2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理 10.2 排列與組合學(xué)案

1、10.2排列與組合最新考綱考情考向分析1.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題2.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題.以理解和應(yīng)用排列、組合的概念為主，常常以實(shí)際問題為載體，考查分類討論思想，考查分析、解決問題的能力，題型以選擇、填空為主，難度為中檔.1排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用A表示(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)

2、個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用C表示3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性質(zhì)(3)0！1；An！(4)CC；CCC_題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列()(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序()(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！.()(5)若組合式CC，則xm成立()(6)kCnC.()題組二教材改編2P27A組T76把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A144 B12

3、0 C72 D24答案D解析“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A43224.3P19例4用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A8 B24 C48 D120答案C解析末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA48(種)排法，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48.題組三易錯(cuò)自糾4六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A192種 B216種C240種 D288種答案B解析第一類：甲在左端，有A54321120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4A4432196(種)排法所以

4、共有12096216(種)排法5為發(fā)展國外孔子學(xué)院，教育部選派6名中文教師到泰國、馬來西亞、緬甸任教中文，若每個(gè)國家至少去一人，則不同的選派方案種數(shù)為()A180 B240C540 D630答案C解析依題意，選派方案分為三類：一個(gè)國家派4名，另兩個(gè)國家各派1名，有A90(種)；一個(gè)國家派3名，一個(gè)國家派2名，一個(gè)國家派1名，有CCCA360(種)；每個(gè)國家各派2名，有A90(種)，故不同的選派方案種數(shù)為9036090540.6寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個(gè)座位(一排共五個(gè)座位)，上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對(duì)與自己車票相

5、符座位的坐法有_種(用數(shù)字作答)答案45解析設(shè)5名同學(xué)也用A，B，C，D，E來表示，若恰有一人坐對(duì)與自己車票相符的坐法，設(shè)E同學(xué)坐在自己的座位上，則其他四位都不坐自己的座位，則有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9種坐法，則恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有9545(種).題型一排列問題1某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了_條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答)答案1 560解析由題意知兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A40391 560(條)留言2用1,2,3,

6、4,5,6組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求三個(gè)奇數(shù)1,3,5有且只有兩個(gè)相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A18 B108C216 D432答案D解析根據(jù)題意，分三步進(jìn)行：第一步，先將1,3,5分成兩組，共CA種排法；第二步，將2,4,6排成一排，共A種排法；第三步，將兩組奇數(shù)插入三個(gè)偶數(shù)形成的四個(gè)空位，共A種排法綜上，共有CAAA32612432(種)排法，故選D.3將7個(gè)人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有()A1 108種 B1 008種C960種 D504種答案B解析將丙、丁兩人進(jìn)行捆綁，看成一人將6人全排列有AA種排法

7、；將甲排在排頭，有AA種排法；乙排在排尾，有AA種排法；甲排在排頭，乙排在排尾，有AA種排法則甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰的不同排法共有AAAAAAAA1 008(種)思維升華 排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法(2)對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法. 題型二組合問題典例 某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨現(xiàn)從35種

8、商品中選取3種(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中，選取2種有C561(種)取法，某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種(2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或者CCC5 984(種)取法某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有CC2 100(種)取法恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種(4)選取2種假貨

9、有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CCC2 1004552 555(種)至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種(5)方法一(間接法)選取3種的總數(shù)為C，因此共有選取方式CC6 5454556 090(種)至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種方法二(直接法)共有選取方式CCCCC6 090(種)至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種思維升華 組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題

10、必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理跟蹤訓(xùn)練 (1)在某校2017年舉辦的第32屆秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙兩位同學(xué)從四個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選兩個(gè)項(xiàng)目報(bào)名，則甲、乙兩位同學(xué)所選的項(xiàng)目中至少有1個(gè)不相同的選法種數(shù)為()A30 B36C60 D72答案A解析因?yàn)榧?、乙兩位同學(xué)從四個(gè)不同的項(xiàng)目中各選兩個(gè)項(xiàng)目的選法有CC種其中甲、乙所選的項(xiàng)目完全相同的選法有C種，所以甲、乙所選的項(xiàng)目中至少有1個(gè)不相同的選法共有CCC30(種)故選A.(2)(2017武漢二模)若從1,2,3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同

11、的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A60種 B63種C65種 D66種答案D解析共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故不同的取法有CCCC66(種)題型三排列與組合問題的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1相鄰、相間及特殊元素(位置)問題典例 (1)(2018青島模擬)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場(chǎng)的順序的排法種數(shù)為_答案60解析2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N1AA72(種)，女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N2AA12(種)，所以出場(chǎng)

12、順序的排法種數(shù)為NN1N260.(2)(2017上饒一模)大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有()A18種 B24種C36種 D48種答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲

