常見分布二項分布和正態(tài)分布

1、第三節(jié) 二項分布與正態(tài)分布,一 二項分布 1 二項分布的定義 定義 在一定條件下做試驗，若對該試驗中的每一個試驗結(jié)果（即樣本點或基 本事件） ，都唯一地對應(yīng)著一個確定 的實數(shù) 則稱 為隨機變量，簡 記為 簡言之，隨機變量即為試驗結(jié)果的函數(shù)。,例1 設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有10件次品，現(xiàn)從中任取5件，問：抽得的次品數(shù)是多少？,例2 某射手每次射擊打中目標的概率都是0.8，現(xiàn)連續(xù)向一個目標射擊，直到第一次射中為止，則射擊次數(shù)X是一個隨機變量，且X=1,2,3, 。,隨機變量的概念在概率統(tǒng)計中既基本又重要，在實際問題中隨機變量比比皆是。如在工業(yè)生產(chǎn)中，隨便取一產(chǎn)品，問它的質(zhì)量指標（強度、硬度、光潔度

2、、纖維長度， ）是多少，這個質(zhì)量指標就可以看作是一個隨機變量。我們要學(xué)會把隨機變量概念與實際工作中的具體問題自然地聯(lián)系起來。,定義 若隨機變量X僅取有限多個或可數(shù)無窮多個值，則稱X為離散型隨機變量。 顯然，例1、例2中的隨機變量X均為離散型的。,定義 設(shè)離散型隨機變量X的取值為 （有限多個或可數(shù)無窮多個），則稱 為X的概率分布或分布列。 概率分布表：,概率分布的性質(zhì)： （1） （2）,不難計算出例1、例2中的概率分布： 對例1中的X，有 對例2中的X，有,定義 若隨機變量X的概率分布為 則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作XB(n,p)。其中，0p1, q=1 p 。,顯然，若XB(n,p)

3、，則X取n+1個值： 由二項式定理 不難得知，二項分布滿足前述概率分布的兩條性質(zhì)。,例3 設(shè)在單次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，則在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)X滿足 其中,例3中所述的概率模型稱為獨立試驗序列概型，也稱為貝努里概型，其中的XB(n,p)。由此可解決一些實際問題。 例如，設(shè)有n個電子元件，每個發(fā)生故障的概率都是p，則發(fā)生故障的元件個數(shù)XB(n,p)。等等。,2 二項分布的平均值 定義 設(shè)X的概率分布為 則稱 為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望、期望或平均值、均值，也記作M(X),E(X)是描述X取值的平均情況的。關(guān)于此定義的合理性，我們舉例說明如下。 例4 設(shè)隨機變量X的

4、概率分布表為 X 100 200 P 0.01 0.99 由于X僅取100與200兩個值，可能有人認為，X的平均值為100與200的算術(shù)平均值,但另一方面，從直覺看來，這個150并不真正體現(xiàn)X取值的平均，它是將100與200一視同仁的結(jié)果。從概率的角度分析，X幾乎只取200為值（因0.99 1），而取100為值的可能性微乎其微（0.01 0）。因此我們斷言， 這個平均值應(yīng)該非常接近200，而不是150。究竟怎樣算呢？ 由概率的統(tǒng)計定義，假設(shè)進行了1000次（獨立重復(fù)）試驗，則大約有10次使X取100為值，而大約有990次使X取200為值。我們認為X的平均值應(yīng)為這10個“100”與這990個“2

5、00”的算術(shù)平均值：,這個199就是X的真正的平均值，而它恰是經(jīng)過“X的取值乘以相應(yīng)的概率后再累加”后而得到的（加權(quán)平均）。此即前述定義中的E(X),例5 設(shè)XB(n ,p)，則E(X)=np,3 二項分布的標準差 定義 設(shè)X為隨機變量，則稱 為X的方差，稱 為X的標準差。 解釋：D(X)是刻劃隨機變量取值的分散程度的一個數(shù)量指標。,為什么呢？容易想象：既然E(X)為X的平均值， 則可以E(X)為基準，而用 刻劃隨機波 動（分散）程度。為了消除隨機性在人們頭腦中形成的不太確切的印象，可考慮所謂平均波 動程度 （注意： 也是 隨機變量）。這樣做原則上是可以的，但絕對值參與運算往往不方便。為了理論上的合理和 運算上的方便，通常用 來刻劃隨 機波動程度。這樣，總的（平均）波動程度就 變成 ，這就是方差D(X)。,標準差的概率意義與方差是類似的，只不過大小不一定相等而已。 顯然，方差（標準差）越大，波動就越大（穩(wěn)定性越差）；方差（標準差）越小，波動就越?。ǚ€(wěn)定性越好）。,可以證明：若XB(n ,p