第九章 振動.ppt

1、,第9章 振 動,9-1 簡諧振動 振幅 周期和頻率 相位,9-2 旋轉(zhuǎn)矢量,9-3 單擺和復(fù)擺,9-4 簡諧運動的能量,9-5 簡諧運動的合成,*9-6 阻尼振動和受迫振動,9-1 簡諧運動,機(jī)械振動: 物體在一定位置附近作來回往復(fù)的周期性運動.,廣義振動：,任一物理量在某一數(shù)值附近作周期性變化時，,簡諧運動: 最簡單最重要的振動 (正余弦形式的運動),疊加原理：任何復(fù)雜的振動都可以看作是間諧振動的疊加。,稱該物理量在作振動。 （如交流電的電流、電壓，電磁波中的電場和磁場等。）,一、簡諧運動 (諧振動),物體振動時，如果離開平衡位置的位移隨時間的變化可表示為余弦或者正弦函數(shù)，則該振動稱為簡諧

2、運動 ( 簡稱諧振動 )。,1. 彈簧振子,彈簧振子：輕質(zhì)彈簧 + 物體（無摩擦）。,振動物體所受合外力為零的位置。,平衡位置：,平衡位置,- 簡諧振動的運動方程,其解為：,-積分常數(shù)，由初始條件確定,受力:,平衡位置,令：,根據(jù)初始條件確定 A 和 ,注意：在一個周期內(nèi) 可取兩個值，取哪個值可用初始 速度的正負(fù)來判斷。,線形回復(fù)力：,簡諧運動的特征：,只要滿足上面之一既為簡諧振動,運動方程:,微分方程:,2. 簡諧振動的速度和加速度,取,振動曲線,也是簡諧運動.,二. 簡諧運動的特征量,周期T ：物體完成一次全振動所需的時間。,物體在單位時間內(nèi)完成振動的次數(shù)。,頻率 ：,1. 周期T 頻率

3、角頻率,周期T 頻率 角頻率 - 系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,角頻率（圓頻率）：,單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度。,彈簧振子:,2. 振幅 A,諧振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。,因此 決定振動物體的運動狀態(tài) 。,3. 相位,是 t 時刻的相位。,是 t =0 時刻的相位，稱初相。,4. 同相與反相,相位差,同頻率的兩振動：,當(dāng) = 2k , ( k =0,1,2,) ,兩振動步調(diào)相同,稱同相。,x2,T,x,o,x1,t,同相,當(dāng) = (2k+1) , ( k =0,1,2,) ,兩振動步調(diào)相反,稱反相。,x2,T,x,o,x1,t,反相,討論: 已知 t =0 時， 彈簧振子處在平衡位置向正方向運動.

4、 求 ,勻速旋轉(zhuǎn)的角速度為:,9-2 旋轉(zhuǎn)矢量,-簡諧運動方程,旋轉(zhuǎn)矢量:,繞o點旋轉(zhuǎn),t=0時A和x軸夾角:,t 時刻A和x軸夾角:,t 時刻A的x軸投影:,簡諧運動和圓周運動一一對應(yīng)。,設(shè)計一旋轉(zhuǎn)矢量：,以o為原點旋轉(zhuǎn)矢量 的端點在x軸上的投影點的運動為簡諧運動.,結(jié)論： 簡諧振動和旋轉(zhuǎn)矢量一一對應(yīng)( x, A, , , t+ ) 可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧振動,t =0,t 時刻,例1 求下列振動的初相位,1）,2）T=2s, t=1s時，處在平衡位置向正方向運動。,例2 一簡諧振動T=2s, 問從A/2處運動到平衡位置所需的最短時間。,例3 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系

5、數(shù)k=0.72N/m，物體的質(zhì)量m=20g,把物體從平衡位置向右拉到 x = 0.05m 處停下后再釋放。 1）求簡諧運動方程； 2）物體在 x=0.05m 處所受的力； 3）求物體從初位置運動到第一次到達(dá) A/2 處時所需時間和速度; 4）如果物體在 x=0.05m 處時速度不等于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其運動方程.,0.05,解 1),由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知,2),3) 求物體從初位置運動到第一次到達(dá) A/2 處時所需時間和此時的速度,由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知:,（負(fù)號表示速度沿ox軸負(fù)方向）,由旋轉(zhuǎn)矢量圖,0.05,0.0707,4) 如果物體在 x =0.05m 處時速度不等

6、于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其運動方程.,例4 一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡諧運動，其振幅為0.08m，周期為4s，起始時刻物體在x=0.04m處，向ox軸負(fù)方向運動（如圖）.試求: 1) t=1s時，物體所處的位置和所受的力；,解: 1),由t=0時的旋轉(zhuǎn)矢量圖可知,2)由起始位置運動到 x =-0.04m 處所需要的最短時間.,一. 單擺,9-3 單擺和復(fù)擺,其中小球?qū)的轉(zhuǎn)動慣量:,令:,則:,轉(zhuǎn)動定律:,對o力矩:,有:,o,解為:,其中:,二. 復(fù)擺,（C點為質(zhì)心）,令:,則:,解為:,力矩:,轉(zhuǎn)動定律:,復(fù)擺,彈簧振子,單擺,結(jié)論: 振動頻率只與諧振子自身有