13、車，有CCC12(種)乘坐方式；A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有CCC12(種)乘坐方式，故共有121224(種)乘坐方式，故選B.命題點(diǎn)2分組與分配問題典例 (1)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有_種不同的分派方法答案90解析先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有15(種)方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A6(種)方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共

14、有A90(種)分派方法(2)(2017廣州調(diào)研)有4名優(yōu)秀學(xué)生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案共有_種答案36解析先把4名學(xué)生分為2,1,1共3組，有6(種)分法，再將3組對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校，有A6(種)情況，則共有6636(種)不同的保送方案思維升華 (1)解排列、組合問題要遵循的兩個(gè)原則按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)(2)分組、分配問題的求解策略對(duì)不同元素的分配問題a對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一

15、種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)b對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)c對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)對(duì)于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017全國)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種 B18種 C24種 D36種答案D解析由題意可知，其中1人必須完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，

16、可得安排方式為CCA36(種)，或列式為CCC3236(種)故選D.(2)(2017浙江)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)答案660解析方法一只有1名女生時(shí)，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置，有A種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有CCA480(種)選法有2名女生時(shí)，再選2名男生，有C種方法；然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置，有A種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有CA180(種)選法所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有480180660(種)不同的選法方法二不考慮限制

17、條件，共有AC種不同的選法，而沒有女生的選法有AC種，故至少有1名女生的選法有ACAC840180660(種)(3)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法于是符合題意的擺法共有AAAA36(種)1從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)是()A9 B10C18 D20答案C解析由于lg alg blg (a0，b0

18、)，lg 有多少個(gè)不同的值，只需看不同值的個(gè)數(shù)從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為，有A種取法，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)為A218.2(2017濟(jì)南調(diào)研)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!答案C解析把一家三口看作一個(gè)排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種坐法3某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為()A16 B18 C24 D32答案C解析將4個(gè)車位捆綁在一起，看成一個(gè)元素，先排3輛不同型號(hào)的車，在3個(gè)車位上任

19、意排列，有A6(種)排法，再將捆綁在一起的4個(gè)車位插入4個(gè)空檔中，有4種方法，故共有4624(種)方法4(2018昆明質(zhì)檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，先要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()AA種 BA種CAA種 DCCAA種答案D解析紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅色菊花兩邊各一盆白色菊花，一盆黃色菊花，共有CCAA種擺放方法5有A，B，C，D，E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計(jì)比賽，決出了第一到第五的名次A，B兩位學(xué)生去問成績，老師對(duì)A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對(duì)B說：你是第三

20、名請(qǐng)你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為()A6 B18C20 D24答案B解析由題意知，名次排列的種數(shù)為CA18.6(2016四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A24 B48C60 D72答案D解析由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C種選法，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列有A種排法，則滿足條件的五位數(shù)有CA72(個(gè))故選D.7若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有_種(用數(shù)字作答)答案11解析把g，o，o，d 4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共

21、有A種排法；第二步：排兩個(gè)o，共1種排法，所以總的排法種數(shù)為A12.其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共有A112111(種)8(2017福州質(zhì)檢)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_種(用數(shù)字作答)答案60解析分兩類：第一類：3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給3個(gè)人，共A種分法；第二類：3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給2個(gè)人相當(dāng)于把3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分兩組再分給4人中的2人，共有CA種分法總獲獎(jiǎng)情況共有ACA60(種)9(2017豫南九校聯(lián)考)某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)

22、生，外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有_種答案36解析2名內(nèi)科醫(yī)生的分法為A，3名外科醫(yī)生與3名護(hù)士的分法為CCCC，共有A(CCCC)36(種)不同的分法10用數(shù)字0,1,2,3,4組成的五位數(shù)中，中間三位數(shù)字各不相同，但首末兩位數(shù)字相同的共有_個(gè)答案240解析由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中選取一個(gè)有四種選法，接著從這五個(gè)數(shù)中選取3個(gè)在中間三個(gè)位置排列，共有A60(個(gè))，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有604240(個(gè))11(2018鄭州模擬)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是_答案120解析先安排小品節(jié)

23、目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”對(duì)于第一種情況，形式為“小品1歌舞1小品2相聲”，有ACA36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“小品1相聲小品2”，有AA48(種)安排方法由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有363648120(種)安排方法12(2017衡水模擬)某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有_種不同的安排方法(用數(shù)字作答)答案114解析5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3,1,1)和(2,2,1)兩種，當(dāng)為(3,1,1)時(shí)，有CA60(種)，A，B住同一房間有CA18(種)，故有601842(種)，當(dāng)為(2,2,1)時(shí)，有A90(種)，A，B住同一房間有CA18(種)，故有901872(種)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4272114(種)13(2018合肥質(zhì)檢)7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，則不同的加入方法的種數(shù)為()A120 B240C360 D480答案C解析前排3人有4個(gè)空，從甲、乙、丙3人中選1人插入，有CC種方