5插值(下).ppt

1、第五章,插值法 （下）,3 Hermite插值,不少實(shí)際問(wèn)題不但要求插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上與原來(lái)的函數(shù)相等（滿足插值條件），而且還要求在節(jié)點(diǎn)上的各階導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式，稱為Hermite插值多項(xiàng)式記為H(x)，本節(jié)主要討論已知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)的情形。,3.1 Hermite插值,設(shè)已知函數(shù)y = f (x)在n +1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn上的函數(shù)值yi = f (xi)(i=0,1,2,n)和導(dǎo)數(shù)值yi = f (xi)(i=0,1,2,n)，要求一個(gè)不超過(guò)2n+1次 的多項(xiàng)式H(x)，使其滿足：,這樣的H(x)稱為Hermite插值多項(xiàng)式。,引例（續(xù)1）,引例（續(xù)2）

2、,引例的誤差估計(jì)：,注意到x1是H(x)的二階零點(diǎn)， x0,x2為其一階零點(diǎn)， 所以：,為確定(x)，作輔助函數(shù)：,當(dāng)t = x時(shí)，可選擇(x)，使(x)=0t = x, x0,x2為(t)的一階零點(diǎn)，t = x1為二重零點(diǎn)。因此(t)共五重零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾中值定理（對(duì)重零點(diǎn)也適合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即 ：,由于H(t)是t 的三次多項(xiàng)式， H (4)(x)=0,推廣至n+1個(gè)點(diǎn),推廣至n+1個(gè)點(diǎn)的 yi , yi時(shí)，利用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法， 照上述引例，可設(shè)：,其中hi(x)和Hi(x) (i=0,1,2,n) 滿足： （1）hi(x), Hi(x)(i=0,1,2,n

3、)都是不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式 ；,下面分別確定hi(x)和Hi(x)：,下面分別確定hi(x)和Hi(x)：,對(duì)hi(x)：x = xj(ji) 為其二重零點(diǎn)，故應(yīng)含有因式 (xxj)2 ( ji)，因此可以設(shè)為,請(qǐng)注意：直觀上應(yīng)設(shè)hi(x)為：,這樣來(lái)確定a,b較麻煩，上述引入li(x)后，較簡(jiǎn)單。 hi(x)還應(yīng)滿足：,對(duì)Hi(x):,對(duì)Hi(x) :由于 x = xj(ji)為其二 重零點(diǎn)，xi為一重 零點(diǎn)，故可設(shè) :,這樣，代回去得:,特別地，當(dāng)n =1時(shí)，有:,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多項(xiàng)式,因此n =1的三次Hermite插值多項(xiàng)式可用標(biāo)準(zhǔn)化 的基函數(shù)表示為：,更便于上機(jī)

4、使用，上式中h = x1-x0。,通常稱之為 “標(biāo)準(zhǔn)化”的基函數(shù)，而上述三次Hermite插值基函數(shù)可由其表示出：,3.2 誤差估計(jì),和引例類似，可導(dǎo)出Hermite插值的誤差估計(jì)。,定理5.2,設(shè)x0,x1,xn為區(qū)間a, b上的互異節(jié)點(diǎn)，H(x)為f (x)的過(guò)這組節(jié)點(diǎn)的2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式。若f (x)在a,b上2n+2連續(xù)可導(dǎo)，則對(duì)xa, b插值余項(xiàng)為：,特別地，n =1的三次Hermite插值余項(xiàng)為：,注意與引例的誤差估計(jì)式，與Lagrange插值的誤差 估計(jì)式相比較。,定理5.3,設(shè)x0,x1,xn為區(qū)間a, b上互異節(jié)點(diǎn)，f (x) C(1)a, b，則上述Herm

5、ite插值多項(xiàng)式是唯一的。,定理5.3, H(x)為不超過(guò)2n+1次多項(xiàng)式， H(2n+2)(x)0 于是H(x) H(x) 0這表明Hermite插值多項(xiàng)式是唯一的。,推論,推論1：不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式在任意n +1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)上 的Hermite插值多項(xiàng)式就是其自身。,對(duì)于推論2，事實(shí)上，可令f(x)=1，f (xi)=0，(i=0,1,n)，顯然,滿足這組插值條件，即得結(jié)論。,Hermite插值舉例,例6,按下表求Hermite插值：,Hermite插值舉例（續(xù)）,例7,設(shè)：已知函數(shù)f (x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f (0)=0，求不超過(guò)3次的Her

