財務管理插值法的快速理解和掌握

1、教學中插值法的快速理解和掌握2009-4-13 9:52田笑豐【大 中 小】【打印】【我要糾錯】摘要 在時間價值及內部報酬率計算時常用到插入法，但初學者對該方法并不是很容易理解和掌握。本文根據不同情況分門別類。利用相似三角形原理推導出插入法計算用公式。并將其歸納為兩類：加法公式和減法公式，簡單易懂、理解準確、便于記憶、推導快捷。 關鍵詞 插入法；近似直邊三角形；相似三角形 時間價值原理正確地揭示了不同時點上資金之間的換算。是財務決策的基本依據。為此，財務人員必須了解時間價值的概念和計算方法。但在教學過程中。筆者發(fā)現(xiàn)大多數教材插值法(也叫插入法)是用下述方法來進行的。如高等教育出版社2000年出

2、版的財務管理學P62對貼現(xiàn)期的。 事實上，這樣計算的結果是錯誤的。最直觀的判斷是：系數與期數成正向關系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期數n應該更接近于5，而不是6。正確結果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可見，這種插入法比較麻煩，不小心時還容易出現(xiàn)上述錯誤。 筆者在教學實踐中用公式法來進行插值法演算，效果很好，現(xiàn)分以下幾種情況介紹其原理。 一、已知系數F和計息期n。求利息率i 這里的系數F不外乎是現(xiàn)值系數(如：復利現(xiàn)值系數PVIF年金現(xiàn)值系數PVIFA)和終值系數(如：復利終值系數FVIF、年金終值系數FVIFA)。 (一)已知的是現(xiàn)值系數 那么系數與利息率(也即貼現(xiàn)率)之

3、間是反向關系：貼現(xiàn)率越大系數反而越小，可用圖1表示。 圖1中。F表示根據題意計算出來的年金現(xiàn)值系數(復利現(xiàn)值系數的圖示略有不同，在于i可以等于0，此時縱軸上的系數F等于1)，F(xiàn)為在相應系數表中查到的略大于F的那個系數，F(xiàn)對應的利息率即為i。查表所得的另一個比F略小的系數記作F，其對應的利息率為i。 (二)已知的是終值系數 那么系數與利息率之間是正向關系：利息率越大系數也越大。其關系可用圖2表示。 圖2中，F(xiàn)表示根據題意計算出來的某種終值系數。F為在相應系數表中查到的略小于F的那個系數。F對應的利息率仍記作i，查表所得的另一個比F略大的系數記作F，其對應的利息率即為i。 上面兩圖中，二者往往相差

4、1，最多也不超過5，故曲邊三角形ABC和ADE可近似地看作直邊三角形。 二、已知系數F和利息率i。求計息期n (一)已知的是終值系數和年金現(xiàn)值系數 那么系數與計息期間是正向關系：計息期越大系數也越大?？捎脠D3表示。 圖3中。F表示根據題意計算出來的終值系數或年金現(xiàn)值系數，F(xiàn)為在相應系數表中查到的略小于F的那個系數。F對應的計息期即為n，查表所得的另一個比F略大的系數即記作F。其對應的計息期為n。 (二)已知的是復利現(xiàn)值系數 那么系數與計息期間是反向關系：計息期越大系數反而越小?？捎脠D4表示。 圖4中，F(xiàn)表不根據題意計算出來的復利現(xiàn)系數。F1為在相應系數表中查到的略大于F的那個系數，F(xiàn)1對應的計

5、息期即為n1，那么還有另一個比F略小的系數即記作F2，其對應的計息期為n2。 同理，當n1和n2無限接近時，近似直邊三角形ABC、ADE為相似三角形，則有：BCDE=AB/AD 在圖3中即有：F-F1F2-F1=n-n1/n2-n1 在圖4中則有：n-n1/n2-n1F1-FF1-F2 據上面兩式均可求得： n=n1+F1-FF2-F1(n2-n1)公式2 三、內部報酬率IRR的計算 內部報酬率(或叫內部收益率)IRR是投資決策常用指標之一，也采用插值法來計算，其原理等同于時間價值中利息率的計算，只是因變量由終值、現(xiàn)值系數轉變?yōu)閮衄F(xiàn)值NPV。其計算原理可在圖5中得到反映。 這里，i1i2，且二

6、者之差不超過5，這是在實際計算中很多人容易忽略的一個方面。在測算凈現(xiàn)值時。先試用一個較小的貼現(xiàn)率，求得的NPV遠大于零，于是就再選用一個大得多的貼現(xiàn)率讓NPV小于0，之后也直接套用公式3來計算IRR，這樣雖然省事。但誤差較大，有時候會影響決策。因為此時曲邊三角形不可以近似看作直邊三角形，后面的推導也就不成立了。理解了這一原理，一般就會注意兩次試用的貼現(xiàn)率之間差距不要太大。其標準就是不超過5。 以上三個公式均是以較小的變量(i1、n1)加上插入值。可以稱為加法公式。公式中分式部分即插入值。其分子、分母的被減項都是較小變量對應的系數或凈現(xiàn)值，這樣對應記憶快捷準確。加上三者結構一致，記住一個即可舉一

