2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第34講 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案

1、第34講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考綱要求考情分析命題趨勢1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組3會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.2017山東卷，32017浙江卷，32016全國卷，162016江蘇卷，4對線性規(guī)劃的考查常以線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn)，兼顧考查代數(shù)式的幾何意義，有時也考查用線性規(guī)劃知識解決實際問題.分值：5分1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式AxByC0表示直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)_不包括_邊界直線

2、，把邊界直線畫成虛線；不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域(半平面)_包括_邊界直線，把邊界直線畫成實線(2)對于直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，使得AxByC的值符號相同，也就是位于同一半平面的點(diǎn)，如果其坐標(biāo)滿足AxByC0，則位于另一個半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足_AxByC0_.(3)可在直線AxByC0的同一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0By0C的_符號_就可以判斷AxByC0(或AxByC0)所表示的區(qū)域(4)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各不等式所表示的平面區(qū)域的_公共部分_.2線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的_不等式(組

3、)_線性約束條件由x，y的_一次_不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)欲求_最大值_或_最小值_的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的_一次_解析式可行解滿足_線性約束條件_的解(x，y)可行域所有_可行解_組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得_最大值_或_最小值_的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的_最大值_或_最小值_問題1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域()(3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(4)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axb

4、yz0在y軸上的截距()解析 (1)錯誤當(dāng)B0時，不等式AxByC0表示的平面區(qū)域在直線AxByC0的下方(2)錯誤當(dāng)二元一次不等式組中的不等式所表示的區(qū)域沒有公共部分時，就無法表示平面上的一個區(qū)域(3)正確當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成的直線和某個邊界重合時，最優(yōu)解無窮多(4)錯誤目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，是直線axbyz0在y軸上的截距2點(diǎn)(3,1)和(4,6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則(B)Aa7或a24B7a24Ca7或a24D以上都不對解析 依題意，(92a)(1212a)0，解得7a1.一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)“直線定界，特

5、殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式組若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)一般取(0,0)點(diǎn)(2)當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實線，不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線【例1】 (1)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為(A)ABCD(2)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為(B)A3B1CD3解析 (1)兩直線方程分別為x2y20與xy10.由(0,0)點(diǎn)在直線x2y20右下方，可知x2y20，又(0,0)點(diǎn)在直線xy10左下方可知xy10.即為所表示的可行域(2)作

6、出可行域，如圖中陰影部分所示，易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC(22m)(1m).解得m1或m3(舍去)二線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值(2)由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分

7、離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)(3)利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍利用約束條件作出可行域，通過分析可行域及目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解的點(diǎn)，再利用已知可求參數(shù)的值或范圍【例2】 (1)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x5y的最小值為(B)A4B6C10D17(2)x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為(D)A或1B2或C2或1D2或1解析 (1)由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分)當(dāng)直線2x5yz0過點(diǎn)A(3,0)時，zmin23506.故選B(2)作出可行域(如圖所示的ABC及其內(nèi)部)由題設(shè)zyax

8、取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)取最大值時對應(yīng)的直線與可行域某一邊界重合又kAB1，kAC2，kBC，a1或a2或a，驗證：a1或a2時，滿足題意；a時，不滿足題意，故選D三非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題非線性目標(biāo)函數(shù)常見類型的幾何意義(1)(xa)2(yb)2為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)距離的平方(2)為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率(3)|AxByC|是點(diǎn)(x，y)到直線AxByC0的距離的倍【例3】 設(shè)x，y滿足條件(1)求ux2y2的最大值與最小值；(2)求v的最大值與最小值；(3)求z|2xy4|的最大值與最小值解析 畫出滿足條件的可行域，如圖所示(1)x2y2u表示一組同

9、心圓(圓心為原點(diǎn)O)，且對同一圓上的點(diǎn)x2y2的值都相等，由圖象可知：當(dāng)(x，y)在可行域內(nèi)取值時，當(dāng)且僅當(dāng)圓O過C點(diǎn)時，u最大，過點(diǎn)(0,0)時，u最小又C(3,8)，所以umax73，umin0.(2)v表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)D(5,0)的斜率，由圖象可知，kBD最大，kCD最小又因為C(3,8)，B(3，3)，所以vmax，vmin4.(3)因為z|2xy4|表示可行域內(nèi)點(diǎn)P(x，y)到直線2xy40的距離的倍，由圖象知A到直線2xy40的距離最小，C到直線2xy40的距離最大又因為A，C(3,8)，故當(dāng)x，y時，zmin.當(dāng)x3，y8時，zmax18.四線性規(guī)劃的實際應(yīng)用解

10、線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟第一步：分析題意，設(shè)出未知量；第二步：列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；第三步：作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；第四步：將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實際問題的答案【例4】 (2016天津卷)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示.原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條

11、件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤解析 (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分(2)設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z2x3y.考慮z2x3y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時，z的值最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z2x3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最大，即z最大解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)所以zmax220324112.故生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤

