高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修2

1、2.32.3.1直線與平面垂直的判定預(yù)習(xí)教科書P6466，考慮以下問題并完成1 .直線垂直于平面的定義是什么？2 .直線垂直于平面的判定定理是什么？3 .直線與平面所成的角度是如何定義的？4 .直線與平面所成的角度范圍是什么？1 .直線垂直于平面的定義(1)自然語言：如果直線l和平面內(nèi)的任何直線都垂直，則直線l和平面相互垂直，l.直線l被稱為平面的垂線，平面被稱為直線l的垂直面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的共同點(diǎn)p被稱為垂足。(2)圖形語言：圖在與描繪直線l平面垂直的情況下，通常，直線與表示平面的平行四邊形的一邊垂直地描繪.(3)符號(hào)語：任意a，都有l(wèi)al。一心一意(1)直線與平面垂直是直線與

2、平面相交的特殊情況(2)注意，定義中的“任意直線”與“所有直線”相同，但不能說是“無數(shù)直線”2 .直線垂直于平面的判定定理(1)自然語言：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條交叉直線都垂直，則該直線垂直于該平面(2)圖形語言：如圖所示(3)代碼字： a、b、ab=P、la、lbl。點(diǎn)睛判定定理?xiàng)l件中的“兩條交叉直線”是重要的詞語，在此強(qiáng)調(diào)“交叉”，如果兩條直線平行，則直線和平面不一定垂直3 .直線與平面所成的角(1)定義：平面的斜線和向該平面的投影所成的銳角稱為該直線和該平面所成的角如圖所示PAO為斜線AP和平面所成的角。(2)在直線AP與平面垂直的情況下，它們所成的角為90 .(3)當(dāng)直線與平面平

3、行或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角為0(4)線面角的范圍： 08890在把握一心定義時(shí)需要注意的2點(diǎn)：斜線上的斜腳不同的點(diǎn)p的選擇是任意的斜線向平面的投影不是線段，而是斜腳和垂直腳的直線地址1 .判斷下面的命題是否正確。(1)如果直線l與平面垂直，則l和平面內(nèi)的直線有可能相交，有可能為異面，也有可能平行()(2)如果是a b、a、l，則是lb ()(3)如果是ab、b，則為a()回答： (1) (2) (3)2 .如果直線l和平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l和平面的位置關(guān)系為()a .平行b .垂直c .在平面內(nèi)d .不能確定分析：當(dāng)選擇的d平面內(nèi)的兩條直線相交時(shí)，直線l平面，即l與相交，當(dāng)平面內(nèi)的

4、兩條直線平行時(shí)，l或l或l與垂直或l與斜交。3 .如圖所示BCA=90，PC平面ABC位于ABC、PAC的邊所在的直線中。垂直于個(gè)人電腦的直線是什么？垂直于美聯(lián)儲(chǔ)的直線是什么？分析： (1)PC平面ABC、AB、AC、BC平面ABC。PCab、PCAC、PCBC。(2)BCA=90，即BCAC、或者BCPC、ACPC=C、BC平面PAC、BCAP。回答： (1)AB、AC、BC (2)BC直線垂直于平面的判定定理的理解典例以下說法正確的是：填寫號(hào)碼。與同一直線垂直的兩條直線平行一條直線不垂直于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，該直線就不一定垂直于該平面如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則該直線垂直于該平

5、面如果l不垂直于平面，則在平面內(nèi)，直線必須不垂直于l。分析空間內(nèi)一條直線和同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能是異面，因此不正確由線面垂直的定義得出，是正確的由于這兩條直線可能是平行的直線，所以不正確如圖所示，雖然l和不垂直，但因?yàn)閍、la，不正確?；卮?1)就線面垂直的定義而言，“直線與平面內(nèi)的所有直線垂直”的說法與“直線與平面內(nèi)的無數(shù)直線垂直”的說法不同，后者的說法不正確，可以使直線與平面斜交。(2)在判定定理中應(yīng)該注意的必須是平面內(nèi)的2條相交直線活用如果1.3條直線OA、OB、OC兩者都垂直，則直線OA垂直于()a .平面OABB .平面OACc .平面OBC D .平面ABC分

