案40解析設(shè)每小時(shí)的總費(fèi)用為y元，則ykv296，又當(dāng)v10時(shí)，k1026，解得k0.06，所以每小時(shí)的總費(fèi)用y0.06v296，勻速行駛10海里所用的時(shí)間為小時(shí)，故總費(fèi)用為Wy(0.06v296)0.6v248，當(dāng)且僅當(dāng)0.6v，即v40時(shí)等號(hào)成立故總費(fèi)用最小時(shí)輪船的速度為40海里/小時(shí)14商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(ba)以及實(shí)數(shù)x(0x1)確定實(shí)際銷售價(jià)格cax(ba)這里，x被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中項(xiàng)據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x .答案解析由題意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，兩邊同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.15(2018濰坊模擬)某地西紅柿從2月1日開始上市，通過市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100 kg)與上市時(shí)間t(單位