第五章立體的投影.ppt

1、1,第五章 立體的投影 及表面交線,2,5.1 基本體的投影,5.2 平面與基本體相交,內(nèi) 容,5.3 兩回轉(zhuǎn)體表面相交,3,5.1 基本體的投影,單一的幾何體稱為基本體。如：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球、環(huán)等。它們是構(gòu)成形體的基本單元，在幾何造型中又稱為基本體素。,1. 基本概念,4,基本體的分類,表面僅由平面圍成的 基本體 平面體,表面包含曲面的 基本體 曲面體,構(gòu)成基本體的所有表面以及形成該 形體的特征線（軸線）投影的總和,基本體的投影,5,平面體,棱柱,側(cè)棱面,底面,棱線,底邊,棱柱的棱線相互平行,形成,由多邊形沿直線 拉伸而成,L,m,L m 直棱柱,L m 斜棱柱,2. 基本體的投影

2、,6,棱柱投影特性分析（以正六棱柱為例） 棱柱的頂面和底面均為水平面，其水平投影反映實形，在正面及側(cè)面投影積聚成一直線。 前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側(cè)面投影積聚為一直線。 棱柱的其他四個側(cè)棱面均為鉛垂面，水平投影積聚為直線，正面投影和側(cè)面投影均為類似形。 棱線為鉛垂線，水平投影積聚為一點，正面投影和側(cè)面投影均反映實長。 棱柱的邊為側(cè)垂線或水平線，側(cè)面投影積聚為一點或是類似形，水平投影均反映實長，側(cè)垂線正面投影亦反映實長。,7,棱柱的投影,長,高,寬,寬,H、V投影 長相等,V、W投影 高相等,H、W投影 寬相等,“三等”關(guān)系,8,在棱柱表面取點,例：棱柱表面上一點A，

3、已知a，求a、a,注意分析點所在表面的位置,a,a,a,A,基本方法 面內(nèi)取點方法,思考：若A點的正面投影不可見，結(jié)果如何？,9,棱錐,錐頂,棱錐的棱線相交于錐頂,側(cè)棱面,底面,棱線,底邊,形成,由多邊形沿直線 拉伸而成。但拉 伸過程中多邊形 大小均勻變化,L,m,10,棱錐的投影,s,a,b,c,a,c,b,s,b,a(c),s,11,在棱錐表面取點取線,例 棱錐表面的折線MNK(mnk)求另二投影,如何在平面上取點？,K,m,(k),n,M,N,分析,M SA,N SB,K SBC,n,k,m,m,n,k,連線,注意分析點、直線 所在表面的可見性,12,曲面體（回轉(zhuǎn)體）,圓柱體,形成,軸線

4、,底面,圓柱面, 圓沿與其垂直 的直線拉伸形成, 矩形繞其邊旋 轉(zhuǎn)形成,L,圓柱面的形成,軸線,母線,素線,13,圓柱體的投影,對V面的外 形輪廓線,對W面的外 形輪廓線,外形輪廓線投 影的對應(yīng)關(guān)系,圓柱面投影 可見性判斷,14,圓柱體表面取點取線,例 圓柱體表面一點M ，已知m求m ，m,M,m,m,m,( ),15,例 AC位于圓柱體表面，已知ac，求ac、a”c”,a,(c),分析,ac不平行軸線 故AC為曲線,作圖,找特殊點,求H投影,求W投影,光滑連接曲線,b,d,a,c,b,d,b,(d),a,(c),外形輪廓線上的 點是曲線投影的 虛、實分界點,16,圓錐體,形成,S,底面,圓錐

5、面,錐頂,軸線,直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成,L, 圓沿與其垂直的直 線拉伸形成。拉伸過 程中其直徑均勻變化,圓錐面的形成,過圓錐面上任一點可作 一條直線通過錐頂、亦 可在圓錐面上作一圓,17,圓錐體的投影,S,s,s,對V面的外 形輪廓線,對W面的外 形輪廓線,外形輪廓線投 影的對應(yīng)關(guān)系,圓錐面投影 可見性判斷,s,18,圓錐體表面取點取線,例 圓錐體表面一點M，已知m，求m，m,S,M,m,m,( ),m,如何在曲面內(nèi)取點？,輔助線如何作？,作直素線,作水平圓,19,例 ABC位于圓錐體表面，已知V投影，求H、W 投影,a,b(c),分析,ABC不通過錐 頂，故為曲線,作圖,找特殊點,求H

