2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時(shí) 坐標(biāo)系學(xué)案

1、14.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1課時(shí)坐標(biāo)系最新考綱考情考向分析1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程.會(huì)求伸縮變換，求點(diǎn)的極坐標(biāo)和應(yīng)用直線、圓的極坐標(biāo)方程是重點(diǎn)，主要與參數(shù)方程相結(jié)合進(jìn)行考查，以解答題的形式考查，難度中檔.1平面直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換2極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)

2、取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度和從射線Ox到射線OM的角度來刻畫(如圖所示)這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(，)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)稱為點(diǎn)M的極徑，稱為點(diǎn)M的極角一般認(rèn)為0.當(dāng)極角的取值范圍是0,2)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(，)(0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系我們?cè)O(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑0，極角可取任意角(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(，)由圖可知下面關(guān)系式成立：或，這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

3、的互化公式3常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos_圓心為，半徑為r的圓2rsin_(0)過極點(diǎn)，傾斜角為的直線(R) 或(R)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線cos a過點(diǎn)，與極軸平行的直線sin_a(0)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系()(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是.()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的()(4)極坐標(biāo)方程(0)表示的曲線是一條直線()題組二教

4、材改編2P15T3若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0答案A解析y1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)；.3P15T4在極坐標(biāo)系中，圓2sin 的圓心的極坐標(biāo)是()A. B.C(1,0) D(1，)答案B解析方法一由2sin ，得22sin ，化成直角坐標(biāo)方程為x2y22y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21，圓心坐標(biāo)為(0，1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為.方法二由2sin 2cos，知圓心的極坐標(biāo)為，故選B.題組三易錯(cuò)自糾4在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P，則過點(diǎn)P且平行于極軸的直

5、線方程是()Asin 1 Bsin Ccos 1 Dcos 答案A解析先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，P轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為xcos 2cos ，ysin 2sin 1，即(，1)，過點(diǎn)(，1)且平行于x軸的直線為y1，再化為極坐標(biāo)為sin 1.5在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_答案x2y22y0解析由2sin ，得22sin ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0.6在極坐標(biāo)系下，若點(diǎn)P(，)的一個(gè)極坐標(biāo)為，求以為坐標(biāo)的不同的點(diǎn)的極坐標(biāo)解為點(diǎn)P(，)的一個(gè)極坐標(biāo)，4或4.當(dāng)4時(shí)，2k(kZ)，2，k

6、(kZ)當(dāng)4時(shí)，2k(kZ)，2，k(kZ)有四個(gè)不同的點(diǎn)：P1(kZ)，P2(kZ)，P3(kZ)，P4(kZ).題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1(2016北京改編)在極坐標(biāo)系中，已知曲線C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離解(1)C1：cos sin 10，xy10，表示一條直線由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，即(x1)2y21.C2是圓心為(1,0)，半徑為1的圓(2)由(1)知，點(diǎn)(1,0)在直線xy10上，直線C1過圓C2的圓心因此兩交點(diǎn)A，B的連

7、線是圓C2的直徑兩交點(diǎn)A，B間的距離|AB|2r2.2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))，曲線C2：x2y22y0，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l：(0)與曲線C1，C2分別交于點(diǎn)A，B(均異于原點(diǎn)O)(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)0時(shí)，求|OA|2|OB|2的取值范圍解(1)y21，由得曲線C1的極坐標(biāo)方程為；x2y22y0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22sin .(2)由(1)得|OA|2，|OB|24sin2，|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4，0，11sin22，64(1sin2)0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1，)(10)

8、由題意知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos 22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.思維升華 極坐標(biāo)應(yīng)用中的注意事項(xiàng)(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；極軸與x軸正半軸重合；取相同的長(zhǎng)度單位(2)若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角.利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題(3)由

9、極坐標(biāo)的意義可知平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))與極坐標(biāo)(，)(0)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系跟蹤訓(xùn)練 (2017廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線sin2被圓4截得的弦長(zhǎng)解由sin2，得(sin cos )2，可化為xy20.圓4可化為x2y216，圓心(0,0)到直線xy20的距離d2，由圓中的弦長(zhǎng)公式，得弦長(zhǎng)l224.故所求弦長(zhǎng)為4.1(2018武漢模擬)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin.(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的

10、直角坐標(biāo)方程為x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為.2已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)求C1的極坐標(biāo)方程，C2的直角坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(其中0,02)解(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程為(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 16

11、0.因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為2sin ，變?yōu)?2sin ，化為直角坐標(biāo)方程為x2y22y，即x2y22y0.(2)因?yàn)镃1的普通方程為x2y28x10y160，C2的普通方程為x2y22y0，由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.3(2017貴陽(yáng)調(diào)研)在以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)過極點(diǎn)O作直線l交曲線于點(diǎn)P，Q，若|OP|3|OQ|，求直線l的極坐標(biāo)方程解(1)，sin y，化為sin 2，曲線的直角坐標(biāo)方程為x24y4.(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為0(R)，根據(jù)題意3，解得0或0

12、，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)或(R)4(2017東北三校二模)已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是(x，y)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)的極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)是(，)，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)是(，0)，其中0是常數(shù)設(shè)點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)是(m，n)(1)用x，y，0表示m，n；(2)若m，n滿足mn1，且0，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y)滿足的方程解(1)由題意知且所以即(2)由(1)可知又mn1，所以1.整理得1.所以1即為所求方程5以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的方程為sin，C的極坐標(biāo)方程為4cos 2sin .(1)求直線l和C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與圓C交

13、于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)解(1)直線l：sin，yx，即yx2.C：4cos 2sin ，24cos 2sin ，x2y24x2y，即x2y24x2y0.(2)C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25.圓心C(2,1)，半徑R，C的圓心C到直線l的距離d，|AB|22.弦AB的長(zhǎng)為.6(2017貴陽(yáng)質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為2，點(diǎn)R.(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)

14、解(1)xcos ，ysin ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21，點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(2,2)(2)設(shè)P(cos ，sin )，根據(jù)題意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin，當(dāng)時(shí)，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值為4，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為.7在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1：24cos 30，0,2，曲線C2：，0,2(1)求曲線C1的一個(gè)參數(shù)方程；(2)若曲線C1和曲線C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值解(1)由24cos 30，可得x2y24x30.(x2)2y21.令x2cos ，ysin ，

15、C1的一個(gè)參數(shù)方程為(為參數(shù)，R)(2)C2：43，43，即2x2y30.直線2x2y30與圓(x2)2y21相交于A，B兩點(diǎn)，且圓心到直線的距離d，|AB|22.8已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為(sin cos )1，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C的普通方程為(x2)2(y1)25.將代入并化簡(jiǎn)得4cos 2sin ，即曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos 2sin .(2)l的直角坐標(biāo)方程為xy10，圓心C(2,1)到直線l的距離d，弦長(zhǎng)為22.9(2017哈爾濱二模)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線與曲線C2交于點(diǎn)D.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(1，0)，B，若A，B都在曲線C1上，求的值解(1)C1的參數(shù)方程為C1的普通方程為y21.由題意知曲線C2的極坐標(biāo)方程為2acos (a為半徑)，將D代入，得22a，a2，圓C2的圓心的直角坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.(2)曲