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1、一階線性微分方程的標準形式:,上方程稱為.,上方程稱為非齊次的.,例如,線性的;,非線性的.,一階線性微分方程,一、線性方程,一階線性微分方程的解法,1. 線性齊次方程,(使用分離變量法),齊次方程的通解為,2. 線性非齊次方程,討論,兩邊積分,非齊次方程通解形式,與齊次方程通解相比,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.,作變換,積分得,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對應齊次方程通解,非齊次方程特解,非齊次線性方程的通解,相應齊方程的通解,等于,與非齊次方程的一個特解之和,即,非齊通解 = 齊通解 + 非齊特解,線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)

2、良的性質(zhì)。,例1,解,解方程,解,相應齊方程,解得,令,例2,代入非齊方程,解得,故非齊次方程的通解為,例3,解方程,解,這是一個二階線性方程,由于其中不含變量 y,若令,化成一階線性方程,其通解為,即,再積分,即為原二階方程的通解,例4 如圖所示，平行與 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .,解,兩邊求導得,解此微分方程,所求曲線為,一階線性微分方程的通解也可寫成,方程,令,即化為一階線性微分方程,注,二、伯努利方程,伯努利(Bernoulli)方程的標準形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,代入上式,求出通解后，將 代入即得,例 5,解,例6 用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,所求通解為,解,分離變量法得,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,注,利用變量代換將一個微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法,如,齊次型、可化為齊次型、一階線性方程 、Bernoulli 方程等,都是通過變量代換來求解方程的。,將,變換為,也是經(jīng)?？梢钥紤]的,三、小結(jié),1.齊次方程,2.線性非齊次方

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