6、mite插值多項(xiàng)式H (x),3.3 Hermite插值的一般形式,求一個(gè)不超過(guò)n+m+1次的多項(xiàng)式H (x)使得:,與前面的討論類似，可以證明這樣的Hermite插值多項(xiàng)式 是唯一存在的，其余項(xiàng)為:,這里的一般形式即是在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值沒(méi)有全 部給出，與前面引例相似，舉例說(shuō)明方法。,Hermite插值一般形式（舉例）,例8,按下表求Hermite插值多項(xiàng)式：,解法一：這里有5個(gè)條件，所以插值多項(xiàng)式不超過(guò)4次，用 構(gòu)造插值基函數(shù)hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法，它們分 別應(yīng)滿足：,例8（解法2）,解法2： x = 0為二階零點(diǎn)，故可設(shè)插值多項(xiàng)式為,代入條件：,所求

7、四次Hermite插值多項(xiàng)式為：,解法3:還可直接設(shè)五次方程求解,4 多項(xiàng)式插值的缺陷與分段插值,4.1 多項(xiàng)式插值的缺陷,在插值方法中，為了提高插值多項(xiàng)式的逼近程度，常常需要增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即提高多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)逐步提高時(shí)，是否逼近程度也越來(lái)越好呢？一般總認(rèn)為L(zhǎng)n(x)的次數(shù)n越高，逼近f (x)的程度越好，實(shí)際上并非如此。因?yàn)椋?（1）節(jié)點(diǎn)的增多固然使插值函數(shù)Ln(x)在更多的地方與f (x)相等，但另一方面在兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)之間Ln(x)不一定能很好地逼近f (x)，有時(shí)差異還很大，即高次插值收斂性得不到保證。 （2）從計(jì)算的含入誤差看，高次插值可能會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的誤

8、差積累，即穩(wěn)定性得不到保證。 下面分別舉例說(shuō)明。,多項(xiàng)式插值的缺陷舉例,例如， 在區(qū)間-1,1上給定函數(shù)f(x)=1/(1+25x2)，并將區(qū)間-1,1分為n等分，以Pn(x)表n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式，圖5-4給出了f (x)及P10(x)的圖象，從中可以看出，P10(x)在端點(diǎn)附近，誤差很大，如f(0.95)=0.24244，而P10(0.95)=1.92363，并且還可畫(huà)出P4(x)相比較，P10(x)在區(qū)間中間能較好地逼近f (x)，比P4(x)好得多，但在端點(diǎn)附近P10(x)的波動(dòng)很大，可以證明：Pn(x)只在|x|0.726內(nèi)收斂于f (x)。在0.726|x|1內(nèi)Pn(x)

9、與f (x)偏離很大，不收 斂于f (x)。高次多項(xiàng)式 插值產(chǎn)生的這種不收斂 現(xiàn)象稱為龍格（Runge） 現(xiàn)象 。,多項(xiàng)式插值的缺陷舉例（續(xù)1）,再以Lagrange插值為例，討論其穩(wěn)定性。不妨設(shè)數(shù)據(jù)yi誤差yi，假定計(jì)算過(guò)程中不再產(chǎn)生誤 差，此時(shí)，Lagrange插值多項(xiàng)式為：,故插值的實(shí)際誤差為：,上式中右端第一項(xiàng)即為 插值余項(xiàng)，而第二項(xiàng)為：,這就是節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差yi所引起的插值誤差。可見(jiàn)，yi 通過(guò)插值基函數(shù)li(x)而全面擴(kuò)散，而插值基函數(shù)li(x)在基本 插值區(qū)間x0,xn內(nèi)是上下波動(dòng)的，在區(qū)間外，則按距離的n 次冪放大，如圖5-5所示。當(dāng)變大時(shí)，其波動(dòng)頻率與振幅也 隨之增大。此時(shí)插