6、、W面投影,光滑連接曲線,d (e),a,c,b,d,e,(a),b,c,d,e,20,圓球,軸線,圓球表面無直線！,形成,圓繞其直徑旋轉(zhuǎn) 而成,球面,圓球面的形成,21,圓球的投影,a,b,c,外形輪廓線投 影的對應(yīng)關(guān)系,球面投影 可見性判斷,22,點N在球面的 一水平圓上,n,n,n,圓球表面取點取線,N,( ),例 圓球表面一點N，已知n，求n ，n,23,平面 基本體 截交線,平面體,本節(jié)重點：截交線求法,回轉(zhuǎn)體,5.2 平面與基本體相交,截平面,共有線,24,平面截切的基本形式,截交線與截斷面,25,截交線的特點： 截平面與立體表面共有點的集合。截交線形狀是由直線組成封閉的多邊形。多

7、邊形的頂點為平面立體上有關(guān)棱線（包括底面邊線）與截平面的交點。,求截交線的方法： 可歸結(jié)為求截平面和立體表面共有點的問題。實際上是求立體參與相交的各棱線和底面邊線與截平面的交點。,26,例1,A,B,C,P,求截交線并完成截頭三棱錐的三投影,先求棱錐側(cè)投影,求截交線,a,c,b,a,c,b,a,b,c,截交線求法,截平面棱線=交點,截平面棱面=交線,棱線法,棱面法,平面與平面體相交,27,例2：求五棱柱被截頭后的三面投影。,空間分析：,作圖步驟：,1、畫出五棱柱未被截切時的側(cè)面投影。,2、求參與相交的各棱線與截平面交點的投影。,3、判別可見性并連線。,4、補齊輪廓線。,4條棱線及2條底邊參與相

8、交，因此截交線為一平面六邊形。,28,平面與曲面體相交,1. 基本概念,表面包含曲面的 基本體 曲面體,2、平面 曲面體 截交線,共有線,回轉(zhuǎn)體,截平面,本節(jié)重點：曲面體截交線的求法,曲面體表面求若干共有點的方法,輔助線,輔助平面,29,平面與圓柱體相交,P軸線 截交線為圓,P/軸線 截交線為矩形,P 軸線 截交線為橢圓,P,P,P,30,例 如圖圓柱被正垂面截切，求出截交線的另外兩個投影。,由于平面與圓柱的軸線斜交，因此截交線為一橢圓。截交線的正面投影重影為一直線，水平投影與圓柱面的投影重影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點的方法求出。,具體步驟如下：,（1）先作出截交線上的特殊點。,（2）再

9、作出適當(dāng)數(shù)量的一般點。,（3）將這些點的投影依次光滑的連接起來。,1,1,5,5,3,7,3,(7),1”,5”,3”,7”,2,2,2”,4,6,8,4,4”,（4）補全側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線。,8”,6”,31,例 求圓柱體被平面P、Q截切后的投影,P,Q,截交線分析,P/圓柱體軸線，P圓柱面交線為直線,Q 圓柱體軸線，Q圓柱面交線為橢圓曲線,非圓曲線畫法,找特殊點,中間點,光滑連接曲線,檢查,外形輪廓線投影,p,q,32,若增加圓柱孔結(jié)果將如何？,內(nèi)、外交線分別求解,求外表面交線,求內(nèi)表面交線,檢查孔的外形 輪廓線投影,注意檢查 孔的外形輪廓線投影 截平面與孔的交線,檢查交線,無線!,3

10、3,平面與圓錐體相交,P,P軸線 交線為圓,P,P軸線 交線為橢圓,平面P與圓錐面的交線,34,P軸線 = 交線為拋物線,P,P,P軸線 0 交線為雙曲線,平面P與圓錐面的交線,35,平面P與圓錐面的交線,P,P過錐頂 交線為直線,P軸線,交線為橢圓,P 軸線 ,P 軸線 =,P軸線 0,交線為拋物線,交線為雙曲線,P過錐頂,交線為直線,交線為圓,歸納,36,例 求截交線,截交線分析,截交線為橢圓,橢圓畫法,是什么點？,橢圓短軸的投影,截交線投影分析,特殊點 中間點 光滑連接曲線,交線可見性,P,P,截交線投影仍為橢圓,檢查,外形輪廓線投影,外形輪廓線 終止點 截交線投影 虛實分界點,37,例

11、 圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個投影。,3,4,2,1,5,3,2,(4),1,(5),4”,3”,2”,1”,（1）先求特殊點。,（2）再求一般點。,（3）依次光滑連接各點。,5”,具體步驟如下：,38,4,1,(2),(4),3,(6),5,(8),7,9,(10),2”,1”,3,3”,4”,6,5,5”,6”,(12),11,11”,12”,7,8,7”,8”,9,10,10”,9”,11,12,例：已知立體的正面投影，試完成H、W兩面投影,2,1,39,40,平面與球體相交,平面與圓球體相交其截交線均為圓,例,P,Q,P面交線的H投影 為圓弧曲線,投影分析,Q面交線的W投影