6、析：選擇C OAOB、OAOC、OBOC=O、OB、oc平面OBC和OA平面OBC。2.1條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)時(shí)：三角形兩側(cè)梯形兩側(cè)圓的兩條直徑正五邊形兩邊.能夠保證該直線垂直于平面的是_ _ _ _ _ (填充編號(hào)) .解析：根據(jù)直線和平面的垂直判定定理，平面內(nèi)的這兩條直線必須相交。 給出的兩條直線必須相交，才能保證直線和平面垂直。 梯形的兩邊可能是上下底邊，它們相互平行，不滿足定理?xiàng)l件。回答：線面垂直的判定如圖所示，在三角錐SABC中，ABC=90，d是AC的中點(diǎn)，SA=SB=SC。(1)求證： SD平面ABC；(如果AB=BC，則要求證據(jù)： BD平面SAC。(1)因?yàn)閟a=sc，d是A

7、C的中點(diǎn)，所以，在sdac.rtabc中，AD=BD，從已知的SA=SB開始，ads陳bds，所以SDBD .還有ACBD=D，所以SD平面ABC。(因?yàn)锳B=BC，d是AC的中點(diǎn)，所以，所以BDAC .從(1)知道SDBD。另外，因?yàn)镾DAC=D，所以是BD平面SAC。用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟(1)在該平面內(nèi)垂直于該直線尋找兩條直線(2)確認(rèn)該平面內(nèi)的2條直線是相交的直線(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論活用如圖所示，AB是o的直徑，PA是垂直于o所在平面的，m是圓周上的任意點(diǎn)，ANPM，n是垂足。(1)求證： AN平面PBM。(如果是AQPB，就把腳垂下作為q，求證： NQPB。證明

8、： (1)AB是o的直徑。AMBM。再有PA平面ABM，PABM。另外，PAAM=A，BM平面PAM。另外，an平面PAM，BMAN。另外，ANPM且BMPM=M，an平面PBM。(2)從(1)得知AN平面PBM，pb平面PBM，ANPB。另外，AQPB、ANAQ=A，Pb平面ANQ。另外，nq平面ANQ，pb。直線與平面所成的角典型例三角錐SABC的全部棱長(zhǎng)相等，為a，求出SA和底面ABC所成的角的擬弦值。如圖所示，通過s把SO平面ABC設(shè)為點(diǎn)o，連接AO、BO、CO .后就成為SOAO、SOBO、SOCO。SA=SB=SC=a，SOA-sob-SOC表示，AO=BO=CO，o是ABC的外心

9、ABC是正三角形，o是ABC的中心so平面ABC，Sao是SA和平面ABC所成的角。在RtSAO中，SA=a，AO=a=a，cosSAO=，sa與底面ABC所成的角的侑弦值為。求斜線與平面所成的角的步驟(1)作角：將斜線投影到平面上，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)換為平面角(兩條相交的直線所成的銳角)，通過斜線上的點(diǎn)形成平面的垂線，降低腳和腳(有時(shí)為兩腳)形成直線(2)證明：某平面的角是斜線與平面所成的角(3)修正計(jì)算：通常用垂線段、斜線和投影構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行修正活用在立方體ABCDA1B1C1D1中，(1)直線A1B與平面ABCD所成的角的大小為(2)直線A1B與平面ABC1D1所成的

