2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第32講 不等關(guān)系與不等學(xué)案

1、第32講不等關(guān)系與不等式考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系2了解不等式(組)的實(shí)際背景3掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.2016北京卷，52016浙江卷，82016江蘇卷，5利用作差、作商法比較大??；利用不等式的性質(zhì)判斷關(guān)于不等式的命題真假.分值：5分1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法：(2)作商法：2不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性ab_ba_傳遞性ab，bc_ac_可加性ab_acbc_可乘性_acbc_注意c的符號(hào)_acbc_同向可加性_acbd_同向同正可乘性_acbd0_可乘方性ab0_anbn_(nN，n1)a，b同為正數(shù)可開方性ab0_(nN，n2

2、)3不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)ab，ab0_.a0b_.ab0,0cd_.0axb或axb0_.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若ab0，m0，則：；(bm0)；(bm0)1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有ab，ab，ab三種關(guān)系中的一種()(2)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變()(3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小()(4)同向不等式具有可加和可乘性()(5)兩個(gè)數(shù)的比值大于1，則分子不一定大于分母()解析 (1)正確兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間的大小關(guān)系只有三種(2)錯(cuò)誤同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)或0時(shí)不等號(hào)改變(3)錯(cuò)誤如24.(5)正確當(dāng)這個(gè)比值中的

3、分母小于零時(shí)，分子小于分母，當(dāng)這個(gè)比值中的分母大于零時(shí)，分子大于分母2下列四個(gè)結(jié)論，正確的是(D)ab，cdacbd；ab0，cd0acbd；ab0；ab0.ABCD解析 利用不等式的同向可加性可知正確；對(duì)根據(jù)不等式的性質(zhì)可知acbd，故不正確；因?yàn)楹瘮?shù)yx是單調(diào)遞增的，所以正確；對(duì)由ab0可知a2b20，所以，所以不正確，故選D3若ab0，cd0，則一定有(D)ABCD解析 因?yàn)閏d0，所以cd0.即得0，又ab0，得，從而有.4設(shè)a，b，cR，且ab，則(D)AacbcBCa2b2Da3b3解析 yx3在(，)上為增函數(shù)，所以a3b3.5下列各組代數(shù)式的判斷正確的是_.x25x62x25x

4、9； (x3)2(x2)(x4)；當(dāng)x1時(shí)，x3x2x1；x2y212(xy1)解析 2x25x9x25x6x230；所以x25x62x25x9，故正確(x3)2(x2)(x4)1，所以(x3)2(x2)(x4)，故錯(cuò)誤當(dāng)x1時(shí)，x3(x2x1)(x1)(x21)0，所以當(dāng)x1時(shí)， x3x2x1，故正確x2y212(xy1)(x1)2(y1)210，所以x2y212(xy1)，故正確一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小比較大小的常用方法(1)作差法：其基本步驟為作差、變形、判斷符號(hào)、得出結(jié)論用作差法比較大小的關(guān)鍵是變形，將差式變成乘積的形式，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法(2)作商法：

5、即判斷商與1的關(guān)系，得出結(jié)論要特別注意當(dāng)商與1的大小確定后必須對(duì)商式分子分母的正負(fù)進(jìn)行判斷，這是用作商法比較大小時(shí)最容易漏掉的關(guān)鍵步驟(3)單調(diào)性法：利用有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性比較大小(4)特殊值驗(yàn)證法：對(duì)于一些題目，有的給出取值范圍，可采用特殊值驗(yàn)證法比較大小【例1】 (1)已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關(guān)系是(B)AMNBMNCMND不確定(2)對(duì)于0a1，給出下列四個(gè)不等式：loga(1a)loga；loga(1a)loga；a1aa1；a1aa1.其中成立的是(D)A與B與C與D與(3)若a，b，則a與b的大小關(guān)系為_ab_.解析 (1)MNa1a2(a

6、1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.MN.(2)當(dāng)0a1時(shí)，(1a)0，則1a1，因此成立(3)a0，b0，1，ab.二不等式的性質(zhì)及應(yīng)用(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)(2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等【例2】 (1)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則“ab且cd

7、”是“acbdbcad”的(A)A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)若0，則下列不等式：abab；ab；abb2中，正確的不等式有(C)ABCD解析 (1)因?yàn)閏d，所以cd0.又ab，所以兩邊同時(shí)乘以(cd)，得a(cd)b(cd)，即acbdbcad.若acbdbcad，則a(cd)b(cd)，所以可能ab且cd，也可能ab且cd，所以“ab且cd”是“acbdbcad”的充分不必要條件(2)因?yàn)?，所以ba0，ab0，ab0，所以abab，在ba兩邊同時(shí)乘以b，因?yàn)閎0，所以abb2.因此正確的是.三利用不等式的性質(zhì)求范圍應(yīng)用不等式性質(zhì)求范圍問(wèn)題的注意點(diǎn)

