數(shù)理金融 第八章 二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險管理.ppt

1、1,金融風(fēng)險理論與模型,第5章 二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險管理,2,5.1 概述,二叉樹期權(quán)定價（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出 為期權(quán)定價模型為B-S模型提供一種比較簡單和直觀的方法 二叉樹模型已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)（美式期權(quán)和奇異期權(quán)）定價模型的基本手段 對于所有不能給出解析式的期權(quán)，都可以通過二叉樹模型給出。,3,A Simple Binomial Model,A stock price is currently $20 In three months it will be either $22 or $18,S

2、tock Price = $22,Stock Price = $18,Stock price = $20,4,A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.,5,Consider the Portfolio:long D sharesshort 1 call option Portfolio is riskless when 22D 1 = 18D or D = 0.25,Setting Up a Riskless Portfolio,股股票1份期權(quán)=無風(fēng)險證券1份期權(quán)= D股股票-無風(fēng)險證券,6,5.2 單期二叉樹期權(quán)

3、定價模型,考慮一個買權(quán)在當(dāng)前時刻t，下期t=T到期，中間只有1期，=T-t 假設(shè)該買權(quán)的標(biāo)的股票是1個服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。當(dāng)前股票價格為st=S是已知的，到期股票價格為sT，且滿足,其中，u為上漲因子，d為下跌因子,7,問題：如何確定該期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價值ct？ 設(shè)想：構(gòu)造如下投資組合，以無風(fēng)險利率r借入資金B(yǎng)（相當(dāng)于無風(fēng)險債券空頭），并且在股票市場上購入N股股票（股票多頭）。 目的：在買權(quán)到期日，上述投資組合的價值特征與買權(quán)完全相同。,8,在當(dāng)前時刻t，已知股票的價格為s，構(gòu)造上述組合的成本為,在到期時刻T，若希望該組合的價值v與買權(quán)的價值完全相同則必須滿足,由上兩式得到,由此得到的組

4、合 稱為合成期權(quán)（synthetic option），由無套利定價原則，在當(dāng)前時刻t買權(quán)的價值為,10,例子,假設(shè)有1個股票買權(quán)合約，到期日為1年，執(zhí)行價格為112美元，股票當(dāng)前的價格為100美元，無風(fēng)險利率為8（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。在到期日股票的價格有兩種可能：180美元或者60美元，求期權(quán)的價值？,11,12,Dicussion: Risk-neutral probability,p is Risk-neutral probability for all securities 。 stocks expected relative return is,Options expected re

5、lative return is,So，p is a variable which make riskful stock and call options expected return are both only riskless interest rate. For the above reason, We call p “risk neutral probability”.,13,Dicussion: Risk-neutral probability,在風(fēng)險中性世界中，主觀概率q沒有出現(xiàn)。 雖然個人對q的信念是不同的，但是在期權(quán)的定價過程中并沒有涉及到q，也就是人們對q認(rèn)識的分歧并不影響

6、對期權(quán)的定價結(jié)果。 投資者最終都一致風(fēng)險中性概率p，它只取決于r，u，d這三個客觀因子。,14,Dicussion: Risk-neutral probability,風(fēng)險中性世界，不必考慮風(fēng)險，這等價于假設(shè)投資者是風(fēng)險中性的。 若在期初構(gòu)造如下組合：以S的價格買入N股股票，同時以c的價格賣出1個期權(quán)，則該組合的投資成本為NSc必然等于B。 若sTsu,若sTSd,15,投資者雖然投資于有風(fēng)險的股票和期權(quán)，但是由二者構(gòu)成的組合NSc，即相當(dāng)于投資1個無風(fēng)險的證券。 組合貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)率只能是無風(fēng)險利率 由于是無風(fēng)險證券，對于理性投資者，不論其偏好如何，其風(fēng)險態(tài)度對于這樣的組合是無關(guān)緊要。只要考慮

7、收益的大小即可，由此大大簡化資產(chǎn)的定價。 基于上述的理由，只要以上述方式構(gòu)建投資組合來對期權(quán)定價，就等價于假設(shè)投資者是風(fēng)險中性的，既然是風(fēng)險中性的，則對這樣的組合定價就不必考慮風(fēng)險問題。,16,由于標(biāo)的資產(chǎn)市場價格是1個連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可能只有2種情形，因此可以考慮將時間T-t分為多段處理，首先介紹兩階段模型。,5.3 兩階段二叉樹定價模型,兩階段模型（Two-step binomial tree) 若把從定價日t至到期日T的時間區(qū)間T-t，劃分為2個階段，在每1個階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格只可能取2種狀態(tài)，上漲和下跌，且上漲和下跌的幅度相等，則第2階段結(jié)束時候（t=T），標(biāo)的資

8、產(chǎn)價格的取值為3個，并且令h為每個階段的時間長度,17,兩階段模型示意圖,其中，u1/d,18,第2期本來有4種狀態(tài)，為簡化分析，不妨規(guī)定u=1/d，則第2、3兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，故將其合并。 期權(quán)到期日價值的所有可能值為,兩階段模型,19,由1階段模型可知，在風(fēng)險中性條件下,注意：風(fēng)險中性概率p只與r，h，u，d有關(guān)，當(dāng)上述值確定下來后，兩個階段的p就完全相同，這也正是階段平分的優(yōu)點(diǎn)。,20,當(dāng)前時刻t，期權(quán)的價值為,21,定價思路：倒推定價法,首先得到2期節(jié)點(diǎn)的股票價格，從而得到該期的期權(quán)價格。 采用風(fēng)險中性定價，通過貼現(xiàn)得到1期節(jié)點(diǎn)的股票價格和期權(quán)價格。 由1期的股票價格得到期權(quán)價格，得