10、角的大小為(3)直線A1B與平面AB1C1D所成的角的大小為分析： (1)從線面角的定義可以看出，A1BA是A1B與平面ABCD所成的角，A1BA=45。(2)如圖所示，如果連接A1D，連接A1DAD1=O，BO，則證明了A1D平面ABC1D1、a1b向平面ABC1D1內(nèi)的投影由OB、a1b和平面ABC1D1形成(3)A1BAB1、A1BB1C1，A1B平面AB1C1D，即，A1B與平面AB1C1D所成的角的大小為90度?；卮穑阂弧⑺?、五、三、九十一級(jí)的學(xué)業(yè)水平達(dá)到了已知1.m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重疊的平面，在接下來給出的條件中，一定能夠推出m的是()A.，還有mB.mn，還有nC

11、.mn、n D.mn、n分析：在選擇B A中，選擇、m、已知m； 在b部分中，由于從n得知n與平面內(nèi)的任意的直線垂直，且由于從mn得知m也與內(nèi)的任意的直線垂直，所以m符合題意。 在c、d中，因?yàn)閙或m或m與相交，不符合題意，所以選擇了b。2 .如果兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線()a .平行b .交叉點(diǎn)c .異面d .以上是可能的解析：選擇d在立方體ABCDA1B1C1D1中，為A1A、B1B與底面ABCD所成的角度相等，此時(shí)兩條直線平行。 A1B1、B1C1與底面ABCD所成的角相等，此時(shí)兩直線相交。 A1B1、BC與底面ABCD所成角相等，此時(shí)兩直線不同.3 .在以下四

12、個(gè)命題中，正確的是()如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線垂直于該平面如果一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于該直線的直線一定垂直于該平面如果一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線垂直于該平面，則這兩條直線相互垂直如果兩條直線垂直，通過一條直線的唯一平面垂直于另一條直線A. B.C. D.解析：選擇d是不正確的如果參照附圖=l、點(diǎn)a、C、點(diǎn)b -、且是BA、BC，則直線l和直線AC的關(guān)系為()a .異面b .平行c .垂直d .不確定分析：選擇c、=l、l、bal .同理BCl .或BABC=B、l。5 .如圖所示，如果斜線部分AB是向平面的投影BO的2倍，則AB和平面所成的角為()A.

13、60 B.45c.30足球俱樂部分析：選擇A ABO是斜線AB與平面所成的角，在RtAOB中，AB=2BO，cosABO=、即ABO=606 .了解了直線l、a、b和平面，并且為了獲得結(jié)論l，需要向條件a、b、la和lb單獨(dú)添加的條件之一是：答案： a、b相交7 .如圖所示，在三角錐PABC中，如果PA平面ABC、PA=AB，則直線PB與平面ABC所成的角等為由于PA平面ABC，所以斜線PB向平面ABC的投影是AB，所以PBA是直線PB和平面ABC所成的角回答： 45已知PA相對(duì)于平行四邊形ABCD所在的平面垂直，如果是PCBD，則平行四邊形ABCD必須是解析：如圖所示，pa平面ABCD、bd

14、平面ABCD、BDpa .還有BDPC、PAPC=P、BD平面PAC回答：菱形在四面體ABCD中，BDC=90，AC=BD=2，e和f分別是AD和BC的中點(diǎn)，并且EF=。征求證據(jù)： BD平面ACD。證明：以CD的中點(diǎn)為g，連接EG、FG。另外，e、f分別為AD、BC的中點(diǎn)、FGBD、EGAC。AC=BD=2，EG=FG=1。EF=、EF2=EG2 FG2、EGFG，BDEG。BDC=90，BDCD。另外，EGCD=G，BD平面ACD。10 .棱長(zhǎng)為1的立方體ABCDA1B1C1D1中，e在A1B1的中點(diǎn)，求出直線AE和平面ABC1D1所成的角的正弦值。解：如圖所示，取CD的中點(diǎn)f，將EF交叉平面ABC1D1與o連接，將AO、B1C連接。由于把ABCDA1B1C1D1設(shè)為正方體，所以容易得到B1CBC1、B1CD1C1、BC1D