（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十四章第二節(jié)排列與組合課件蘇教版.pptx

1、第二節(jié)排列與組合,1.排列,2.組合,教材研讀,考點(diǎn)一 排列問題,考點(diǎn)二 組合問題,考點(diǎn)突破,考點(diǎn)三 排列、組合的綜合問題,考點(diǎn)四 組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,1.排列 (1)排列的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. (2)排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用表示.,教材研讀,(3)排列數(shù)公式 (i)當(dāng)mn時(shí),排列稱為選排列,排列數(shù)為=n(n-1)(n-m+1). (ii)當(dāng)m=n時(shí),排列稱為全排列,排列數(shù)為=n(n-1)(n-2)321. 上式右邊是

2、自然數(shù)1到n連續(xù)相乘的積,把它叫做n的階乘,并用n!表示.于是=n!.進(jìn)一步規(guī)定0!=1,于是,=.,2.組合 (1)組合的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. (2)組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用表示. (3)計(jì)算公式:=.,因?yàn)?!=1,所以=1. (4)組合數(shù)的性質(zhì): (i)=; (ii)=+. (5)排列與組合的區(qū)別 排列與組合的共同點(diǎn),就是都要“從n個(gè)不同元素中任取m(mn)個(gè)元素”,不同點(diǎn)就是前者要“順序”,而后者是“并成一組”.因此,“有序

3、”與“無序”是區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志.,1.(教材習(xí)題改編)某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名,外科醫(yī)生8名,現(xiàn)要派5名醫(yī)生參加某項(xiàng)活動(dòng),問: (1)某內(nèi)科醫(yī)生必須參加,某外科醫(yī)生因故不能參加,有幾種選法? (2)內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生中都要有人參加,有幾種選法?,解析(1)某內(nèi)科醫(yī)生必須參加,某外科醫(yī)生因故不能參加,有=3 060 種選法. (2)內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生中都要有人參加,有-=14 656種選法.,2.(2017常州“12校合作聯(lián)盟”期末)有3名男生,4名女生,在下列不同的要求下,求不同的排列方法數(shù)(用數(shù)字作答). (1)全體排成一行,其中男生甲不在最左邊; (2)全體排成一行,其中4名女生必須

4、排在一起; (3)全體排成一行,其中3名男生兩兩不相鄰.,解析(1)先排最左邊,除去甲后有種,余下的6個(gè)位置全排有種,則 符合條件的排法共有=4 320種. (2)先將女生看成一個(gè)整體,進(jìn)行全排列,再與其他男生進(jìn)行全排列,共有=576種. (3)先排好女生,然后將3名男生插入其中的五個(gè)空位,共有=1 440種.,考點(diǎn)一 排列問題 典例13名男生,4名女生,按照不同的要求排隊(duì),求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù): (1)排成前后兩排,前排3人,后排4人; (2)全體站成一排,男生、女生分別站在一起; (3)全體站成一排,男生不能站在一起; (4)全體站成一排,甲不站排頭也不站排尾.,考點(diǎn)突破,解析(1)

5、前排3人,后排4人,相當(dāng)于排成一排,共有=5 040種排法. (2)相鄰問題(捆綁法):男生必須站在一起,是男生的全排列,有種排法; 女生必須站在一起,是女生的全排列,有種排法;全體男生、全體女生 各視為一個(gè)整體,有種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有= 288種排法. (3)不相鄰問題(插空法):先安排女生,有種排法,再將男生安排在4名女 生隔成的5個(gè)空中,有種排法,所以共有=1 440種排法. (4)先安排甲,從除去排頭和排尾的5個(gè)位置中安排甲,有種排法,再安,排其他人,有種排法,所以共有=3 600種排法.,方法技巧 排列問題的幾種題型:(1)無約束條件的排列問題;(2)有約束條件的排列問

6、題;(3)重復(fù)排列問題.解決排列問題最常用、最基本的方法有特殊位置(元素)優(yōu)先法、捆綁法、插空法等.,1-1用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),且按照從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列an. (1)求項(xiàng)數(shù)n; (2)35 124是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)?,解析(1)n=120. (2)比35 124小的數(shù)有以下幾類: 首位是1的,共有個(gè); 首位是2的,共有個(gè); 首位是3,次位是1的,共有個(gè); 首位是3,次位是2的,共有個(gè); 首位是3,次位是4的,共有個(gè). 所以共有2+3=66個(gè)比35 124小的數(shù).所以35 124是這個(gè)數(shù)列的第67項(xiàng).,考點(diǎn)二 組合問題,典例2要從5名女生,7名男生中選

7、出5名代表,按下列要求,分別求不同的選法種數(shù): (1)至少有1名女生入選; (2)男生甲和女生乙入選; (3)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選.,解析(1)“至少有1名女生入選”的對立面是“全是男生代表”,可用間接法求解.從12人中任選5人有種選法,其中全是男生代表的選法有 種,所以“至少有1名女生入選”的選法有-=771種. (2)男生甲和女生乙入選,即只要再從除男生甲和女生乙外的10人中任選3人即可,共有=120種選法. (3)間接法:“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的對立面是“兩人都不入選”,即從其余10人中任選5人有種選法,所以“男生甲、女生 乙至少有一個(gè)人入選”的選法有-=540種.

