次型與標(biāo)準(zhǔn)形(zjy).ppt

1、一、問(wèn)題的推出,第五節(jié),二次型及其矩陣表示,二、基本概念,三、二次型的矩陣及二次型的秩,1、二次型及其表示,定義1,含 個(gè)變?cè)?的二次齊次多項(xiàng)式,稱為n元二次型（或二次齊式）。,（1）,一、基本概念,若（1）中交叉項(xiàng),的系數(shù)全部為零，即,為,的標(biāo)準(zhǔn)二次型（二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）,可見(jiàn) f 為對(duì)角形。,注：,由（1）可見(jiàn)，每一項(xiàng)中變量的方次之和均為2。,如：,不是二次型,是二次型,二、二次型的矩陣與二次型的秩,例1 將下列二次型用矩陣表示。,解,稱A為二次型,的矩陣,（3）,簡(jiǎn)記為,令,推廣：,的矩陣，,與,可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，,的秩稱為,稱上式中實(shí)對(duì)稱矩陣,為二次型,的秩。,二次型,例2 將下列二次

2、型寫成矩陣形式。,解,的矩陣,是一實(shí)對(duì)稱矩陣，,二次型,解,的矩陣,是一實(shí)對(duì)稱矩陣，,二次型,解,的矩陣,是一實(shí)對(duì)稱矩陣，,使二次型,若通過(guò)線性變換,經(jīng)變換后化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。,即通過(guò),因?yàn)?其中,為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。,一、二次型的滿秩線性變換,正交變換法,第六節(jié),化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,稱 為可逆線性變換。,（1）當(dāng) 是可逆矩陣時(shí)，,（2）當(dāng) 是正交矩陣時(shí)，,稱 為正交變換。,二、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,如果存在正交矩陣P，使,如果在滿秩線性變換,中，,C是正交矩陣，則,稱它是正交線性變換矩陣，簡(jiǎn)稱正交線性變換。,由于實(shí)二次型的矩陣是一個(gè)對(duì)稱方陣，,故對(duì)于任意,一個(gè) n 元實(shí)二次型,一定

3、可以找到一個(gè)正,交變換,使得,對(duì)二次型,存在正交變換 使,其中,為 的特征值。,其中P 的列向量是A的相應(yīng)于特征值的n個(gè)兩兩正交,的單位特征向量。,定理1 （主軸定理）,例1 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，,正交變換。,解 （1）寫出二次型 f 的矩陣A .,(2) 求出A 的全部特征值及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的,特征向量。,并求出所用的,而它們所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量為,(3) 寫出正交變換,取正交矩陣,則得所欲求的正交變換,即,（4） 寫出,的標(biāo)準(zhǔn)形。,易知經(jīng)上述正交變換,后所得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,必須指出：,把實(shí)二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)形后，,所得標(biāo)準(zhǔn)形雖然不是惟一的，,但在標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)不,等于零的平方

4、項(xiàng)的個(gè)數(shù)是由A的秩所惟一確定的。,并且,在標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)為正的的個(gè)數(shù)p 與負(fù)的個(gè)數(shù),r - p也都是惟一確定的。,它們依次被稱為實(shí)二次型,的正（負(fù)) 慣性指數(shù)。,2.,解 二次型的矩陣為,3）對(duì)每個(gè)基礎(chǔ)解系進(jìn)行Schmidt正交化、再單位化：,作正交變換 X=QY，則,3.,解 （1）寫出二次型 f 的矩陣A .,(2) 求出A 的全部特征值及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的,特征向量。,當(dāng),時(shí)解,解之,其基礎(chǔ)解系,先將,正交化。,單位化,當(dāng),得同解方程組,基礎(chǔ)解系為,時(shí)解,單位化,(3) 寫出正交變換,取正交矩陣,則得所欲求的正交變換,的標(biāo)準(zhǔn)形。,易知經(jīng)上述正交變換,后所得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。,（4） 寫

5、出,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形顯然不是唯一的，,只是標(biāo)準(zhǔn)形中,所含項(xiàng)數(shù)是確定的（即是二次型的秩R(A),不僅如此,在限定變換的實(shí)變換時(shí)，,標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)的個(gè)數(shù)是不,變的（從而負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)也不變）。,這與選擇的線性,變換無(wú)關(guān)，,可設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：,三、正定二次型,令,（1）式變成,則稱 (2) 為實(shí)二次型,的規(guī)范型。,其平方項(xiàng)系數(shù)為 1，1，0。,設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：,(慣性定理),定理2,任何實(shí)二次型總可以經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡?線性變換化成規(guī)范形,規(guī)范形是唯一的.,其中 為 的秩.,都有,定義,設(shè),為實(shí)二次型,(A為實(shí)對(duì)稱矩陣),如果對(duì)于任意非零向量,稱 為正定(半正定)二次型,稱正定(半正定),二次型 的矩陣 為正定(半正定)矩陣.,2、正定二次型,判別下列二次型的正定性,任,半正定.,1.,2.,解,1.,代入,2.,不定.,例5,實(shí)二次型,正定,標(biāo)準(zhǔn)形中 個(gè)系數(shù)全為正.,推論2