《概率論》課件：2-4連續(xù)型隨機(jī)變量及其《概率論》課件：密度

1、第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義 概率密度的性質(zhì) 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 小結(jié) 布置作業(yè),連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間, 對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量, 不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每個(gè)值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.,則稱(chēng) X為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱(chēng) f (x) 為 X 的概率密度 函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度 .,一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義,有,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 上連續(xù),二、概率密度的性質(zhì),1 o,2 o,利用概率密度可確 定隨機(jī)點(diǎn)落在某

2、個(gè) 范圍內(nèi)的概率,對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 , x2 , (x1 x2 ) ,若 f (x) 在點(diǎn) x 處連續(xù) , 則有,(1) 連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a 的概率均為0. 即,這是因?yàn)?請(qǐng)注意:,當(dāng) 時(shí),得到,(2) 對(duì)連續(xù)型 r.v X , 有,由P(B)=1, 不能推出 B=S,由P(A)=0, 不能推出,1. 均勻分布,則稱(chēng)X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，,X U(a, b),三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,若 r .v X的概率密度為：,記作,2 . 指數(shù)分布,若 r .v X具有概率密度,為常數(shù),則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,記為XE().,若X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分

3、布, 則其分布函數(shù)為,3. 正態(tài)分布,若連續(xù)型 r .v X 的概率密度為,記作,其中 和 ( 0 )都是常數(shù), 則稱(chēng)X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布或高斯分布.,曲線(xiàn) 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)；,x = 為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；,f (x) 以 x 軸為漸近線(xiàn)，即,當(dāng)x 時(shí)，f(x) 0.,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和唯一確定， 當(dāng)和不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。,正態(tài)分布 的分布函數(shù),下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的性質(zhì) :,事實(shí)上

4、 ,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布.,定理1,證,Z 的分布函數(shù)為,則有,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.,于是,書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.（舉例說(shuō)明）,正態(tài)分布表,當(dāng) x 0 時(shí) ,表中給的是 x 0 時(shí), (x)的值.,若,若 XN(0,1),例 設(shè)隨機(jī)變量 XN(3，4) 求：(1) P (2X5)；(2) P (X0)； (3) P (X34)。 解： 由題意知=3，=2。 (1) P (2X5) = (1)(0.5) = (1

5、)1(0.5) = (1) + (0.5)1 = 0.5328 (2) P(X0) = = 1(1.5) = (1.5) = 0.9332。,P (X34) 1(2)(- 2) 2 1-(2) 0.0455,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作“3 準(zhǔn)則” .,時(shí)，,3 準(zhǔn)則,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn),設(shè),若數(shù) 滿(mǎn)足條件,解,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的 h .,看二個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子:,例1 公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭 碰頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高 XN(170,62),問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定?,設(shè)車(chē)門(mén)高度為h cm,按設(shè)計(jì)要求,因

6、為 XN(170,62),故 P(X h)=,查表得 (2.33)= 0.9901 0.99,因而 = 2.33,即 h =170 +13.98 184,設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為 184厘米時(shí)，可使 男子與車(chē)門(mén)碰頭 機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.,所以 .,例 2,設(shè)某年級(jí)學(xué)生 “高等數(shù)學(xué)” 考試成 績(jī)服從正態(tài)分布，若75分以下者占 34%，90分以上者占14%，求分布參 數(shù)、。,解：由條件知考試成績(jī) 0.34 = P(X75) = 0.14 = P(X90) = 即有 查表得 解上面的方程組得79.13，10.07。,這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨機(jī)變量及三種重要分布.即均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布. 其中正態(tài)分布的應(yīng)用極為廣泛，在