8、,方法技巧 組合問題常有以下兩類題型: (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型:用直接法或間接法都可以求解,通常用直接法,分類復(fù)雜時(shí),可嘗試用間接法處理.,2-1一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球. (1)從中任取4個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球的個(gè)數(shù)少的取法有多少種? (2)若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,則從中任取5個(gè)球,總分不低于7分的取法有多少種?,解析(1)分成三類情況: 第一類:取4個(gè)紅球,沒有白球,有種取法; 第二類:取3個(gè)

9、紅球,1個(gè)白球,有種取法; 第三類:取2個(gè)紅球,2個(gè)白球,有種取法. 所以共有+=115種. (2)設(shè)取x個(gè)紅球,y個(gè)白球,則符合條件的取法有+=186種.,則 得或 或,考點(diǎn)三 排列、組合的綜合問題 典例3(2018江蘇南通調(diào)研)從1到9這9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)、4個(gè)奇數(shù),試問: (1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)? (2)上述七位數(shù)中,3個(gè)偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)? (3)(1)中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起,奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)?,解析(1)分三步完成:第一步,在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè),有種情況;第二步, 在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè),有種情況;第三步,將3個(gè)偶數(shù)和4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列, 有種情況.所以符合

10、題意的七位數(shù)有=100 800個(gè). (2)3個(gè)偶數(shù)排在一起的有=14 400個(gè). (3)3個(gè)偶數(shù)排在一起,4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有=5 760個(gè).,方法技巧 解決排列、組合綜合問題的主要方法 (1)直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算; (2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排法,即先排特殊元素或特殊位置; (3)捆綁法:相鄰問題捆綁處理的方法,即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列; (4)插空法:不相鄰問題插空處理的方法,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列產(chǎn)生的空中;,(5)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法; (6)定序問題除法

11、處理的方法,即可以先不考慮順序限制,排列后再除以定序元素的全排列.,3-1(2018啟東中學(xué)高三期末)有4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi). (1)恰有1個(gè)盒子不放球,共有幾種放法? (2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球,共有幾種放法?,解析(1)為保證“恰有1個(gè)盒子不放球”,先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè),問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球,3個(gè)盒子,每個(gè)盒子都要放入球,共有幾種放法?”,即把4個(gè)球分成2,1,1三組,然后從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球,其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi),由分步計(jì)數(shù)原理得,共有=144種放 法. (2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”,即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球,每個(gè)盒子至多放1個(gè)球,也即另外3

12、個(gè)盒子中恰有1個(gè)空盒,因此,“恰有1個(gè)盒子內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一事件,所以由(1)知共有144種放法.,考點(diǎn)四 組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,典例4(2019江蘇揚(yáng)州高三模擬)二進(jìn)制規(guī)定:每個(gè)二進(jìn)制數(shù)由若干個(gè)0,1組成,且最高位數(shù)字必須為1.若在二進(jìn)制中,Sn是所有n位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成的集合,對于an,bnSn,M(an,bn)表示an和bn對應(yīng)位置上數(shù)字不同位置的個(gè)數(shù).例如當(dāng)a3=100,b3=101時(shí),M(a3,b3)=1;當(dāng)a3=100,b3=111時(shí),M(a3,b3)=2. (1)令a5=10 000,求所有滿足b5S5,且M(a5,b5)=2的b5的個(gè)數(shù); (2) 給定an(n2)

13、,對于集合Sn中的所有bn,求M(an,bn)的和.,解析(1) 因?yàn)镸(a5,b5)=2,所以b5為5位數(shù)且與a5有2項(xiàng)不同. 因?yàn)槭醉?xiàng)為1,所以a5與b5在后4項(xiàng)中有兩項(xiàng)不同,所以b5的個(gè)數(shù)為=6. (2)當(dāng)M(an,bn)=0時(shí),bn的個(gè)數(shù)為; 當(dāng)M(an,bn)=1時(shí),bn的個(gè)數(shù)為, 當(dāng)M(an,bn)=2時(shí),bn的個(gè)數(shù)為, 當(dāng)M(an,bn)=n-1時(shí),bn的個(gè)數(shù)為. 設(shè)M(an,bn)的和為S, 則S=0+1+2+(n-1),又S=(n-1)+2+1+0, 所以2S=(n-1)(+)=(n-1)2n-1, 則S=(n-1)2n-2, 所以M(an,bn)的和為(n-1)2n-2. 方法技巧 組合數(shù)的性質(zhì)(i)=;(ii)=+在化簡、證明、求值問題中具 有重要應(yīng)用,因此我們要根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)的特點(diǎn),從正向、逆向等不同的角度加以應(yīng)用.,4-1(2018江蘇丹陽高級(jí)中學(xué)高三期中)設(shè)n3,nN*,在集合1,2,n的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集中,把每個(gè)子集中的較大元素之和記為a,較小元素之和記為b. (1)當(dāng)n=3時(shí),求a,b的值; (2)求證:對任意