10、值過(guò)程對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差非常敏感并將其 放大，這就是說(shuō)高次插值不具有數(shù)值穩(wěn)定性。,（緊接下屏）,多項(xiàng)式插值的缺陷舉例（續(xù)2）,實(shí)際上在以Ln(x)近似f (x)時(shí)，由誤差估計(jì)式：,幾點(diǎn)啟示,（3）因?yàn)楦叽尾逯挡荒苡?，而?shí)際情況需要將給定的節(jié)點(diǎn)全部都用上( 區(qū)間長(zhǎng)度所需要），此時(shí)常采用分段低次多項(xiàng)式插值。,以上分析給我們幾點(diǎn)啟示：,（1）增加節(jié)點(diǎn)并不一定能保證在兩節(jié)點(diǎn)之間插值函 數(shù) Ln(x)能很好地逼近f (x)，即高次插值（如7，8次上） 在 實(shí)際應(yīng)用中很少被采用。,（2）插值多項(xiàng)式逼近f (x)時(shí)，當(dāng)f (x)為多項(xiàng)式 時(shí)效果非常好，誤差為零，而上述Runge現(xiàn)象中f (x)為有理函數(shù)，能否尋

11、求用有理分式（而不用多項(xiàng)式）作插值函數(shù)。,啟示（4）,（4）由于高次插值可能不收斂，若要精度高，能否考慮尋找一新的逼近函數(shù)P (x)，它不是插值函數(shù)（不滿足插值條件），但卻仍然是一簡(jiǎn)單函數(shù)，比如仍為多項(xiàng)式，但P (x)在xi處不一定等于f (x)，而是要求 在整個(gè)區(qū)間上每一點(diǎn)處P (x)都能在誤差允許范圍內(nèi)逼近f (x)，比如 要求其在節(jié)點(diǎn)xi處的偏差ri = P(xi)yi(i = 0,1,2,n)按某種標(biāo)準(zhǔn)最小以反映所給數(shù)據(jù)的總體趨勢(shì)，消除局部波動(dòng)的影響。,由于高次插值不能用而引出了上面幾點(diǎn)討論，對(duì)出現(xiàn)的 問(wèn)題進(jìn)行分析而導(dǎo)致新的方法，新理論的產(chǎn)生，這也正我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)中的新起點(diǎn)。,4.2

12、分段多項(xiàng)式插值,在大范圍且節(jié)點(diǎn)較多的情況下，常采用分段低次多項(xiàng)式插值，大致可分為兩類，一類為局部化分段插值，即把插值區(qū)間分段后，在每個(gè)小區(qū)間上直接構(gòu)造低次插值多項(xiàng)式，也叫簡(jiǎn)單分段插值；另一類是非局部化分段插值，即在整個(gè)區(qū)間上構(gòu)造分段插值多項(xiàng)式，如樣條插值。 下面介紹幾種簡(jiǎn)單分段插值：,以下幾種分段插值都設(shè)為：,1、分段線性插值,已知yi = f(xi) (i = 0,1,n)，在每個(gè)子區(qū)間xi,xi+1上分 別作線性插值(i = 0,1,n1) 。,P1(x)在a, b上為分段一次多項(xiàng)式，它滿足插值條件： P1(xi)= yi(i = 0,1,n)，在節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，P1(x)的圖形為一折線，如圖

13、5-6，其幾何意義就是用折線去逼近曲線f (x)。,2、分段拋物插值,P2(x)為a, b上的分段二次多項(xiàng)式，它滿足插值條件P2(xi)= yi (i = 0,1,n)，在節(jié)點(diǎn)x2k處連續(xù)。,3、分段三次Hermite插值,已知 yi = f (xi)，yi = f (xi) (i = 0,1,2,n)，在每個(gè)子區(qū)間xi,xi+1上作Hermite插值，由3中式(5-21)可得：,其中hi = xi+1 xi，0(x) = (1+2x)(1x)2, 1(x) =x (1x)2,顯然分段三次Hermite插值多項(xiàng)式H (x)滿足插值條件H(xi)=yi,H (xi)= yi (i = 0 1,2

14、,n)，在節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，因此密合程度較好并且為分段光滑函數(shù)。,4. 分段插值的余項(xiàng)及收斂性和穩(wěn)定性,（1）插值余項(xiàng) 利用插值余項(xiàng)結(jié)果可得分段線性插值多項(xiàng)式P1(x)在 子區(qū)間xi,xi+1上的余項(xiàng)估計(jì)式。,而在整個(gè)插值區(qū)間a,b上：,同理可得對(duì)分段三次Hermite插值多項(xiàng)式H (x)在xi,xi+1上：,在a, b區(qū)間上：,構(gòu)造函數(shù)y = ln x在x1,10上的等距數(shù)表，應(yīng)如何選取步長(zhǎng)h，才能在利用該數(shù)表進(jìn)行分段線性插值時(shí)，使誤差不超過(guò)10-6/2。,例9,分段插值的余項(xiàng)及收斂性和穩(wěn)定性（續(xù)）,（2）收斂性 設(shè)f (x)在a, b上連續(xù)，則可以證明， 當(dāng)h0時(shí)，上述分段插值多項(xiàng)式P1

