九年級數(shù)學下冊 28.2 用樣本估計總體教案1 （新版）華東師大版

1、用樣本估計總體【學習目標】1.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.2.通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準確地做出總體估計.3.正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差.4.能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋.5.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.【要點梳理】要點一、頻率分布的概念頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其一般步驟為：1.計

2、算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差2.決定組距與組數(shù)3.將數(shù)據(jù)分組4.列頻率分布表5.畫頻率分布直方圖要點詮釋：頻率分布直方圖的特征：1.從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.2.從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.要點二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1.頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.2.總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.要點詮釋：總體密度曲線能夠精確

3、地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息，能夠精確的反映一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.要點三、莖葉圖當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.要點詮釋：莖葉圖的特征：(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是在統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示.(2)莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然

4、能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰.要點四、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)1.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).如果變量是分類的，用眾數(shù)是很有必要的.例如班委會要作出一項決定，考察全班同學對它贊成與否就可以用眾數(shù).2.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)(或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做中位數(shù).中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分.3.平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即.要點詮釋：由于眾數(shù)僅能刻畫某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，中位數(shù)對極端值不敏感，而平均數(shù)又受極端值左右，因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的準確性.要點五、標準差與方差1.標準差樣本數(shù)據(jù)的標準差的算法：(1

5、)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).(2)算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：(3)算出(2)中的平方.(4)算出(3)中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差.(5)算出(4)中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標準差.其計算公式為：2.方差從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方(即方差)來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：要點詮釋：在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.數(shù)據(jù)的離散值程度可以用極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大??；樣本方差的算術(shù)根表示樣本的標準差，它也描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散

6、程度.【典型例題】類型一：頻率分布表、頻率分布直方圖例1在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日，評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如下圖所示）已知從左到右各長方形的高的比為234641，第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題： （1）本次活動共有多少件作品參加評比？ （2）哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？ （3）經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高？ 【答案】（1）60 （2）四組 18（3）六組【解析】 （1）依題意知第三組的頻率為第三組的頻數(shù)為12，本次活動的參評作品數(shù)為件） （

7、2）根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有（件） （3）第四組的獲獎率是， 第六組上交的作品數(shù)量為（件）， 第六組的獲獎率為 顯然第六組的獲獎率較高【總結(jié)升華】弄清所求問題是什么，并正確地運算是做對題的關(guān)鍵本題主要考查同學們對頻率分布直方圖的理解，只有熟悉它的特征，才能清楚數(shù)據(jù)分布的總體趨勢，根據(jù)直方圖反映的信息正確解題舉一反三： 【變式1】某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如下圖所示）根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是_

8、例2閱高考試卷有一個環(huán)節(jié)叫“試批”某省為了了解和掌握考生的實際答卷情況，隨機地抽取了100名考生的數(shù)學成績，數(shù)據(jù)如下（單位：分）： 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 9

9、9 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖和折線圖； （3）估計該省考生數(shù)學成績在100120分之間的比例； （4）設(shè)該省有20萬考生，估計該省考生數(shù)學成績不及格的人數(shù)（滿分150分，90分及以上視為及格）； （5）根據(jù)折線圖估計該省考生的數(shù)學成績在哪一個分數(shù)段的人數(shù)將會最多 【思路點撥】理解頻率分布直

10、方圖的具體含義. 【解析】 100個數(shù)據(jù)中，最大值為135，最小值為80，極差為13580=55 把100個數(shù)據(jù)分成11組，這時組距 （1）頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率80，85）10.010.00285，90）20.020.00490，95）40.040.00895，100）140.140.028100，105）240.240.048105，110）150.150.030110，115）120.120.024115，120）90.090.018120，125）110.110.022125，130）60.060.012130，13520.020.004合計10010.2 注：表中加上“”一列，