9、到當(dāng)前期權(quán)的價格。 風(fēng)險中性定價下，每一期的風(fēng)險中性概率都是相同的。,22,將定價日t到到期日T的時間進(jìn)一步等分為n個階段，每個階段的長度為h,5.4 n階段二叉樹定價模型,標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的狀態(tài)可能取值為n1個. 若n，即每個階段所對應(yīng)的長度無窮小，則完全有理由用二叉樹來近似表示標(biāo)的資產(chǎn)價格的連續(xù)變化過程。 數(shù)學(xué)意義：根據(jù)中心極限定理，若n充分大，則二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布 思路：推導(dǎo)出n期的二項(xiàng)式模型，然后令n趨于無窮。,23,標(biāo)的股票當(dāng)前價格為St=S，而在以后任意一期，股價的變化有上升和下降兩個可能。這樣經(jīng)過n期后（到期日T），若該股票上漲j次，下跌n-j次，到期日T股價ST為,由概率論

10、可知，sT服從二項(xiàng)分布（binomial distribution) ，所以，具有j次上漲，n-j次下降的股票價格sT的概率為,24,recall： binomial distribution,假設(shè)在一個不透明的袋子中有N個球，其中M個是白色的，其余N-M個球是黑色的，則每次取球取到白球的概率是p=M/N。 若有放回地取球n次，稱之為n重貝努里試驗(yàn)。在貝努里試驗(yàn)中剛好取到j(luò)次白球的概率記為b(j;n,p),25,recall： binomial distribution,由于b(j;n,p)剛好是二項(xiàng)式,例如第j項(xiàng)就是,故上述分布又稱為二項(xiàng)式分布，并且成立,26,recall： binomia

11、l distribution,由于二項(xiàng)式分布計(jì)算復(fù)雜，為簡化計(jì)算。當(dāng)n，可以用正態(tài)分布逼近（定理：獨(dú)立同分布下的中心極限定理）。 設(shè)隨機(jī)變量Ynb(j;n,p)，則隨機(jī)變量,27,參照2階段模型的思路，從最后的n期（T時刻）開始逐期向前推導(dǎo)，則期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價格為,公式意義：在風(fēng)險中性世界里，將期權(quán)到期時所有的可能值對當(dāng)前時刻貼現(xiàn)，并以風(fēng)險中性概率加權(quán)，得到的是期權(quán)現(xiàn)值的期望值。 此期望值是期權(quán)的真實(shí)值嗎？,28,For example: two-step binomial trees,29,5.5 CRR model: n-step binomial trees,30,31,How to

12、 compute u or d?,33,Choosing u and d,One way of matching the volatility is to set,where s is the volatility and h is the length of the time step. This is the approach used by Cox, Ross, and Rubinstein. Neutral-risk probability is,34,Simplify first term,=1,35,Binomial equation,36,37,Simplify second t

13、erm,38,Simplify all terms,Next step, we must deduce d1 and d2 when n,39,deducing d1 and d2 (for m),40,deducing d1 and d2 (for p),41,42,43,deducing d2,44,Result: Black-Scholes formula,45,5.6 How to choose u and d,Black-scholes model assume the motion of stock price satisfies the Geometry Brown motion

14、 or logarithm normal distribution,46,How to choose u and d,In binomial model, we assume,q is probability of stock price up in real worlds.,47,How to choose u and d,48,49,So, we find one solve of the equation,In risk-neutral world, the return of securities must be r, which means,50,Disscusion: Choosi

15、ng u and d,We have know neutral probability p for any step,51,We can get,Prove: in risk-neutral world,Varian of a stocks return in,According to Geometry Brown motion,52,53,Substituting for u and d, the terms of higher than 2 power are ignored.,From Cox，Ross and Rubinstein(1979),54,美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面

16、上看是一個非常微小的變化，但是歐式期權(quán)與美式期權(quán)（尤其是看跌期權(quán)）價值有很大的不同。 We know the value of the option at the final nodes We work back through the tree using risk-neutral valuation to calculate the value of the option at each node, testing for early exercise when appropriate 美式期權(quán)沒有解析解，故采用二叉樹方法來逼近。,5.7 Application: American opt

17、ion pricing,55,American option pricing,56,以無收益證券的美式看跌期權(quán)為例。把該期權(quán)有效期劃分成N個長度為h的小區(qū)間，令 表示在時間 時第j個結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價值，同時用 表示結(jié)點(diǎn) 處的證券價格，可得： 后，假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險中性條件下：,57,Example: American Put Option(See Example 16.1, page 391),S = 50; X = 50; r =10%; s = 40%; T = 5 months = 0.4167 (year); h = 1 month = 0.0833 (year);

18、 The parameters imply u = 1.1224; d = 0.8909; = 1.0084; p = 0.5076,58,為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個月（等于0.0833年）。可以算出：,59,Example,X50,60,5.5 二叉樹模型的程序,example ：Price an American call option using a binomial model. Again, the asset price is $100.00, the exercise price is $95.00, the risk-free interest rate

19、 is 10%, and the time to maturity is 0.25 years. It computes the tree in increments of 0.01 years, so there are 0.25/0.01 =25 periods in the example. The volatility is 0.50, this is a call (flag = 1), the dividend rate is 0, and it pays dividend of $5.00 after three periods (an ex-dividend date). Ex

20、ecuting the toolbox function,61,MATLAB financial toolbox AssetPrice, OptionPrice = binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv) StockPrice, OptionPrice = binprice(100, 95, 0.10, 0.25,0.05, 0.50, 1, 0, 5.0, 3);,StockPrice = Columns 1 through 4 100.0000 111.2713 12