15、(x)， P2(x)，H (x)等都一致收斂于f (x)。 （3）穩(wěn)定性 簡(jiǎn)單分段插值具有突出的局部性質(zhì)， 其每個(gè)節(jié)點(diǎn)至多只影響到直接銜接的兩 個(gè)子區(qū)間而不遠(yuǎn)及，因而，節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù) 誤差基本上不擴(kuò)散，不放大。所以，簡(jiǎn) 單分段插值具有高度的數(shù)值穩(wěn)定性。,5 樣條插值,分段插值具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，有效地 避免了龍格現(xiàn)象的發(fā)生，且算法簡(jiǎn)單，因此在實(shí)際應(yīng)用中占有重要地位，但是，其光滑性較差。前面所介紹的方法只保證函數(shù)連續(xù)或其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，滿足不了許多工程技術(shù)提出的對(duì)插值函數(shù)的光滑性有較高要求的計(jì)算問(wèn)題。,例如，船體、飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、 排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑 程度，不

16、僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，即二 階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。對(duì)于分段插值，要增加光滑度，就 要采用更高階的導(dǎo)數(shù)值，而這一點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用中往 往是很難提供的。為解決這一類問(wèn)題，導(dǎo)致產(chǎn)生 了樣條插值。,5.1 樣條函數(shù)的概念,所謂樣條（Spline）本來(lái)是工程設(shè)計(jì)中使用的一種繪圖工具，它是一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條，在飛機(jī)或輪船制造過(guò)程中，被用于描繪光滑的外形曲線。使用時(shí)，用壓鐵將其固定在一些給定的型值點(diǎn)上，在其它地方任其自然彎曲，并稍作調(diào)整，使樣條具有滿意的形狀（各段接口處呈光滑狀），然后沿樣條畫(huà)出曲線，稱為樣條曲線，它實(shí)際上是由分段三次曲線拼接而成，在連接點(diǎn)即型值點(diǎn)上，不僅函數(shù)自身是連續(xù)的，而且它的一階和二階導(dǎo)數(shù)

17、也是連續(xù)的。由此抽象出數(shù)學(xué)模型稱為樣條函數(shù)。,則稱S(x)為關(guān)于上述劃分的m次樣條函數(shù)。,給定區(qū)間a, b的一個(gè)劃分a = x0 x1xn = b， 如果函數(shù)S (x)滿足,（1）在每個(gè)小區(qū)xi,xi+1(i=0,1,n-1) 上S (x)是m次多項(xiàng)式； （2）S (x)在a, b上具有m1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。,樣條函數(shù)的概念(續(xù)1）,顯然，按此定義，折線是一次樣條函數(shù)。而用“樣條”繪出的圖形為三次樣條函數(shù)曲線，也是最常用的樣條函數(shù)。那么，確定一個(gè)三次樣條函數(shù)需要多少個(gè)條件呢？由上述樣條函數(shù)定義（1）中知，S(x)在每個(gè)小區(qū)間xi,xi+1上是一個(gè)三次多項(xiàng)式，因此需要確定4個(gè)待定常數(shù)，一共有n個(gè)小區(qū)間

18、，故應(yīng)確定4n個(gè)參數(shù)。由定義中條件（2），S (x)應(yīng)在n1個(gè)內(nèi)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即應(yīng)滿足條件：,共有3(n1)個(gè)條件。因此，要確定一個(gè)三次樣條函數(shù)， 還需要另增加4n3(n1) = n+3 個(gè)條件。,利用樣條函數(shù)進(jìn)行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱為樣條插值。 例如 分段線性插值是一次樣條插值。,5.2 三次樣條插值,已知函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上的n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)a = x0x1 xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,n)，求插值函數(shù)S (x)使其滿足： （1）S(xj)=yj(j=0,1,n)； （2）在每小區(qū)間xj,xj+1(j=0,1,n-1)上S (x)是

