[數(shù)學]二階線性微分方程理論及解法.ppt

1、34-1,2020/7/30,二階線性微分方程的理論及解法,一、二階齊次線性微分方程解的結構,二、二階非齊次線性微分方程解的結構,三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法,第三節(jié),34-2,2020/7/30,二階線性微分方程：,時, 稱為二階非齊次線性微分方程.,時, 稱為二階齊次線性微分方程；,復習: 一階非齊次線性微分方程：,通解:,非齊次方程特解,齊次方程通解Y,34-3,2020/7/30,證畢.,一、二階齊次線性微分方程解的結構,是二階線性齊次微分方程,的兩個解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,（解的疊加原理）,定理1.,34-4,2

2、020/7/30,注：,未必是已知方程的通解.,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解！,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性,相關性的概念.,34-5,2020/7/30,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個函數(shù),使得,則稱這 n 個函數(shù)在 I 上線性相關,否則稱為線性無關.,例如，,在 ( , ) 上都有,故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關;,又如，,若在某區(qū)間 I 上,則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,必須全為 0 ,可見,在任何區(qū)間 I 上都 線性無關.,若存在不全為 0 的常數(shù),34-6,2020/7/30, 兩個函數(shù)線性相關性的充要條件：,線性相

3、關,線性無關,常數(shù),注：,0 與任意函數(shù),必線性,相關,成比例！,不成比例！,即,34-7,2020/7/30,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關特解, 則,為該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,故方程的通解為,推論*.,是 n 階齊次線性微分方程,的 n 個線性無關解,則該方程的通解為,34-8,2020/7/30,二、二階非齊次線性微分方程解的結構,是二階非齊次方程,的一個特解,Y (x) 是相應齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程左端, 得,證畢！,又Y 中含有兩個獨立任意常數(shù)，,即y 是的解.,34-9,2020/7/30,例如,

4、 方程,有特解,而對應齊次方程,的通解為,因此該方程的通解為,34-10,2020/7/30,推廣*.,是對應齊次方程的 n 個線性,無關特解,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程,的通解為,齊次線性微分方程通解,非齊次線性微分方程特解,34-11,2020/7/30,定理 4.,分別是方程,的特解,是方程,的特解.,（非齊次方程之解的疊加原理）,34-12,2020/7/30,常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).,設線性無關函數(shù),都是二階非齊次線,性方程,的解,是任意,例1.,提示:,線性無關. （反證法可證）,（89 考研）,34-13,2020/7/30,例2.,已

5、知微分方程,個解,求此方程滿足初始條件,的特解 .,解:,是對應齊次方程的解,且,常數(shù),因而線性無關,故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,34-14,2020/7/30,三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,和它的導數(shù)只差常數(shù)倍,代入得,稱為微分方程的特征方程,1. 當,時, 有兩個相異實根,方程有兩個線性無關的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,34-15,2020/7/30,2. 當,時, 特征方程有兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設另一特解,，u (x) 待定.,代入方程得:,是特征方程的二重根,取 u = x ,

6、則得,因此原方程的通解為,常數(shù)變易法,34-16,2020/7/30,3. 當,時, 特征方程有一對共軛復根,此時微分方程有兩個復數(shù)解:,利用解的疊加原理，得原方程的線性無關特解:,因此原方程的通解為,在第十三章 中介紹,34-17,2020/7/30,小結:,特征方程:,實根,此表必背！,34-18,2020/7/30, 若含 k 重復根, 若含 k 重實根 r , 則其通解中必含,則其通解中必含,特征方程:,推廣*：,n 階常系數(shù)齊次線性微分方程,34-19,2020/7/30,例3.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例4. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因

7、此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,2020/7/30,四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法,根據(jù)解的結構定理，其通解為,已經(jīng)解決,面臨解決,34-21,2020/7/30,求特解 的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,1、,2、,34-22,2020/7/30,1、,設特解為,其中 為待定多項式,則,化簡得,34-23,2020/7/30,(1) 若 非特征方程的根，,故特解形式為,則Q(x) 為 m 次多項式，,(2) 若 是特征方程的單根，,為m 次多項式,故特解形式為,(3) 若 是特征方程

8、的重根,為 m 次多項式,故特解形式為,即,即,34-24,2020/7/30,結論,對方程,*注：此結論可推廣到高階情形！,當 是特征方程的 k 重根 時,可設,特解,34-25,2020/7/30,例5.,的一個特解.,解：本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,故設所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,34-26,2020/7/30,例6.,的通解.,解：,特征方程為,其根為,對應齊次方程的通解為,設非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,解得,34-27,2020/7/30,例7*. 求解,解：,特征方程為,其根為,設非齊次方程特解為

9、,代入方程得,對應齊次方程通解為,故原方程通解為,34-28,2020/7/30,2、,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路*:,第一步 將 f (x) 轉化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點,（歐拉公式）,34-29,2020/7/30,結論:,對于非齊次線性微分方程,則可設特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),*注：此結論可推廣到高階情形！,34-30,2020/7/30,例8.,的一個特解.,解：,特征方程為,故設特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù)，得,故一個特解為,因為,34-31,2020/7/30,例9.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對應齊次方程的通解為,比較系數(shù)，得,因此特解為,代入得,通解為,為特征方程的單根 ,故設非齊次方程特解,34-32,2020/7/30,例10*.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以設非齊次方程特解為,(2) 特征方程,有根,利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為,構造下列微分方程的特解形式：,34-33,2020/7/30,內容小結, 為特征方程的 k (0,