12、為112萬元1(2017浙江卷)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是(D)A0,6B0,4C6，)D4，)解析 畫出可行域如圖陰影部分所示，平移直線x2y0，可知，直線zx2y過點(diǎn)(2,1)時取得最小值4，無最大值，故選D2若實數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)tx2y的最大值為2，則實數(shù)a的值是(D)A2B0C1D2解析 可行域為ABC及其內(nèi)部，如圖所示由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)tx2y過點(diǎn)A時有最大值，由直線x2y2與直線x20的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，代入直線x2ya0，得a2，故選D3已知實數(shù)x，y滿足則k的最大值為(C)ABC1D解析 如圖，不等式組表示的平面區(qū)域為AOB的邊界及其內(nèi)部區(qū)域，

13、k表示點(diǎn)(x，y)和(1,0)的連線的斜率由圖知，點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,0)連線的斜率最大，所以kmax1，故選C4(2016全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_216_000_元解析 設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，生產(chǎn)產(chǎn)品B y件，利潤之和為z元，則z2 100x

14、900y.根據(jù)題意得即作出可行域(如圖)由得當(dāng)直線2 100x900yz0過點(diǎn)M(60,100)時，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000.故所求的最大值為216 000元易錯點(diǎn)不能準(zhǔn)確確定最優(yōu)解的位置錯因分析：“截距型”最優(yōu)解問題一是要弄清z與截距的關(guān)系，二是要看與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線的斜率的正負(fù)以及與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系【例1】 已知約束條件目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的值最大為12，則的最小值為_.解析 畫出可行域，如圖中陰影部分所示由zaxby得，yx.0，一定是過點(diǎn)A時z取最大值由得A(4,6)，zmax4a6b12，1.2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號)

15、的最小值為.答案 【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zxky(k0)的最小值為13，則實數(shù)k(C)A7B5或13C5或D13解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，可知zxky(k0)過點(diǎn)A或B時取得最小值，所以k13或k13，解得k5或.課時達(dá)標(biāo)第34講解密考綱考查線性規(guī)劃以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)一、選擇題1已知實數(shù)x，y滿足則z4xy的最大值為(B)A10B8C2D0解析 畫出可行域，根據(jù)圖形可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)時，z4xy取得最大值8.2設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是(A)ABC1,6D解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰

16、影部分所示由圖可知，當(dāng)直線z3xy過點(diǎn)A(2,0)時，z取得最大值6，過點(diǎn)B時，z取得最小值，故選A3設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zx2y2的取值范圍為(C)A2,8B4,13C2,13D解析 作出可行域，如圖中陰影部分，將目標(biāo)函數(shù)看作是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，從而可得zmin|OA|222，zmax|OB|2322213.故z2,134若實數(shù)x，y滿足且zyx的最小值為2，則k(B)A1B1C2D2解析 當(dāng)k0時，直線zyx不存在最小值，k0.當(dāng)k0時，當(dāng)有且僅當(dāng)直線zyx經(jīng)過kxy20與x軸的交點(diǎn)，(，0)時，z取得最小值2，2，即k1.5若關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)

17、域的面積等于2，則a(A)A3B6C5D4解析 先作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，如圖因為直線axy10過定點(diǎn)(0,1)，且不等式axy10表示的區(qū)域在直線axy10的下方，所以ABC為不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域因為A到直線BC的距離為1，所以SABC1BC2，所以BC4.當(dāng)x1時，yC1a，所以yC1a4，解得a3.6設(shè)實數(shù)x, y滿足則z的取值范圍是(D)ABCD解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影所示解方程組得可行域的頂點(diǎn)分別為A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)由于表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的連線的斜率，則kOA，kOB2，kOC，所示.結(jié)合對勾函數(shù)的圖象，得z，故選D

18、二、填空題7(2016全國卷)若x，y滿足約束條件則的最大值為_3_.解析 由約束條件畫出可行域，如圖的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，所以的最大值即為直線OA的斜率，又由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，于是maxkOA3.8已知實數(shù)x，y滿足x2(y2)21，則的取值范圍是_1,2_.解析 設(shè)P(x，y)，M(1，)，則cos，過原點(diǎn)O作C的切線OA，OB，切點(diǎn)為A，B，易知：MOxAOx60，BOx120，0，60，cos，1，12.9已知a0，實數(shù)x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a的值為_.解析 由題意得直線ya(x3)過x1與2xy1的交點(diǎn)(1，1)，因此a的值為.三、解答題10已知D是以點(diǎn)A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部)，如圖所示(1)寫出表示區(qū)域D的不等式組；(2)設(shè)點(diǎn)B(1，6)，C(3,2)在直線4x3ya0的異側(cè)，求a的取值范圍解析 (1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x5y230，x7y110,4xy100.原點(diǎn)(0,0)在區(qū)域D內(nèi)，故表示區(qū)域D的不等式組為(2)依題意4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范圍是(18,14)11變量x，y滿足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx