《微積分一》導數的基本公式與運算法則ppt課件.ppt

1、一、函數的和、差、積、商的求導法則,二、反函數的導數,三、基本初等函數的導數,四、復合函數的導數,3.3 導數的基本公式與運算法則,五、隱函數的導數,六、對數求導法,八、綜合舉例,七、由參數方程所確定的函數的導數,一、函數的和、差、積、商的求導法則,如果u(x)、v(x)都是x的可導函數 則它們的和、差、積、商(分母不為零時)也是x的可導函數 并且,u(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),特別地 cu(x)cu(x),公式的推廣,(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un,二、反函數的導數,設函

2、數yf(x)在點x處有不等于0的導數f (x) 并且其反函數xf 1(y)在相應點處連續(xù) 則f 1(y)存在 并且,簡要證明,這是因為,三、基本初等函數的導數,1 常數的導數,(c)0,這是因為,1 (c)0,2 冪函數的導數,這是因為,1 (c)0,3 指數函數的導數,(ax)axln a,(ex)ex,這是因為,4 對數函數的導數,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數的導數,(sin x)cos x,這是因為,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數的導數,這是因為,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,1 (c)0,

3、3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函數的導數,這是因為 函數 yarcsinx與xsin y互為反函數 所以由反函數的求導公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,基本導數公式,課前復習,1. 導數的幾何意義？切線方程？,2. 可導與連續(xù)的

4、關系？,反之不成立！,例1.計算下列函數的導數.,0,0,1）,4）,5）,6）,7）,8）,2）,3）,_,),(,2,=,e,解：,解：,例2.,解：,解：,解：,解：,解：,?,四、復合函數的導數,設u(x)在點x處可導 yf(u)在對應點u處可導 則復合函數yf(x)在點x處也可導，且其導數為,簡要證明,推廣,設yf(u) u(v) v(x) 則復合函數y (x)對x的導數是,四、復合函數的導數,設u(x)在點x處可導 yf(u)在對應點u處可導 則復合函數yf(x)在點x處也可導，且其導數為,因此,因此,四、復合函數的導數,若yf(x) u(x) 則,解,設yln u usin x

5、則,例11 求函數ylnsin x的導數,解,例12 求函數yarcsin(3x2)的導數,解,y(ax),例10 求函數yax的導數,axln a,axln a(x),解,解,練 習,五、隱函數的導數,顯函數,隱函數,解,例15 求由方程y22px所確定的隱函數yf(x)的導數,將方程兩邊同時對x求導 得,2yy2p,解出y即得,解,將方程兩邊同時對x求導 得,例16 求由方程yxln y所確定的隱函數yf(x)的導數,解出y即得,解,將方程兩邊同時對x求導 得,解出y 得,例17 求由方程e y xy所確定的隱函數y的導數,e yy yxy,解,例18 由方程x2xyy24確定y是x的函數

6、 求其曲線 上點(2, 2)處的切線方程,將方程兩邊同時對x求導 得,2xyxy2yy0,解出y即得,所求切線的斜率為 ky|x2,y21 于是所求切線為 y(2)1(x2) 即yx4,求下列隱函數的導數：,1）,2）,3）,練 習,六、取對數求導法,將函數yf(x)兩邊取對數 轉化為隱函數求導 這種 方法稱之為 “取對數求導法”,解,例19 求函數yxx的導數,法一.,yxxexln x,xx(ln x1),exln x(ln x1),將yxx兩邊取對數,ln yxln x,兩邊對x求導數 得,于是得 yy(ln x1)xx(ln x1),法二.,解,先在兩邊取對數 得,上式兩邊對x求導 得

7、,例20.,思考：具有什么特征的顯函數用對數求導法較好？,1. 冪指函數 2. 多個因子相乘除的函數,練 習,求下列函數的導數：,2. 對數求導法 適用的函數類型？ 方法？,課前復習,隱函數求導法 （1）方法？ （2）特別要注意的地方？,七、由參數方程所確定的函數的導數,設x(t)有連續(xù)反函數t1(x) 又(t)與(t)存在 且(t) 0 則：,解：,解：,例21.,練 習,八、綜合舉例,例22 y3xx333xx 求y,證,所以 y(a)y(a),例23.,例24 已知f(u)可導 求f (ln x) f (xa)n及f (xa)n,f (xa)n,f (xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f (xa)n,f (xa)n(xa)n,f (xa)n,nf (xa)n1f (xa),nf (xa)n1f (xa)(xa),nf (xa)n1f (xa),例25.,解,當x0時,當0 x1時,f (x)1,f (x)2,在x0處f(x)不連續(xù) 故f