7、關(guān),例1 一質(zhì)量為m 的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的震動周期。設(shè)水的密度為 。,解 此船靜浮時，所受的浮力和重力平衡,y,P,P,任一位置時的合力:,平衡位置,任一位置,例2 在橫截面為S的U形管中有適量液體，液體總長度為l，質(zhì)量為m，密度為 ，求液面上下起伏的振動周期（忽略液體與管壁間的摩檫）。,解 建立 oy, 原點取在液面相平的 位置.,y,y,O,y,當(dāng)左面生高 y 時,受力:,則:,火車沿水平軌道以加速度a 作勻加速直線運動,則車廂中擺長為l 的單擺的周期為,思考1:,思考2: 一長為l質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿，求振動周期。,一塊均勻的長木

8、板質(zhì)量為m, 對稱的放在相距為l = 20cm的兩個滾軸上. 兩滾軸的轉(zhuǎn)動方向相反, 已知滾軸表面與木板的摩擦系數(shù)為 =0.5. 今使木板沿水平方向移動一段距離后釋放, 證明此后木板將作簡諧振動并求其周期.,思考3:,作簡諧運動的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,以彈簧振子為例,9-4 簡諧運動的能量,其中:,能量,例1. 一個質(zhì)量為0.04kg的物體，受恢復(fù)力F=-kx作用，力常數(shù)k=1N/m，當(dāng)t=0時，物體在平衡位置右方0.1m處，速度為0.5m/s向右，試計算此物體作簡諧運動時的 （a）振動周期，頻率和角頻率，（b）總能量，（c）振幅，（d）初相位，（e）最大速度，（f）最大加速度，（g）t=/10s時

9、物體的位置，速度及加速度。（h）在何處動能和勢能相等。,解,（a） =5/s T=0.4 s =1.26s =0.8Hz,（b） E=0.01J,（c） A=0.141m,（d） = - /4 rad,（e） vmax= 0.71m/s,（f） amax= 3.53m/s2,（g） x=0.1m v= -0.5 m/s a= -2.5 m/s2,（h） x= 0.1m,一. 兩個同方向同頻率簡諧運動的合成,兩分振動（同頻率）：,合振動-旋轉(zhuǎn)矢量合成：,結(jié)論：合振動 x 仍是簡諧振動，頻率和分振動相同。,9-5 簡諧運動的合成,t = 0,討論:,1） 若兩分振動同相, 即:,則 A=A1+A2

10、 最大 , 兩分振動相互加強(qiáng)。合振動的相位和分振動相同。,2） 若兩分振動反相, 即:,當(dāng) A1=A2 時, A=0,則A=|A1-A2| 最小, 兩分振動相互減弱。合振動的相位和振幅大的分振動相同。,二.兩個同方向頻率相差很小的簡諧運動的合成 拍,頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強(qiáng)時而減弱的現(xiàn)象-拍.,合振動為：,合振動 :,分振動 :,（ 設(shè)振幅相同,初相均為0 ）,因為：,則有：,其中:,拍振幅的變化頻率-拍頻:,拍的應(yīng)用： 樂器較音，測量頻率，等,拍的振幅:,結(jié)論：合振動 x 可看作是振幅緩變的簡諧振動 - 拍,習(xí)題二，5,t = t,*三、兩個相互垂直同頻

11、率諧振動的合成*,1.分振動,2. 合運動,討論:,1） 當(dāng) = 2 1= k （k為整數(shù)）時:,2） 當(dāng) = （ 2k +1 ） /2 （k為整數(shù)）時：,x,y,四、兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成李薩如圖*,測量振動頻率和相位的方法,李 薩 如 圖,9-6 阻尼振動 受迫振動 共振,一. 阻尼振動,1. 阻尼力,2. 振動的微分方程,式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系數(shù)),3. 幾種阻尼振動模式,（1）小阻尼,（3）大阻尼,l0,x,（2）臨界阻尼,（2）臨界阻尼( n2 = 2 ),（1）小阻尼 ( n2 2 ),在過阻尼和臨界阻尼時無振動.,x,t,O,大阻尼,臨界阻尼,x,t,O,（3）大阻尼( n2 2 ),二. 受迫振動,1. 受力分析,彈性力,阻尼力,周期性干擾力,2. 受迫振動的微分方程,l0,x,3.受迫振動微分方程的穩(wěn)態(tài)解為:,其中，振幅 B 及受迫振動與干擾力之間的相位差分