19、三次多項(xiàng)式，記為Sj (x)； （3）S (x)在a, b上二階連續(xù)可微。 則S (x)稱為f (x)的三次樣條插值函數(shù)，它通過(guò)上述給定點(diǎn)，為二階連續(xù)可導(dǎo)的分段三次多項(xiàng)式函數(shù)。,三次樣條插值（續(xù)）,由定義，這里增加了n +1個(gè)插值條件，要確定S (x)還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件。通常會(huì)根據(jù)問(wèn)題的具體情況。在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處給出條件，稱為邊界條件。常用的邊界條件有以下三種：,可以證明，在上述三種邊界條件下，三次樣條插值問(wèn)題的解是存在且唯一的。三種邊界條件都有它們的實(shí)際背景和力學(xué)意義。,（1）給定兩端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值S (a) = y 0，S (b) = y n，特別地，當(dāng)y 0 = y n = 0時(shí)，樣條曲

20、線在端點(diǎn)處呈水平狀態(tài)。 （2）給定兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)S (a) = y 0，S (b) = y n， 特別地，當(dāng)y 0 = y n = 0時(shí)，稱為自然邊界條件。 （3）如果f (x)是以b a為周期的周期函數(shù)，則S (x)也是應(yīng)具有同樣周期 的周期函數(shù)，在端點(diǎn)處應(yīng)滿足S (a+0) = S (b0)，S (a+0) = S (b 0) .,三次樣條插值舉例,已知函數(shù)f (x)在三個(gè)點(diǎn)處的值為f (1)=1, f (0) = 0, f (1)=1，在區(qū)間1,1上，求f (x)在自然邊界條件 下的三次樣條插值多項(xiàng)式。,例10,三次樣條插值舉例（續(xù)）,這種解法稱為待定系數(shù)法，當(dāng)n較大時(shí)，由于要解4n

21、階的線性方程組，工作量太大，因此，一般不采用待定系數(shù)法，而考慮另外的較簡(jiǎn)單的方法，即取節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)，來(lái)導(dǎo)出三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式。,1. 以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù),其中積分常數(shù)c1,c2可由插值條件Sj(xj) = yj， Sj(xj+1) = yj+1確定：,（緊接 下屏）,這就是在每個(gè)小區(qū)間Sj(x)的表達(dá)式（M表達(dá)式）,建立M表達(dá)式,建立關(guān)于M的關(guān)系式,下面建立關(guān)于M的關(guān)系式（等式，即方程組）確定Mj， 插值條件已用，假定二階導(dǎo)數(shù)已知，即二階連續(xù)條件已用， 因此要用一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)來(lái)建立等式。對(duì)Sj(x)求一次導(dǎo)得：,因?yàn)槭窃趚j,xj+1上，所以可代

22、入x = xj ，x = xj+1,（緊接下屏）,建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)1）,Sj-1是xj的左邊區(qū)間xj1, xj上的函數(shù)，故有等式：,建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)2）,整理得：,建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)3）,式（5-22）稱為M關(guān)系式，對(duì)于所有內(nèi)點(diǎn)j = 1,2,n1成 立 。式（5-22）展開(kāi)后為,n 1個(gè)方程含有n +1個(gè)參數(shù)M0, M1, Mn, 按其力學(xué)意義，稱為三彎矩方程，系數(shù) j, j, cj可預(yù)先求出來(lái)。,M關(guān)系式的三種邊界條件,要由上述M關(guān)系式確定所有參數(shù)，需要根據(jù)問(wèn)題的具體 情況，利用邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程。下面就三種邊界條件， 分別進(jìn)行討論。,1）如果問(wèn)題要求S (x)滿足邊界條

23、件（1）由式（5-20）得,化簡(jiǎn)得：,M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)1）,式（5-25）與（5-23）聯(lián) 立，即得到關(guān)于n +1個(gè)參 數(shù)M0, M1,Mn的n +1階 線性方程組，其矩陣形式為 ：,（2）如果問(wèn)題要求S (x)滿足連界條件（2）即給出了：,此時(shí)方程組（5-23）實(shí)際上只有n 1個(gè)未知數(shù)，這仍是三對(duì)角方程組，可直接用追趕法求解 。,M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)2）,（3）如果問(wèn)題要求S (x)滿足周期邊界條件（3），f (x)以 b a為周期，則 S (x)也以b a為 周期，即在端點(diǎn)處應(yīng)滿足：,可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程，補(bǔ)充到（5-23）中。,以上式作為最后一個(gè)方程進(jìn)行整理，注意到M0 =

