量子力學(xué)3-1.ppt

1、第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 經(jīng)典力學(xué)中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)總是用坐標(biāo)、速度、動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能、勢(shì)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能等力學(xué)量以決定論的方式描 述。量子力學(xué)的第一個(gè)驚人之舉就是引入了波函數(shù) 這樣一 個(gè)基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)。但 并不能作為量子力學(xué)中的力學(xué)量。于是，又引入了 一個(gè)重要的基本概念算符，用它表示量子力學(xué)中的力學(xué) 量。算符和波函數(shù)作為量子力學(xué)的核心概念相輔相承、貫穿 始終。,本講內(nèi)容是量子力學(xué)的重要基礎(chǔ)理論之一，也是大家學(xué) 習(xí)的重點(diǎn)。重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容： 一個(gè)基本概念：厄米算符（作用及其基本性質(zhì)）； 兩個(gè)假設(shè)：力學(xué)量用線性厄密算符表示，狀態(tài)用線性厄米 算符的本征態(tài)表示；

2、三個(gè)力學(xué)量計(jì)算值：確定值、可能值、平均值； 四個(gè)本征態(tài)及本征值：坐標(biāo) 或 、動(dòng)量 或 、角動(dòng)量 及 、能量（哈密頓量 ）。 本部分的難點(diǎn)是任意態(tài) 與力學(xué)量算符本征態(tài) 及力 學(xué)量概率態(tài) 的區(qū)別。,3.1 表示力學(xué)量的算符,一、力學(xué)量用算符表達(dá),算符是作用在一個(gè)函數(shù)上得到另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)，如,3.1-1,就稱為算符。,3.1-3,3.1-4,動(dòng)量的直角坐標(biāo)分量式為,根據(jù)上一章的學(xué)習(xí)，如 我們可看出，量子力學(xué)中的力學(xué)量在與波函數(shù)的作用中，往往表現(xiàn)為一種運(yùn)算形式,與經(jīng)典力學(xué)量對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)中的算符形式：,另一類經(jīng)典力學(xué)量是與動(dòng)量有關(guān)，其量子力學(xué)所對(duì)應(yīng)的算符可用動(dòng)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出，例如動(dòng)能算符的表達(dá)

3、式：,除了位置和動(dòng)量以外，其中一類以坐標(biāo)為函數(shù)的力學(xué)量, 其量子力學(xué)所對(duì)應(yīng)的算符形式不變。如勢(shì)能 和作用力 。,體系的能量跟哈密頓算符對(duì)應(yīng),3.1-5,二、本征值和本征函數(shù),當(dāng)力學(xué)量算符 作用在波函數(shù) 上，其結(jié)果是 同一個(gè)函數(shù)乘以一個(gè)常量時(shí)：,是力學(xué)量A 取確定值 時(shí)的本征態(tài),稱上式為算符 的本征值方程。,是力學(xué)量A的一個(gè)本征值。,由本征值方程解出的全部本征值就是相應(yīng)力學(xué)量的可能取值。,3.1-2,三、力學(xué)量算符表達(dá)的規(guī)則,如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符 由經(jīng)典表達(dá)式F(r, p)中將p換為算符 而得出，即,3.1-6,例如，粒子相對(duì)于某點(diǎn)的角動(dòng)量,

4、其角動(dòng)量算符為,3.1-7,四、基本假定（根據(jù)上章中哈密頓算符本征態(tài)、本征值）,如果算符 表示力學(xué)量F，則體系處于 的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量F有確定值，它就是 在態(tài)中的本征值。,五、厄密算符 力學(xué)量算符必須是 線性厄密算符。,* 厄密算符的本征值必為實(shí)數(shù)。,* 厄密算符的平均值必為實(shí)數(shù)。,* 當(dāng)出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí)，可以證明：總可以適當(dāng)?shù)鼐€性組合簡(jiǎn)并態(tài)，使之彼此正交。,線性厄密算符的性質(zhì)：,* 厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。,若算符滿足下列等式,稱 為厄密算符。,3.1-8,證明厄密算符的本征值是實(shí)數(shù),設(shè)厄密算符滿足,即,可見(jiàn) 是實(shí)數(shù),驗(yàn)證3.1-8式，例如：對(duì)于動(dòng)量算符有,由3.1-8式 可得

5、,請(qǐng)自己驗(yàn)證坐標(biāo)算符、能量算符,3.2 動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符,1. 動(dòng)量算符,本征方程,3.2-1,分量方程,動(dòng)量本征值方程的解：,C為歸一化常數(shù),可以看出，取 ， 歸一化為 函數(shù)，即,它乘上 就是 的單色平面波，在量子力學(xué)中，平面波代表粒子有確定的動(dòng)量、在空間各處出現(xiàn)的幾率相同的狀態(tài)。,不能歸一化為1，是因?yàn)槠浔菊髦悼梢匀∪我庵担M成連續(xù)譜的緣故。,實(shí)際問(wèn)題中，需要求動(dòng)量本征值時(shí)，常需要把連續(xù)本征值變?yōu)榉至⒈菊髦祦?lái)計(jì)算，最后再變?yōu)檫B續(xù)本征值。例如，設(shè)想粒子被限制在長(zhǎng)L為的正方形箱中，如圖：,要求波函數(shù)在相對(duì)的箱壁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同的值，稱為周期性邊界條件。這樣，動(dòng)量的本征值就有連續(xù)譜變?yōu)榉至⒌?/p>

6、。,在點(diǎn) 和點(diǎn) 值應(yīng)相同，即,方程的解為,同理可得,3.2-6,3.2-7,3.2-8,式中，n可取零或正負(fù)整數(shù)。 時(shí)，本征譜由分立變?yōu)檫B續(xù)。,加進(jìn)周期性邊界條件后，動(dòng)量本征函數(shù)可歸一化，其常數(shù)為,容易證明,箱歸一化。,角動(dòng)量算符的表達(dá)式：,2. 角動(dòng)量算符,3.2-10,角動(dòng)量算符的模方定義為：,3.2-11,3.2-12,利用求導(dǎo)可分別求出,即可得出,3.2-13,代入3.2-10可得,3.2-14,代入3.2-11可得,3.2-15,的本征方程可寫成,3.2-16,或,3.2-17,是 的本征函數(shù)，本征值為,為使 在 變化的整個(gè)區(qū)域 內(nèi)有限，須有,3.2-18,是球函數(shù)，即,3.2-19,為締合勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式， 為歸一化常數(shù),由歸一化條件,3.2-20,可得,3.2-21,的本征方程可寫成,3.2-22,的本征值是量子化的,l 表征軌道角動(dòng)量大小稱為角量子 數(shù),m表征軌道角動(dòng)量的空間取向稱為磁量子數(shù),由3.2-19可知，對(duì)于一個(gè)l值，m可取(2l+1)個(gè)值，故對(duì)于,的一個(gè)本征值，有(2l+1)個(gè)不同的本征函數(shù)Ylm,簡(jiǎn)并：對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征值有多個(gè)本征函數(shù)的情況,簡(jiǎn)并度：對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征值的本征函數(shù)的數(shù)目,的本征值是(2l+1)度簡(jiǎn)并的,根據(jù)3.2-14，有,3.2-23,角動(dòng)量分量的本征值,常稱l=0的態(tài)為s態(tài)，l=1,2,3