12、為圓弧曲線,41,綜合舉例,求作水平投影,p,q,p,q,雙曲線,P,Q,求與大圓柱的交線,求與小圓柱的交線,求與圓錐的交線,加深,42,小 結(jié),基本體的投影,注意:曲面體（回轉(zhuǎn)體）,重要的投影規(guī)律, “三等”規(guī)律, 外形輪廓線投影的對應(yīng)關(guān)系, 整體、局部,43,求截交線的本質(zhì), 求截平面與立體的共有點,立體的形狀,截平面相對于立體的位置,截交線的形狀,取決于,截交線投影的形狀,取決于截平面相對于投影面的位置,44,截平面與立體的相交形式,單體單面,基本形式,單體多面,多體多面,分別分析單面 與單體交線,截平面與截平面 之間的交線分析,體與體連接處的 交線分析,45,求截交線的基本方法步驟,定

13、性分析,截交線的形狀分析與投影分析,截交線畫法,平面體,棱線法,回轉(zhuǎn)體,非圓曲線,找特殊點 找中間點 光滑連線并判斷可見性,46,回轉(zhuǎn)體外形輪廓線投影的檢查,檢查方法,類似圖形檢查,“三等”關(guān)系檢查,檢查什么,孔的交線問題,47,END,48,3、平面體與曲面立體相交 交線 （相貫線）,共性,交線為二表面所共有線,本節(jié)重點討論：求交線的基本方法,求交線的本質(zhì),求二表面的共有點,49,例,交線形狀分析,由若干段平面曲線 （直線）構(gòu)成的封 閉的空間折線,交線求法,實質(zhì)是求平面體 各表面與回轉(zhuǎn)體 的交線,此段外形輪廓線消失,求交線的基本方法,求截交 線問題,交線投影分析,H、W投影已知 求V投影,交

14、線的投影作圖,50,歸納,相交形式,外表面與外表面相交,外表面與內(nèi)表面相交,內(nèi)表面與內(nèi)表面相交,交線相同,求交線的實質(zhì)相同,求交線的方法相同,51,曲面體與曲面體相交,封閉、光滑的空間曲線,交線形狀分析,52,53,交線求法,例1 圓柱與圓柱相交,方法1：利用積聚性投影 用面上取點的方法求解, 求V面投影,H、W投影已知,交線分析,封閉的空間曲線,投影分析,投影作圖,找特殊點,找中間點,判別可見性 光滑連線,54,例2 求二圓柱體的交線,交線分析,封閉的空間曲線,投影分析,交線的H、W 投影已知 求V投影,投影作圖,特殊點 中間點 光滑連接曲線,PW,檢查,外形輪廓線投影,55,光滑空間曲線,

15、交線分析,例3 圓柱與圓錐相交,投影分析,找中間點,PW,光滑連接曲線,P圓錐 = 圓,圓直線 =交線上的點,W面投影已知 求V、H面投影,投影作圖,找特殊點,P圓柱面 = 直線,方法 2: 輔助平面法 利用“三面共點”的原理,輔助面,輔助面與二 回轉(zhuǎn)體表面 交線的投影 為直線或圓,選擇原則,56,假想用水平面P截切立體，P面與圓柱體的截交線為兩條直線，與圓錐面的交線為圓，圓與兩直線的交點即為交線上的點。,57,例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。,1,b,2,3,a,a,4,1,24,b,a,3,b,4,a,1,b,2,3,QW,RW,PW,a,空間分析：,相貫線的側(cè)面投 影與圓柱體的

16、側(cè) 面投影重合。,輔助面法求解,輔助面的位置： 平行圓柱的軸線， 垂直圓錐的軸線。,作圖：,找特例點。,補充若干個一般點。,判別點投影的可見性并依次光滑連線。,補全輪廓線。,58,例5、求圓柱與半球相貫線的投影,相貫線的側(cè)面投影積聚在圓柱的表面上。水平圓柱與半球的公共對稱面平行于V面，故相貫線是一條前后對稱的空間曲線。,求圓柱與半球的相貫線,59,作圖步驟：,1）求特殊點：,2）求一般點：,3）判斷可見性，依次光滑連接各點：,4）補畫水平轉(zhuǎn)向輪廓線。,60,本章結(jié)束了，你掌握得如何？,61,例,四棱柱被 P、Q截切，求側(cè)投影,P為正垂面，p、p為類似圖形 p為四邊形,投影分析,Q為鉛垂面，q、q為類似圖形 q為五邊形,P,Q,按“三等”關(guān)系作圖,p,p,q,q,p,q,1,2,3,4,1,4,3,4,1,2,求p,求q,5,6,7,5(6),(7),5,6,7,（2）,（3）,類似圖形,“三等”關(guān)系,檢查,62,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例 求做立體被截切后的投影,2”,63,例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,3,2,1,(4), 空間分析,交