24、Mn有：,（緊接下屏）,M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)3）,并且因M0 = Mn所以將（5-23）中第一個(gè)方程 1M0 + 2M1 + 2M2 = c1 改寫(xiě)為,這樣，將式（5-27）代回（5-23）中并與（5-26）聯(lián)立， 得到n階方程組：,M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)4）,在上述三種情況下的線性方程組是三對(duì)角或廣義三對(duì)角的，其系數(shù)矩陣均為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，因此方程組有 唯一的一組解M0, M1, Mn，求出后代入“M表達(dá)式”（5-19），即得三次樣條函數(shù)，方程組中每個(gè)方程都連系三個(gè)Mi，參數(shù)Mi在力學(xué)上的意義為細(xì)梁在xi 截面處的 彎矩，因此上述方法又稱為三彎矩插值法。,2. 以節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)

25、的三次樣條插值函數(shù),同前面討論類似，也可以假定xj,xj+1上的一階導(dǎo)數(shù)S(xj)=mj (i=0,1,2,n)為已知，以mj作參數(shù)表示S(x)（得到m表達(dá)式），再由m關(guān)系式確定mj，求出S (x)。 在xj,xj+1上；有對(duì)應(yīng)的 yj，yj+1 和S (xj)=mj S(xj+1)=mj+1 首先利用前面的分段三次Hermite插值 可構(gòu)造 ：,這樣構(gòu)造的Sj(x)已滿足插值條件，在內(nèi)點(diǎn)的連續(xù)條件：,以節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)（續(xù)1）,為使Sj(x)為三次樣條函數(shù)，即Sj(x)應(yīng)連續(xù)，同時(shí) 為確定參數(shù)mj，對(duì)Sj(x)在xi,xi+1求二次導(dǎo)數(shù)：,以節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣

26、條插值函數(shù)（續(xù)2）,以節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)（續(xù)3）,稱（5-30）為三次樣條的m關(guān)系式，按其力學(xué)意義，mj為細(xì)梁在xj截面處的轉(zhuǎn)角，也稱為三轉(zhuǎn)角方程，方程組（5-30）含有n +1個(gè)未知數(shù)，n1個(gè)方程，與對(duì)M關(guān)系式的討論類似，增加邊界條件（1），（2）后，可得關(guān)于參數(shù)mj的三對(duì)角方程組，增加邊界條件（3），得廣義三對(duì)角方程組。這些方程組的系數(shù)矩陣同樣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，故方程組有唯一解，求解出參數(shù)mj(j = 0,1,n)后代入（5-28），即得三次樣條插值函數(shù)。,三次樣條插值函數(shù)舉例,例11,已知函數(shù)表：,求滿足邊界條y(0)=1, y(3) = 0,的三次樣條插值函數(shù)。,解

27、如果用三彎矩方程求解，由已知hj=1(j = 0,1,2,)，按式 （5-21）和（5-25）計(jì)算方程組的系數(shù)及右端頂，結(jié)果如下：,將上述數(shù)據(jù)代入式（5-23）和（5-25）得方程組:,例11(續(xù)),例11(續(xù)) 三轉(zhuǎn)角方法求解,如果用三轉(zhuǎn)角方程求解，由式（5-29）：,將上述數(shù)據(jù)及m0=1,m3=0代入 式（5-30），得三轉(zhuǎn)角方程：,將此解代入式（5-28），即得三次樣條插值函數(shù) 的分段表示式：,比較上面兩種解法， 對(duì)第一種邊界條件， 用三轉(zhuǎn)角方程 計(jì)算較簡(jiǎn)便。,計(jì)算三次樣條插值函數(shù)的步驟,（1）根據(jù)給定的點(diǎn)(xj,yj)及相應(yīng)的邊界條件 計(jì)算j,j,cj或dj。一般地，對(duì)第一種邊 界條件

28、用三轉(zhuǎn)角方程，對(duì)第二種邊界 條件用三彎矩方程較為簡(jiǎn)便； （2）解方程組（5-23）或（5-30），求出 參數(shù)Mj或mj； （3）將求得的參數(shù)代入式(5-19)或(5-28)， 即得三次樣條插值函數(shù)S(x)的分段表 示式。,小結(jié)計(jì)算三次樣條插值函數(shù)的步驟為：,三次樣條插值函數(shù)的收斂性,設(shè)f (x)在a., b上四次連續(xù)可微，S(x)為f (x)在a, b上 的三次樣條插值函數(shù)，則:,證明略。,定理5.4,三次樣條插值函數(shù)的收斂性（續(xù)）,定理5.4表明，當(dāng)分劃小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，S(x)及其 一至三階導(dǎo)數(shù)分別一致收斂到f (x)及其一至三階導(dǎo)數(shù)，因 而，為提高精度只需加密分劃節(jié)點(diǎn)，不需要提高樣條

