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1、2020/7/30,近世代數(shù),第二章 群論 7陪集、指數(shù)和Lagrange定理,2020/7/30,一、集合的積,設(shè),為群,是群,子集, 定義,若,，則,的兩個非空,2020/7/30,二、陪集的引入,引例 整數(shù)加群,，模4的剩余類：,構(gòu)成,的一個分類：,現(xiàn)利用群的觀點，分析此分類的特點：,分類中存在一個特殊的類0是子群, 而其余的類都不是子群.,每個類正好是這個子群乘上這個類中 任取定的一個元素.i=i+0.,2020/7/30,三、子群陪集的定義,定義1 設(shè),. 稱群,的子集,和,分別為,在,中的左陪集與右陪集.,思考題1 若, 又設(shè),那么“,”成立嗎?為什么?,不一定是交換群,所以,未必

2、成立.,答：由于,2020/7/30,例1,在,中的全部不同的左陪集有:,2020/7/30,例1,在,中的全部不同的右陪集有:,2020/7/30,四、陪集的性質(zhì)及陪集分解,左陪集的性質(zhì)及左陪集分解,2）,3）,4）,1）,群,中每個元素屬于且只屬于一個左陪集，,可以按照其子群,的左陪集分類.,的按照其子群,的左陪集分類中除去,外，再無子群,因此群,群,存在.,2020/7/30,定義2,設(shè),是子群,在群,中的所有不同的左陪集，稱等式,為群,關(guān)于子群,的左陪集分解，而稱,為群,的一個左陪集代表系.,關(guān)于子群,2020/7/30,右陪集的性質(zhì)及右陪集分解,1）,2）,3）,4）,2020/7/

3、30,五、右陪集與左陪集的對應(yīng)關(guān)系,定理 1設(shè),，則群,陪集含有相同個數(shù)的元素；且,在,中,是,到,的一一映射;,是,則,是,到,映射.,的任何兩個,證明,集的個數(shù)與右陪集的個數(shù)相同.,左陪,到,的一一,映射;,的一一,2020/7/30,由定理1知，,，即,是群,關(guān)于子群,的一,是群,的一個右陪集代表系.,個左陪集代表系，則,關(guān)于子群,2020/7/30,思考題2,？,（）,（）,？,2020/7/30,六、指數(shù)和Lagrange定理,定義 3稱群,的子群,的不同左(右),在,中的指數(shù).,.,陪集的個數(shù)(有限或無限)為,記作,定理 2 (Lagrange定理)有限群,，,，則,.,例1中,2020/7/30,Lagrange定理證明,證明 因為, 所以,也是有限群，,，且,由定理1,且,所以,2020/7/30,推論,推論1有限群子群的階整除群

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