11、這是為畫頻率直方圖準備的，因為它是頻率直方圖的縱坐標 （2）根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖，見下圖 （3）從頻率分布表中可知，這100名考生的數(shù)學成績在100120分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60，據(jù)此估計該省考生數(shù)學成績在100120分之間的比例為60（0.60=60） （4）100名考生中，數(shù)學成績不及格的頻率為0.01+0.02=0.03比例為3 3=6 000（人） 估計該省考生數(shù)學成績不及格的有6000人 （5）折線圖的最高點位于100105之間，據(jù)此估計該省考生的數(shù)學成績在100105分這個分數(shù)段的人數(shù)將會最多 【總結(jié)升華】本例中

12、，決定分點時，直接使用了最小值加組距，即80+5k（k=1，2，11），而沒有把最小值減去某一個數(shù)（例如800.5=79.5）作為第1個分點，這是因為100個分數(shù)是明確的，即它們都在80135之間凡事都要具體問題具體分析，不可教條化本例是把5分看成一個分數(shù)段，統(tǒng)計各段的情況舉一反三： 【變式1】一個容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下10，20，2；（20，30，3；（30，40，4；（40，50，5；（50，60，4；（60，70，2，則樣本在（，50上的頻率為（ ）A B C D 【答案】 D 【解析】 根據(jù)頻率的計算公式頻率求解 頻率【變式2】對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：

13、壽命h100200200300300400400500500600個數(shù)2030804030 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）估計該電子元件壽命在100400 h以內(nèi)的占總體的比例； （4）估計該電子元件壽命在400 h以上的在總體中占的比例【解析】（1）樣本頻率分布表如下：壽命h頻數(shù)頻率100200200.1020030030040400500400.20500600300.15合計2001 （2）頻率分布直方圖如下圖所示； （3）估計該電子元件壽命在100400 h以內(nèi)占總體的比例為65； （4）估計該電子元件壽命在400 h以上的在總體中

14、占的比例為35類型二：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例3據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資（以元為單位）如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資（元）5500500035003000250020001500 （1）求該公司人員月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（精確到元） （2）假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（精確到元） （3）你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司人員的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法【思路點撥】理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念【答案】（1）2091 1500 1

15、500 （2）3288 （3）中位數(shù)和眾數(shù)【解析】 （1）平均數(shù)是（元），中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元（2）平均數(shù)是（元），中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元 （3）在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司人員的工資水平因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司人員的工資水平 【總結(jié)升華】 （1）深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)上的特點，結(jié)合實際情況，靈活運用（2）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的特征，它是各數(shù)據(jù)的重心舉一反三： 【變式1】90100110120130140150

16、次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320.036為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由.在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，

17、頻率之和等于1.【答案】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：又因為頻率=所以 (2)由圖可估計該學校高一學生的達標率約為(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).類型三：方差、標準差例4在一次科技知識競賽中，兩組學生的成績?nèi)缦卤恚悍謹?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212 已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分請根據(jù)你所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由 【解

18、析】 （1）甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些 （2）2(5080)2+5(6080)2+10(7080)2+13(8080)2+14(9080)2+6(10080)2=(2900+5400+10100+130+14100+6400)=172， (4900+4400+16100+20+12100+12400)=256，甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組成績好些 （3）甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中，甲組成績在80分以上的有33人，乙組成績在80分以上的有26人，從這一角度看，甲組的成績總體較好 （4）從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于9

19、0分的人數(shù)為14+6=20（人），乙組成績大于或等于90分的人數(shù)為12+12=24（人），乙組成績集中在高分段的人數(shù)較多，同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組的成績較好【總結(jié)升華】 要正確解答這道題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語全方位地進行必要的計算，而不能習慣地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結(jié)論舉一反三：【變式1】甲、乙兩臺機床在相同的技術(shù)條件下,同時生產(chǎn)一種零件,現(xiàn)在從中抽測10個,它們的尺寸分別如下（單位:mm)甲機床： 10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1乙機床： 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)和方差.如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10 mm，從計算的結(jié)果來看哪臺機床加工這種零件較合適？【解析】，.=0.03=0.06. 用甲機床比乙機床穩(wěn)定，即用甲機床加工較合適.類型四：莖葉圖例5某中學高二（2）班甲、乙兩名學生自進入高中以來，每次數(shù)學考試成績情況如下： 甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙：83，86，93，99，88，103，98