29、函數(shù) 的次數(shù)。由于樣條插值有這樣好的性質(zhì)，因此它應(yīng)用十分 廣泛，在外形設(shè)計(jì)及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的許多領(lǐng)域中，都是 十分有效的數(shù)學(xué)工具。 三次樣條插值有明確的力學(xué)背景： 樣條曲線可以看作是彈性細(xì)梁受集中載荷作用 而生成的撓度曲線，在擾度不大的情況下，這種 擾度曲線在數(shù)學(xué)上恰好表現(xiàn)為三次樣條函數(shù)，集中 載荷的作用點(diǎn)就是三次樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)。,小 結(jié),簡(jiǎn)單地比較前面所述的幾種插值方法，它們各有優(yōu)缺點(diǎn)。多項(xiàng)式插值宜用較低次多項(xiàng)式，例如：n 6，當(dāng)次數(shù)較高時(shí)，收斂性與穩(wěn)定性均較差。分段線性插值或分段低次插值具有較好的穩(wěn)定性與收斂性，且計(jì)算簡(jiǎn)便，但光滑程度較差。樣條插值克服了這一缺點(diǎn)，并具有良好的收斂性，但其計(jì)

30、算復(fù)雜，穩(wěn)定性不如分段插值。進(jìn)一步的討論可參看有關(guān)資料。,例1求證：存在三次多項(xiàng)式滿足下面函數(shù)表,證： 由于表中給出了六個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)Newton插值公式，一般情況下可以構(gòu)造出一個(gè)5次插值多項(xiàng)式，這個(gè)5次多項(xiàng)式必然滿足上面函數(shù)表。 構(gòu)造差商表如下：,例1（續(xù)）,一般情況下，給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)n次插值多項(xiàng)式，若得到低于n次的插值多項(xiàng)式，稱為“退化”情況，利用Newton插值，很容易檢查出是否為“退化”情況，因?yàn)槔貌钌蹋ú罘郑┍?，?dāng)某一階差商（差分）為常數(shù)時(shí)，則下一階差商（差商）必定為0，此時(shí)必會(huì)出現(xiàn)“退化”情況。,由上表知，由于四階差商以上均為0，所以這個(gè)5次多項(xiàng)式實(shí)際上是3次多

31、項(xiàng)式 ：,故存在三次多項(xiàng)式滿足是所給的函數(shù)表。,例2 Runge現(xiàn)象的發(fā)生和防止,對(duì)區(qū)間 作等距劃分： ， 分別取 以 為節(jié)點(diǎn)， 對(duì)函數(shù) ：,按下述方案進(jìn)行插值計(jì)算，并比較其結(jié)果。,方案I 拉格朗日插值；方案II 分段線性插值； 方案III 三次樣條插值。,解 這里只將求解后的部分?jǐn)?shù)值結(jié)果列于表1中。由此可以看到，拉格朗日插值的效果并沒(méi)有隨n增大而變化，與此相反，在區(qū)間端點(diǎn)附近，反而發(fā)生了激烈的振蕩，即出現(xiàn)了龍格現(xiàn)象。而分段線性插值、三次樣條插值都能較好地逼近 ，且隨著n的增大，逼近效果更好，反映了分段線性插值和三次樣條插值的一致收斂性，防止了龍格現(xiàn)象的產(chǎn)生，從表中數(shù)據(jù)可以看到，三次樣條插值的精度比分段線性插值更高。,表1,例3 反插值,給出函數(shù) 的函數(shù)表（表2），試?yán)么藬?shù)表求使 的x值。,表2,解 插值是利用函數(shù)y=f(x)的已知數(shù)據(jù)求給定的自變量x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y 的近似值。而本題則是求已知函數(shù)值y 所對(duì)應(yīng)的自變量x之值。如果函數(shù)y=f(x)的反函數(shù) 存在，則可把所給數(shù)據(jù)值y視為自變量取值，而把x的值視為函數(shù)值，對(duì)反