8、應(yīng)用不等式的性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍此外，這類問(wèn)題還可以用線性規(guī)劃的知識(shí)求解【例3】 已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍解析 f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.由題意，得設(shè)m(ab)n(ab)4a2b，則解得故f(2)3(ab)(ab)33(ab)6,2ab4，53(ab)(ab)10，即5f(2)10，f(2)的取值范圍是 5,101若a，b

9、R且ab，則下列不等式恒成立的是(C)Aa2b2B1C2a2bDlg(ab)0解析 A項(xiàng)，當(dāng)a1且b2時(shí)，顯然滿足ab，但不滿足a2b2，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)a1且b2時(shí)，顯然滿足ab，但，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)ab時(shí)，2a2b，故正確；D項(xiàng)，當(dāng)a1且b2時(shí)，顯然滿足ab，但lg(ab)lg 10，故錯(cuò)誤，故選C2已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足bc3a，則的取值范圍為(B)A(1，)B(0,2)C(1,3)D(0,3)解析 由已知及三角形的三邊關(guān)系得兩式相加得，024，的取值范圍為(0,2)，故選B3下列命題中正確的是(C)A若ab，cd，則acbdB若acbc，則ab

10、C若，則abD若ab，cd，則acbd解析 由不等式的性質(zhì)知C項(xiàng)正確，故選C4已知3045，30230，求54的取值范圍解析 易求得542()3(2)，3045，30230，3054180.易錯(cuò)點(diǎn)不等式的變形不等價(jià)錯(cuò)因分析：亂去分母；忘掉分母可正、可負(fù)、不可以為零【例1】 若集合Ax|12x13，Bx，則AB_.解析 Ax|1x1由1得0，解得x0或x1，Bx|x0或x1因此ABx|1x0或x1答案 x|1x0或x1【跟蹤訓(xùn)練1】 已知a，b，cR，那么下列命題中正確的是(C)A若ab，則ac2bc2B若，則abC若a3b3且ab0，則D若a2b2且ab0，則解析 當(dāng)c0時(shí)，可知A項(xiàng)不正確；當(dāng)

11、c0時(shí)，可知B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，由a3b3且ab0知a0且b0，所以成立，C項(xiàng)正確；當(dāng)a0且b0時(shí)，可知D項(xiàng)不正確課時(shí)達(dá)標(biāo)第32講解密考綱主要考查不等式及其性質(zhì)，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，位于選擇題或填空題的中間位置，難度較易或中等一、選擇題1設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“a或b”是“0ab1”的(D)A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析 可通過(guò)舉反例說(shuō)明，當(dāng)ab10時(shí)，a，b，但ab1001，所以不是充分條件；反之，當(dāng)a1，b時(shí)，0ab1，但a，b，所以不是必要條件綜上可知“a或b”是“0ab1”的既不充分也不必要條件2若0，則下列結(jié)論不正確的是(D)Aa2b2Ba

12、bb2Cab|ab|解析 令a1，b2代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D3(2018浙江富陽(yáng)模擬)如果a，b，c滿足cba，且acacBbcacCcb2ab2Dac(ac)y0時(shí)，xy，即xyy0y0時(shí)，不能比較sin x與sin y的大小，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；xy0xy1ln(xy)0ln xln y0，故D項(xiàng)錯(cuò)誤5(2016浙江卷)已知a0，b0且a1，b1，若logab1，則(D)A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0解析 討論a的取值范圍，可以利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化將條件轉(zhuǎn)化為a與b的關(guān)系，再判斷即可a0，b0且a1，b1，當(dāng)a1，即a10時(shí)，不等式logab1可化為logablogaa，b

13、a1，(a1)(ab)0，(b1)(ba)0.當(dāng)0a1，即a11可化為logablogaa，即0ba1，(a1)(ab)0，(b1)(ba)0.故選D6(2018陜西西安檢測(cè))設(shè)，那么2的取值范圍是(D)ABC(0，)D解析 由題設(shè)得02，0，0，2.二、填空題7(2018山西四校聯(lián)考)已知ab0，則與的大小關(guān)系是_.解析 (ab).因?yàn)閍b0，(ab)20，所以0，所以.8設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿足3xy28,49，則的最大值是_27_.解析 由49，得1681.又3xy28，227.的最大值是27.9(2018貴州遵義模擬)已知下列結(jié)論：若a|b|，則a2b2；若ab，則b，則a3b3；若a0，1ba.其中正確的是_(只填序號(hào)即可)解析 對(duì)于，因?yàn)閍|b|0，所以a2b2，即正確；對(duì)于，當(dāng)a2，b1時(shí)，顯然不正確；對(duì)于，顯然正確；對(duì)于，因?yàn)閍0，1b0，ab2aa(b21)0，所以ab2a，即正確三、解答題10若實(shí)數(shù)a1，比較a2與的大小解析 a2，a2a120，當(dāng)a1時(shí)，a2；當(dāng)a1時(shí)，a2.11已知x，y為正實(shí)數(shù)，滿足1lg xy2,3lg4，求lg(x4y2)