7、反三，非常方便。 這三個公式均是以較大的一項(i2、n2)為起點，減去插入值，可以稱為減法公式。分式中分子、分母的被減項均是較大變量對應的系數或凈現(xiàn)值，也是對應關系。 本文開頭所提例子應該用減法公式，直接套用公式2，因為其列示已知變量是從大到小，但教材卻用了加法公式2。導致錯誤。如果采用加法公式2，那就要對查表已知的期數及年金現(xiàn)值系數從小到大重新排列。正確運用兩公式的結果是一樣的，均為5.4年。 插值法的原理是相似三角形定理，據此。即使模糊或忘記了公式也可采用文中任一圖示快速、準確地推導出來。而且采用公式法，不論是根據什么系數。也不論是求解利息率、計息期還是IRR。均可套用，簡單有效又不容易出

8、錯。 相關文章： 插值法在圖像處理中的應用 利用斜率原理解析財務管理中的插. 插值法在漁業(yè)資源評估上的應用 財務管理教學中插值法的快速理解. 淺論插值法及其應用 【摘 要】筆者通過例舉了3個財務管理中的例子，總結出了一種簡易的插值法，可以非常直觀的解決財務管理實務中的問題。 【關鍵詞】簡易插值法；財務管理實務；財務問題 中圖分類號:C931 文獻標識碼:A 文章編號:1009-8283(2009)01-0036-01 財務管理實務中多處用到插值法求解相關問題，如求年金或復利現(xiàn)值系中的貼現(xiàn)率i或期數n、求內含報酬率IRR等，但是國內大部分的財務管理教材中都未講解插值法的計算原理，導致許多學生死記

9、公式，計算常常發(fā)生錯誤。筆者總結出一種簡易的插值法，可以非常直觀地解決上述問題。下面通過幾個具體例題來闡述這種方法： 例1：假設年利率為10%，按復利計算，投資者需要存款多長時間才能使3000元變?yōu)?000元。 解：已知PV=3000，F(xiàn)V=9000 ，i=10%，求n 依據公式 ：FV = PV*（1+10%）n 或 FV = PV * ( F/P,10% ,n) 可知： (F/P,10% ,n)= FV/PV=9000/3000=3 查復利現(xiàn)值系數表可知： 當n = 11時, (F/P,10% ,11) = 2.8531 當n = 12時, (F/P,10% ,12) = 3.1384 故

10、所求 n 值應介于11與12之間 利用簡易插值法求解如下： n (F/P,10% ,n)n(F/P,10% ,n) 11 2.8531 11 2.8531 N 3 12 3.1384 差值A = -0.1469 Q = 1 B = -0.2853 n= 11+ A / B * Q = 11+(-0.1469/-0.2853) * 1 = 11 +0.5149 = 11.5489（年） 呂紅（1968-），女，廣東建設職業(yè)技術學院經管系講師、會計碩士，主要研究方向為財務管理理論與實務。CPA會計概念理解篇插值法計算實際利率2009-05-19 13:44:39 | 來源：財考網 | 作者： 一：

11、概念理解“插值法”計算實際利率。在08年考題中涉及到了實際利率的計算，其原理是根據比例關系建立一個方程，然后，解方程計算得出所要求的數據，例如：假設與A1對應的數據是B1，與A2對應的數據是B2，現(xiàn)在已知與A對應的數據是B，A介于A1和A2之間，即下對應關系：A1B1A（？）BA2B2則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計算得出A的數值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知數據。根本不必記憶教材中的公式，也沒有任何規(guī)定必須B1B2驗證如下：根據：（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）可知：（A1-A）（B1-B）/（B1-B2）（A1-A2

12、）AA1（B1-B）/（B1-B2）（A1-A2）A1（B1-B）/（B1-B2）（A2-A1）考生需理解和掌握相應的計算。例如：某人向銀行存入5000元，在利率為多少時才能保證在未來10年中每年末收到750元？5000/750=6.667 或 750*m=5000查年金現(xiàn)值表，期數為10，利率i=8%時，系數為6.710；i=9%，系數為6.418.說明利率在8-9%之間，設為x%8%6.710x%6.6679%6.418（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71） 計算得出 x=8.147.二、經典例題2000年1月1日，ABC公司支付價款120000

13、元（含交易費用），從活躍市場上購入某公司5年期債券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。合同約定，該債券的發(fā)行方在遇到特定情況時可以將債券贖回，且不需要為提前贖回支付額外款項。XYZ公司在購買該債券時，預計發(fā)行方不會提前贖回。ABC公司將購入的該公司債券劃分為持有至到期投資，且不考慮所得稅、減值損失等因素。為此，XYZ公司在初始確認時先計算確定該債券的實際利率：設該債券的實際利率為r，則可列出如下等式：9000（1+r）-1+9000（1+r）-2+9000（1+r）-3+9000（1+r）-4+（9000+180000）（1+r）-5=120000元采用插值法，可以計算得出r=14.93%.由此可編制表年份 期初攤余成本（a） 實際利率（r）r=14.93% 現(xiàn)金流入（c） 期末攤余成本d=a+r-c2000 120000 17916 9000 1289162001 128916 19247 9000 1391632002 139163 20777 9000 1509402003 150940 22535 9000 1644752004 164475 24525（倒擠） 189000 0但是如果計算利率r先假設兩個實際利率a和b，那么這兩個利率的對應值為A和B，實際利率是直線a、b上